三角恒等变换高考热点
高考数学复习考点题型专题讲解2 三角恒等变换与解三角形
高考数学复习考点题型专题讲解专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( )A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 2.(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________. 答案 2 2解析由题意得S△ABC＝12ac sin B＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×12＝8，则b＝2 2.3.(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos ∠MAC＝________.答案213239 13解析由B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.4.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长.(1)证明法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A ＝bsin B＝csin C，可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，则上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，解得b＋c＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.热点一 化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形. 例1 (1)(2022·天津模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6(2)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－513，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.3365B.－3365 C.6365D.3365或6365答案 (1)C (2)C解析 (1)由α，β为锐角， 则－π2<α－β<π2，由sin(α－β)＝－1010， 得cos(α－β)＝31010，又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴sin(α＋β)>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，∵cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝1213， 又∵sin⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－35或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝35(舍去)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝6365.规律方法 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.训练1 (1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A.－53B.－59C.59D.53(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.答案(1)A (2)π3解析(1)sin α＋cos α＝33，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1 3，整理得：2sin αcos α＝－23<0，∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5 3 .∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－15 3，则cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53，故选A.(2)由cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，得sin α＝1－cos2α＝437，sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.热点二 三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.例2 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值. (1)证明 因为sin(α＋2β)＝75sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝75[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.① 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π).若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0， 与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β， 得tan(α＋β)＝6tan β.(2)解 由(1)知tan(α＋β)＝6tan β， 则tan α＋tan β1－tan αtan β＝6tan β，因为tan α＝3tan β，所以tan β＝13tan α，所以43tan α1－13tan 2α＝2tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0，所以43－tan 2α＝2，所以tan 2α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＝1，从而α＝π4.易错提醒 等式两边除以同一个三角函数式时要注意论证这个三角函数式不为零. 训练2 求证：(1)cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos 4α. (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 (1)左边＝2cos 22α－1＋4cos 2α＋3 ＝2(cos 22α＋2cos 2α＋1) ＝2(cos 2α＋1)2 ＝2(2cos 2α－1＋1)2＝2(2cos 2α)2＝8cos 4α ＝右边.(2)左端＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α＝右端. 热点三 正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例3 (1)(2022·丽水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝2，且b 2＋c 2－a 2＝2bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为( ) A.2B.22C.2D.1(2)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A.56B.76C.53D.73答案 (1)D (2)D解析 (1)∵c cos B ＋b cos C＝c ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 22a ＝a ，即a ＝ 2.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵0<A <π，∴A ＝π4， 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2sinπ4＝2R ，解得R ＝1，故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，所以AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D. 规律方法 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.2.涉及边a ，b ，c 的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练3 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝13，a sin A－c sinC＋b sin A＝0，则ba＝( )A.53 B.73C.72 D.52(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________.答案(1)A (2)6 3解析(1)由正弦定理及a sin A－c sin C＋b sin A＝0，得a2－c2＝－ab，又由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝b2－ab2ab＝13，∴ba－1＝23，得ba＝53.(2)因为3b cos C＝3a－c，由正弦定理得3sin B cos C＝3sin A－sin C，又A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，即sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以3sin B cos C＝3(sin B cos C＋cos B sin C)－sin C，所以3cos B sin C＝sin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos B＝1 3，又A＝C，所以cos B＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝13，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝63.热点四正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.例4 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473 答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例5(2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a＝19，c＝5.第②组条件：cos C＝13，c＝4 2.第③组条件：AB边上的高h＝3，a＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为a sin B＝3b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝3sin B cos A，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，则sin A＝3cos A，即tan A＝3，又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即19＝b2＋25－5b，解得b＝2或3，不符合题意，故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C∈(0，π)，cos C＝13，所以sin C＝223，由正弦定理asin A ＝csin C可得a＝c sin Asin C＝42×32223＝33，则sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB边上的高h＝3，所以b sin π3＝3，则b＝332＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋6，此时△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练4 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m. 在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin ∠BAC，则AB ＝BC sin∠ACB sin∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ， 则CD ＝BD －BC ＝20 m.(2)(2022·青岛二中调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3. (ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2，所以(a ＋c )2－3ac ＝4， 所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·岳阳二模)已知sin α＋2cos α＝0，则sin 2α＝( ) A.－45B.－35C.－34D.23答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝0，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－2）4＋1＝－45，故选A. 2.计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( )A.1B. 2C.3D.2 答案 C 解析2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析 因为在△ABC 中，A －B ＝π2， 所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ， 所以cos B ＝3sin B ， 所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6， 所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B.4.(2022·杭州模拟)若3sin 2α－2sin 2α＝0，且sin α≠0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A.－7210B.－22C.－210D.22答案 A解析 由题意可得32sin 2α－sin 2α＝0，所以3sin αcos α－sin 2α＝0， 即sin α(3cos α－sin α)＝0， 又sin α≠0，所以tan α＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α－sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝－7210. 5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D 看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79 m 到达点E ，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为( )A.65 mB.74 mC.83 mD.92 m 答案 B解析 设AC ＝x (x >0)，则由已知可得AB ＝3x ，BE ＝BC ＝2x ，BD ＝AB tan∠ADB＝33x ，所以DE ＝BD －BE ＝33x －2x ＝79， 解得x ＝7933－2≈24.7，所以楼高AB ≈3×24.7＝74.1≈74(m).6.(多选)(2022·重庆模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，b ＝2，c ＝3＋1，则下列说法正确的是( ) A.C ＝75°或C ＝105°B.B ＝45° C.a ＝6D.该三角形的面积为3＋12答案 BC解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4＋23－2×2×(3＋1)×12＝6，所以a ＝ 6.由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa＝2×326＝22， 由于0°<B <120°，所以B ＝45°. 所以C ＝180°－B －A ＝75°.△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7.(2022·南通模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×13－1＝－13.8.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________. 答案3101045解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010， 所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.9.(2022·绍兴模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为3154，则a ＝________. 答案 4解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知2b ＝3c ， ∵b －c ＝14a ，可得c ＝12a ，b ＝34a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，sin A ＝1－cos 2A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×34a ×12a ×154＝3154，解得a ＝4.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ， sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，若c ＝3，则a ＋b 的值为________. 答案 3 2解析 因为c 2＝a 2＋b 2－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π), 所以C ＝π3. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2R ＝332＝23， 又sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ， 所以23sin A ＋23sin B ＝2×23sin A ×23sin B ， 即a ＋b ＝2ab .因为c＝3，所以由余弦定理得9＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－322(a＋b)，解得a＋b＝32或a＋b＝－322(舍去).11.(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝3sin C.(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长. 解(1)因为sin 2C＝3sin C，所以2sin C cos C＝3sin C.因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝3 2，又C∈(0，π)，故C＝π6.(2)因为△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×a×6×12＝63，所以a＝4 3.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝43＋6＋23＝6(3＋1).12.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝7，cos ∠ABD＝2 2.(1)求AB的长；(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.解 (1)在△ABD 中，由cos ∠ABD ＝22， 得∠ABD ＝45°.又∠BAD ＝60°，所以∠ADB ＝75°，所以sin ∠ADB ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2＋64，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，得AB ＝BD sin ∠ADB sin ∠BAD ＝42＋3146.(2)由∠BAD ＋∠BCD ＝180°，可知∠BCD ＝120°， 设CD ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 则7＝1＋x 2－2x ·cos 120°， 化简，得x 2＋x －6＝0， 解得x ＝2或x ＝－3(舍).所以S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝12×1×2×32＝32，S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD＝12×42＋3146×7×22＝73＋2112. 所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝73＋2112＋32＝133＋2112.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南京模拟)在△ABC中，下列说法正确的是( )A.若A>B，则sin A>sin BB.存在△ABC满足cos A＋cos B≤0C.在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形答案AD解析对于A，若A>B，则a>b，则2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故A正确.对于B，由A＋B<π，得A<π－B，于是cos A>－cos B，即cos A＋cos B>0，故B错误.对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故D 正确.故选AD.14.(多选)(2022·山东师大附中模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4a sin2A ＋B 2＝0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2＋2b 2－c 2＝0C.3tan A ＋tan C ＝0D.tan B 的最小值为33答案 BC解析 ∵b －2a ＋4a sin 2A ＋B 2＝0，∴b －2a ＋4a sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝0，∴b －2a ＋4a cos 2C2＝0，∴b －2a ＋4a ·1＋cos C2＝0， ∴b ＋2a cos C ＝0，∴cos C <0，∴角C 一定为钝角，A 错误；b ＋2a cos C ＝0⇒b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0⇒a 2＋2b 2－c 2＝0，B 正确；b ＋2a cos C ＝0⇒sin B ＋2sin A cos C ＝0⇒3sin A cos C ＋cos A sin C ＝0⇒3tan A ＋ tan C ＝0，C 正确； tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－2tan A－3tan 2A －1＝23tan A ＋1tan A≤33， 经检验“＝”取得到，D 错误，综上选BC.15.(2022·湖州调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝2π3，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD .则cos∠ABC ＝________，sin∠DAC ＝________. 答案1114437解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB cos∠BAC ＝25＋9－2×5×3×cos 2π3＝49，所以BC ＝7.又由正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即sin∠ABC ＝AC sin∠BAC BC ＝5314.又∠ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以cos∠ABC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. 在△ABD 中，设AD ＝BD ＝x ，由余弦定理得x 2＝x 2＋9－2×3×1114x ，解得x ＝2111， 所以DC ＝BC －BD ＝5611.在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin∠BAC，所以sin∠ACB ＝AB sin∠BAC BC ＝3314. 在△ADC 中，由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠ACB，所以sin∠DAC＝DC sin∠ACBAD＝437.16.(2022·福州质检)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________.答案π2解析由题意可知，四边形ABPQ为等腰梯形.如图，连接OP，过点O作OM⊥QP，垂足为点M，交AB于点C，则OC⊥AB，OM平分∠AOB，M为线段PQ的中点.设∠AOC＝θ，则AB＝20sin θ，OC＝10cos θ，设AQ＝QP＝BP＝x，过点Q作QE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，因为∠PBA ＝∠QAB ＝60°， 所以AE ＝BF ＝12x ，CM ＝PF ＝32x ，EF ＝QP ＝x ， 所以AB ＝2x ，所以AB ＝20sin θ＝2x ， 即x ＝10sin θ，所以OM ＝OC ＋CM ＝10cos θ＋32x ＝10cos θ＋53sin θ， 所以OP 2＝OM 2＋MP 2＝(10cos θ＋53sin θ)2＋(5sin θ)2＝100cos 2θ＋75sin 2θ＋1003sin θcos θ＋25sin 2θ＝100＋503sin 2θ， 因为sin 2θ∈[－1，1]， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，OP 2最大，也就是OP 最长，此时∠AOB ＝π2.17.(2022·临沂预测)在①a sin(A ＋C )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6；②1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )；③2tan B tan A ＋tan B ＝bc.这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＋c ＝23，a ＝6，________， (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积.解 (1)选①，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 化简得sin A ＝32cos A ＋12sin A ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选②，因为1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )，所以1－cos(C －B )＋cos(C ＋B )＋2cos C cos B ＝1＋2cos(C ＋B )＝1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选③，因为2tan B tan A ＋tan B ＝b c， 由正弦定理，得2tan B tan A ＋tan B ＝sin B sin C， 而2×sin B cos B sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin B cos B sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ＝2sin B cos B sin C cos A cos B＝2sin B cos A sin C ＝sin B sin C ， 因为sin B ≠0，sin C ≠0，所以cos A＝1 2，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc，a＝6，b＋c＝23，所以bc＝2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×2·sinπ3＝32.。
简单的三角恒等变换-高考数学复习
cos 2β＝1－2 sin θ cos θ.所以2 cos 2α＝ cos 2β.
所以4 cos 22α－ cos 22β＝（2 cos 2α－ cos 2β）（2 cos 2α＋ cos 2β）
＝0.
目录
高中总复习·数学
三角恒等变换的综合应用
【例5】 已知3 sin α＝2 sin
2 －1.
2−
2× ×
sin2
2sincos
所以 2
＝
＝
3
2
2
2 −si
＋cos2
2×（ ）
5
4
5
（）
2
＝12.
目录
高中总复习·数学
2. 已知函数 f （ x ）＝4 cos x cos
π
（ x ＋ ）－
6
3.
（1）求 f （ x ）的单调递增区间；
解： f （ x ）＝4 cos x cos
13
所以 sin β＝ sin [（β＋α）－α]＝ sin （β＋α） cos α－ cos （β
＋α） sin
12 3
5
4
16
α＝ × － × ＝ .
13 5
13 5
65
目录
高中总复习·数学
（2）求
sin2
2
＋cos2
解：因为 cos
的值.
3
α＝ ，
5
sin
4
α＝ ，
5
4 3
5 5
目录
高中总复习·数学
2. 证明三角恒等式的基本方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
高考数学专题复习四-4.2三角恒等变换-高考真题练习(附答案)
4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
5.5.2-简单的三角恒等变换 2025年高考数学知识点题型及考项复习
+ cos
2
sin
2
2
−
2
,
= cos
cos
2
2
+ sin
sin ，
2
2
即 sin
2
所以sin
即tan
2
2
π
4
2
− cos
2
− cos
cos
2
= 1或tan
2
2
= 0或cos
2
故 =
π
4
=
2
2
= 0,
− sin
2
= 0,
= 1，又， ∈ 0, π
故 = 或 = .
cos = ± 1 −
π−
所以cos
2
=
5 2
13
=
π−
,则底角为
,由题意可知sin
2
12
π−
± ，所以cos
13
2
26 5 26
或
.
26
26
=
sin
2
=
1−cos
2
5
,所以
13
=
12
=
1±13
2
,
sin 4
6.化简：
1+cos 4
⋅
cos 2
1+cos 2
cos
⋅
1+cos
的交点，则( ABD
)
图5.5.2-1
第18讲 三角恒等变换(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习考点帮(天津专用)
第18讲三角恒等变换（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为14分【备考策略】1.理解、掌握三角函数的两角和差公式，能够根据知识点灵活选择公式2.能掌握凑角求值的解题技巧3.具备数形结合的思想意识，会借助正弦型函数的图像，解决三角函数的求值与化简问题4.会解三角函数的含参问题。
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给与正余弦定理结合，在解三角形中灵活运用两角和差。
知识点.两角和与差二倍角公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βcos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βsin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βsin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βtan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba.4．三角函数公式的关系5.升幂与降幂公式（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.（2）升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.（3）公式的常用变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知sinLin =cosLin，则tan 2=（）A．2−3B．−2−3C．2+3D．−2+32.（2024·浙江·三模）若sin −+cos −=22sin sin ，则（）A．tan−=−1B．tan−=1C．tan+=−1D．tan+=11.（2023·全国·高考真题）已知为锐角，cos=sin2=（）．2.（2024·青海海西·模拟预测）已知cos cos2的值为（）A．13B．23C．−15D．−133.（2024·全国·高考真题）已知cos(+p=s tanMan=2，则cos(−p=（）A．−3B．−3C．3D．34.（2024·江西九江·三模）若2sin+=cos tan−=（）A．−4−3B．−4+3C．4−3D．4+31.（2024·安徽六安·模拟预测）2cos65°cos15°tan15°cos10°+sin10°的值为（）B．12D．32sin2+50∘=（）2.（2024·陕西安康·模拟预测）若sin−20∘=A．18B．−18C．−78D．781.（2024·全国·模拟预测）sin80°+cos50°−=（）2.（2024·山东泰安·模拟预测）若1+tan（Kπ4）1−tan（Kπ4）=12，则sin2的值为（）A．−35B．35C．−45D．453.（2024·广东·二模）tan7.5°−tan82.5°+2tan15°=（）A．−2B．−4C．−23D．−434.（2024·河北承德·二模）已知tan=13，则sin cos3cos2+sin cos2cos=.5.（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以s s s s为顶点的多边形为正边边形，设∠B=，则cos+cos2+cos3+ cos4=，cos cos2cos3cos4=．1.（2024·辽宁·模拟预测）已知sin+1，则sin2+.2.（23-24高三上·天津宁河·期末）已知cos−=13，则sin−2=．1.（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos2=−55，sin+=−∈0,∈−π2,0，则−=（）A．π4B．3π4C．5π4D．π4或3π2.（2024·山西·三模）若sin2=−=且∈π,∈π则cos+=（）3.（2024高三·全国·专题练习）已知tan−=12,tan=−17,且,∈(0,p,则2−=（）A．−34B．4C．34D．−44.（2024·山东·模拟预测）已知cos−−cos=45，则sin2=（）A．725B．−725C．2425D．−24255.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知cos−=13，则sin2=（）A．7B．−7D．−1.（23-24高三下·云南·阶段练习）已知函数=2sin+cos在0处取得最大值，则cos0=（）A．25B．25C．5D．52.（2024·陕西铜川·三模）已知函数=sin2−cos2，则下列说法中不正确的是（）A．的最小正周期为πB．的最大值为2C．在区间−π4π4D．−π8=−π81.（2024·湖北·二模）函数=3cos−4sin，当取得最大值时，sin=（）A．45B．−45C．35D．−35对称，则=2.（2024·四川成都·模拟预测）函数op=Lin+cos的图象关于直线=−π63.（2024·河南新乡·三模）已知函数op=sin B−3cos B(>0)，若存在1∈[0,π]，使得o1)=−2，则的最小值为.4.（2024·全国·模拟预测）已知=4sin sin−3cos+1相邻的两个零点分别为1,2，则cos1−2=.5.（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数op=2cos2B+sin2B−1(>0)1=2=21−2的最小值为2π3，则=（）A．12B．1C．2D．31．（22-23高三上·天津滨海新·期中）若是第三象限角，且sin+cos−sin cos+=−513，则tan等于（）A．−5B．−512C．512D．52．（23-24高三上·云南昆明·开学考试）已知tan(−π4)=4，则sin2=（）A．2B．−2C．1517D．−15173．（23-24高三上·天津南开·期中）已知sin−=sin+tan=．4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）△B中，已知cos2=45，则sin=．5．（22-23高三上·天津滨海新·期中）已知角的终边经过点−2,1，则tan=，cos2K2sin2cos2=.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知tan=13，tan=−17，且s∈0,π，则2−=．6．7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知2sin+cos=0.(1)求tan−(3)当是第四象限角时，求cos+1．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知tan+=−3）A．23B．0C．−2D．22．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）函数=sin+3cos在区间0上的最小值为（）A．3B．2C．1D．23．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）锐角，满足+2=2π3，tan2tan=2−3，则和中的较小角等于．4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若tan=−cos3+sin，则sin2=．5．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）已知函数=sin+sin+cos+的最大值为1，(1)求常数的值；(2)求函数的单调递减区间；6．（23-24高三上·天津·期中）已知函数=2cos2sin−+>0，图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求的单调递减区间；(2)若o2)=−35，且∈[−π6,5π6]，求sin(−5π6)的值．7．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数op=sin(2−π6)−cos2，∈R.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴方程；(3)求函数在[0,π2]上的单调区间.1.（2024·全国·高考真题）已知coscos K sin=3，则tan+=（）A．23+1B．23−1D．1−32.（2022·全国·高考真题）若sin(+p+cos(+p=22cos sin，则（）A．tan(−p=1B．tan(+p=1C．tan(−p=−1D．tan(+p=−13.（2023·全国·高考真题）已知sin−=13,cosLin=16，则cos2+2=（）．A．79B．19C．−19D．−794.（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，tan+tan=4，tanMan=2+1，则sin(+p=.。
2025届高考数学一轮复习教案：三角函数-简单的三角恒等变换
第2课时简单的三角恒等变换【课程标准】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).【考情分析】考点考法:高考命题常以角为载体,考查二倍角公式、升幂降幂公式、半角公式;三角函数求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.(2)公式C2α:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tan1-tan2.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=2sin22,1+cosα=2cos22.(升幂公式) (2)1±sinα=(sin2±cos2)2.(升幂公式) (3)sin2α=1-cos22,cos2α=1+cos22,tan2α=1-cos21+cos2.(降幂公式)3.半角公式sin2=±cos2=±tan2=±=sin 1+cos=1-cos sin.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A .半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B .存在实数α,使tan 2α=2tan αC .cos 22=1-cos2D .tan 2=sin 1+cos =1-cos sin【解析】选ABD .由半角公式、二倍角公式可知,选项A 正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B 正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos 22-1,所以cos 22=1+cos2,因此选项C 错误;因为tan2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=sin 1+cos ,tan 2=sin2cos 2=2sin2cos22cos 22=1-cossin ,所以选项D 正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos 2π12-cos 25π12=()A .12B .33C .22D .32【解析】选D .因为cos5π12=sin(π2-5π12)=sin π12,所以cos 2π12-cos 25π12=cos 2π12-sin 2π12=cos(2×π12)=cos π6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin2=()A .3-58B .-1+58C .3-54D .-1+54【解析】选D .cos α=1+54,则cos α=1-2sin 22,故2sin 22=1-cos α=3-54,即sin 22=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin2>0,所以sin 2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan2=()A .2B .12C .2或不存在D .12或不存在【解析】选D .当α=2k π+π(k ∈Z )时,满足2sin α=1+cos α,此时tan 2不存在;当α≠2k π+π(k ∈Z )时,tan2=sin1+cos =12.【核心考点·分类突破】考点一三角函数式的化简[例1](1)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12可以化简为()A .f (x )=sin(2x -π3)B .f (x )=sin(2x -π6)C .f (x )=sin(2x +π3)D .f (x )=sin(2x +π6)【解析】选B .f (x )=sin 2x +3sin x cos x -12=1-cos22+32sin 2x -12=32sin 2x -12cos 2x =sin(2x -π6).(2)已知0<θ<π,(1+sinrcos )(sin 2-cos 2)________.【解析】由θ∈(0,π)得0<2<π2,所以cos2>0,所以2+2cos =2.又(1+sin θ+cos θ)(sin 2-cos 2)=(2sin 2cos2+2cos 22)(sin 2-cos2)=2cos2(sin 22-cos 22)=-2cos2cos θ.故原式=-2cos2cos 2cos2=-cos θ.答案:-cos θ【解题技法】三角函数式化简的解题策略(1)从三角函数名、角以及幂的差异三方面入手进行适当变形,结合所给的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂升幂.【对点训练】1.化简:2cos 4-2cos 2r122tan(π4-psin 2(π4+p =__________.【解析】原式=12(4cos 4-4cos 2r1)2×sin(π4-pcos(π4-p ·cos 2(π4-p =(2cos 2-1)24sin(π4-pcos(π4-p =cos 222sin(π2-2p =cos 222cos2=12cos 2x.答案:12cos 2x2.化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.【解析】原式=1-cos22·1-cos22+1+cos22·1+cos22-12cos 2αcos 2β=1-cos2-cos2rcos2vos24+1+cos2rcos2rcos2vos24-12cos 2α·cos 2β=12+12cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=12.答案:12【加练备选】化简:2sin (π-)+sin2cos 22=________.【解析】2sin (π-)+sin2cos 22=2sinr2sinvos 12(1+cos )=2sin (1+cos )12(1+cos )=4sin α.答案:4sin α考点二三角函数式的求值角度1给值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cos αsin β=16,则cos(2α+2β)=()A .79B .19C .-19D .-79【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23,所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.【解题技法】给值求值解题的两点注意(1)注意“变角”,使其角相同或具有某种关系.(2)注意公式的选择及其公式的逆应用.角度2给角求值[例3](2023·淄博模拟______.【解析】=14sin48°2sin48°=18.答案:18【解题技法】给角求值的解题策略(1)该问题一般所给出的角都是非特殊角,解题时一定要注意非特殊角与特殊角的关系;(2)要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.角度3给值求角[例4]若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α,π,β∈π则α+β的值是() A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【解析】选A.因为α4π,所以2α2π,因为sin2α=55,所以2α,π.所以αcos2α=-255,又因为sin(β-α)=1010,β∈π,所以β-α(β-α)=-31010,所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]=cos(β-α)cos2α-sin(β-α)sin2α=---1010×55=22,又α+β2π,所以α+β=7π4.【解题技法】给值求角的方法依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值.【对点训练】1.(2023·保定模拟)已知sin(θ-π4)=223,则sin2θ的值为()A.79B.-79C.29D.-29【解析】选B.由sin(θ-π4)=223,得sin(θ-π4)=sinθcosπ4-cosθsinπ4=22(sinθ-cosθ)=223,即sinθ-cosθ=43,等式两边同时平方,得1-sin2θ=169,所以sin2θ=-79.2.(2023·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),则tan2=()A.-12或2B.2C.-13或3D.3【解析】选B.因为角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-3,4),所以sinα=45,cosα=-35,所以tan2=sin1+cos=451-35=2.3.已知sin(α-2)=55,sin(β-2)=1010,且α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),则r2=__________.【解析】因为α-2∈(0,π2),β-2∈(0,π2),所以0<r2<π,cos(α-2)=255,cos(β-2)=31010.因为cos r2=cos[(α-2)+(β-2)]=cos(α-2)cos(β-2)-sin(α-2)sin(β-2)=255×31010-55×1010=22,所以r2=π4.答案:π44.化简求值:3-4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°.【解析】原式=3-4sin20°(1-2sin 220°)2sin20°sin480°=3-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (20°+40°)-4sin20°cos40°2sin20°sin480°=2sin (40°-20°)2sin20°sin480°=1sin480°=1sin120°=233.【加练备选】若tan 2α=-34,则sin2rcos 21+2sin 2=()A .-14或14B .34或14C .34D .14【解析】选D .由tan 2α=2tan1-tan 2=-34,可得tan α=3或tan α=-13.故sin2rcos 21+2sin 2=2sinvosrcos 23sin 2rcos 2=2tanr13tan 2r1,当tan α=3时,2×3+13×32+1=728=14;当tan α=-13时,2×(-13)+13×(-13)2+1=1343=14.考点三三角恒等变换的应用教考衔接教材情境·研习·典题类[例5](必修第一册P227·例10)如图,在扇形OPQ 中,半径OP =1,圆心角∠POQ =π3,C 是扇形弧上的动点,矩形ABCD 内接于扇形.记∠POC =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.【解题导思】看问题三角恒等变换中的最值问题提信息半径OP =1,圆心角∠POQ =3,矩形ABCD 内接于扇形,∠POC =α定思路借助角α并利用三角函数,把矩形ABCD 的长和宽表示出来,确定矩形ABCD面积的表达式,最后利用三角恒等变换和三角函数的性质确定最大面积【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,D D=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OB-OA=cosα-33sinα.设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin2α=12sin2α-36(1-cos2α)=12sin2α+36cos2α-36(32sin2α+12cos2α)-36=α+π6)-36.由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,即α=π6时,S最大-36=36.因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为36.【高考链接】(2024·保定模拟)已知扇形POQ的半径为2,∠POQ=π3,如图所示,在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B,C在弧P 上),则矩形ABCD面积的最大值为__________.【解析】作∠POQ的平分线OE,交AD于F,BC于E,连接OC,根据题意可知△AOD为等边三角形,则E为BC的中点,F为AD的中点,设∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OC sinα=2sinα,则AD=BC=2CE=4sinα,则OF=32AD=23sinα,OE=OC cosα=2cosα,则AB=2cosα-23sinα,所以矩形ABCD的面积S=BC·AB=4sinα(2cosα-23sinα)=4sin2α+43cos2α-43=8sin(2α+π3)-43,当2α+π3=π2,即α=π12时,S取得最大值8-43,所以矩形ABCD面积的最大值为8-43.答案:8-43[溯源点评]两题的区别在于扇形内接矩形ABCD的方式不同,考虑该问题是否能转化为更简单的、熟悉的问题来解决.根据图形的对称性,作∠POQ的平分线,分别交AD,BC于点F,E,从而使整个问题又回到教材中的问题.。
(山东卷：新高考全国Ⅰ卷)：热点(四) 三角函数与三角恒等变换 Word版含解析
热点(四) 三角函数与三角恒等变换1．(三角恒等变换)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6等于( ) A ．－45 B ．－35C. 45D.352．(三角恒等变换＋三角函数性质)函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数3．(三角恒等变换＋三角函数性质)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx cos φ＋(2cos 2ωx －1)sinφ.ω≠0，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.若f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f (x )，f ⎝⎛⎭⎫π2ω＋f (π)＝0，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C. π4 D.π6 4．(三角函数图象与性质)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的部分图象如下图所示，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )为奇函数B ．函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) C ．函数g (x )为偶函数D ．函数g (x )的图象的对称轴为直线x ＝k π＋π6(k ∈Z )5．(多选题)[2020·山东济南模拟](三角函数图象性质)已知直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ<π2图象的一条对称轴，则( ) A ．φ＝－π6B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得到y ＝2sin 2x 的图象D ．f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到y ＝2sin 2x 的图象6．(多选题)[2020·山东烟台、菏泽联考](三角函数图象与性质)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A ．φ＝π3B ．函数f (x )的最小正周期为πC ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称D ．函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 7．(多选题)[2020·山东济南质量针对性检测](三角恒等变换＋三角函数图象与性质)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2x －2cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )的最小正周期为πB ．函数g (x )的最小值为－1C ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π6对称D ．函数g (x )在⎣⎡⎦⎤2π3，π上单调递减 8．(多选题)[2020·山东淄博部分学校联考](三角函数图象与性质)已知函数f (x )＝A cos(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列说法正确的是( )A ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋11π12(k ∈Z )9．[2020·山东青岛检测](三角恒等变换)若sin θ＋cos θ＝15(0≤θ≤π)，则tan θ＝________.10．[2020·山东名校联考](三角恒等变换＋对数函数性质)已知函数f (x )＝log a (x －1)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在角α的终边上，则cos 2α－sin 2α＝________.11．(三角函数图象与性质)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则φ的值为________，此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上的值域是________． 12．(三角恒等变换＋三角函数图象与性质)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．热点(四) 三角函数与三角恒等变换1．答案：D解析：通过观察题目可得：π3－x 与x ＋π6两角整体相加得π2，可由诱导公式得sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，故选D. 2．答案：B解析：∵f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin 2x ＋sin 2x ＝2sin 2x∴f (－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )是奇函数，且最小正周期是T ＝2π2＝π，故选B.3．答案：D解析：由题意知f (x )＝sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＝sin(2ωx ＋φ)，因为f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f (x )，所以x ＝π6为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，即π3ω＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， 所以2πω＝3π＋6k π－6φ，k ∈Z ，① 又因为f ⎝⎛⎭⎫π2ω＋f (π)＝0，所以sin φ＝sin(2πω＋φ)② 由①②可得sin φ＝sin 5φ又0<φ<π2，∴0<5φ<5π2.∴φ＋5φ＝π或5φ＝φ＋2π或φ＋5φ＝3π， 解得φ＝π6或π2(舍去)，故选D.4．答案：B解析：由图象可知f (x )的周期为π，过点⎝⎛⎭⎫5π12，3，最大值3，所以A ＝3，T ＝2πω＝π，ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝3， ∴φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，∴取k ＝0时，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度得g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 当－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，即x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )时，函数g (x )单调递增，B 正确；g (x )不是奇函数也不是偶函数，A 、C 错；对称性，由2x ＋π3＝π2＋k π得，x ＝π12＋k2π，(k ∈Z )，故D 错．5．答案：AD解析：由题意可得2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，故选项A 正确；函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，函数不具有单调性，故选项B 错误；f (x )的图象向左平移π6个单位长度可得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，故选项C 错误；f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－π6＝2sin 2x 的图象，故选项D 正确．故选AD. 6．答案：BD解析：由题可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为0<φ<π，所以－π2＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以－π2＋φ＝π6，φ＝2π3，故A 错误；f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，故C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，则D 正确．故选BD. 7．答案：AC解析：函数f (x )＝2×⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －2cos 2x ＝3sin 2x－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则函数g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，g (x )的最小值为－2；g (x )的图象的对称轴为直线2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即直线x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，直线x ＝π6为g (x )的图象的一条对称轴；令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，当k＝0时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减．故选AC.8．答案：AD解析：由图可知，A ＝2，14×2πω＝2π3－π6，得ω＝1，由f ⎝⎛⎭⎫π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝2以及|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π12.h (x )＝22cos （x ＋π12）＋2，令h (x )＝0，得cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝－22，易知该方程的实根之间差的绝对值的最小值为π2，选项A 正确；g (x )的最大值为22，选项B 不正确；g ′(x )＝－22sin （x ＋π12）＝－3无解，选项C 不正确；由x ＋π12＝π＋k π(k ∈Z )，得g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以选项D 正确．故选AD.9．答案：－43解析：解法一：因为0≤θ≤π，所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tanθ＝－43.解法二：将sin θ＋cos θ＝15的两边平方可得sin θcos θ＝－1225<0，因为0≤θ≤π，所以sin θ>0，cos θ<0，所以π2<θ<π，又sin θ＋cos θ＝15，所以|sin θ|>|cos θ|，则|tan θ|>1，所以sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－1225，解得tan θ＝－43或tan θ＝－34(不合题意，舍去)．解法三：将sin θ＋cos θ＝15的两边平方可得sin θcos θ＝－1225，所以sin θ，cos θ是方程x 2－15x －1225＝0的两个根，因为0≤θ≤π，所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43. 10．答案：25解析：由题意可知点A 的坐标为(2，－1)，又点A 在角α的终边上，所以sin α＝－15，cos α＝25，故cos 2α－sin 2α＝(cos 2α－sin 2α)－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫45－15－15＝25. 11．答案：－π6(－1,2)解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可得函数的最小正周期T ＝2×π2＝π，即2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由题意可得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝2sin2x ＋⎝⎛⎭⎫2π3＋φ，因为g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.设t ＝2x －π6，因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以t ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π2，故sin t ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上的值域为(－1,2)． 12．解析：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，可得到y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.。
重难点专题15 三角恒等变换八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
题型8正余弦和差积问题 (11)非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tan p =ba，但是处理拔高题，仅仅简单的用此公式|是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次应用，不仅仅会"化正"，更要会“化余”.asin α＋bcos α=a2+b2（aa2+b2sinα+ba2+b2cosα）令cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2,asin α＋bcos α=a2+b2（aa2+b2sinα+ba2+b2cosα）=a2+b2（cosφsinα+sinφcosα）=a2＋b2sin(α＋φ)辅助角公式满足：asin α＋bcos α=a2+b2（aa2+b2sinα+ba2+b2cosα）=a2＋b2sin(α＋φ)，-a2＋b2≤asin α＋bcos α≤a2＋b2常见角的变换有：分式型最终目标是分别把分子分母化为积的形式，便于约分来化简.两角和的正切公式的常见四种变形：T (α＋β)：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.④1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β；T (α－β)：①tan α1tan β＝tan(α1β)(1+tan αtan β)；②tan α-tan β-tan α·tan β·tan(α-β)＝tan(α-β)；④tan α·tan β＝tan α-tan βtan(α-β)-1④1+tan αtan β＝tan α―tan βtan(α―β)；给值求角问题的解题策略:(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．1.二倍角公式2.升幂与降幂公式1．降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.注意：倍角公式中的"倍角"是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.sinα±cosα的问题一般通过1.平方法2.换元法进行解决。
专题23 简单的三角恒等变换原卷版-2025版高中数学一轮复习讲义,知识梳理、考点突破和分层检测
专题23简单的三角恒等变换（新高考专用）【真题自测】 (2)【考点突破】 (3)【考点1】三角函数式的化简 (3)【考点2】三角函数求值问题 (4)【考点3】三角恒等变换的应用 (5)【分层检测】 (6)【基础篇】 (6)【能力篇】 (7)【培优篇】 (8)一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-2．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B C D 3．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．65二、解答题4．（2023·北京·高考真题）设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．(1)若(0)2f =-，求ϕ的值．(2)已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【考点1】三角函数式的化简一、单选题1．（2024·河北承德·二模）函数()ππ2cos 226f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象的对称轴方程为（）A ．ππ,Z 32=+∈k x k B ．ππ,Z 22k x k =+∈C ．5ππ,Z 122k x k =+∈D ．7ππ,Z 122k x k =+∈2．（2024·江西景德镇·三模）函数()()cos f x x x ω=∈R 在[]0,π内恰有两个对称中心，()π1f =，将函数()f x 的图象向右平移π3个单位得到函数()g x 的图象.若()()35f g αα+=，则πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．725B ．1625C ．925-D ．1925-二、多选题3．（23-24高三下·河南·阶段练习）下列函数中，最小值为1的是（）A ．42()sin cos f x x x=+B ．2211()sin 1cos 2f x x x =+++C ．7()2sin 2cos sin cos 2f x x x x x =+++D ．()|sin ||cos |f x x x =+4．（2024·全国·模拟预测）已知函数()ππsin sin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()f x 的值域为⎡⎣B ．π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 在π3π,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点三、填空题5．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．6．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+.反思提升：1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【考点2】三角函数求值问题一、单选题1．（2023·重庆·222sin183cos 9sin 91-- ）A ．12B ．1C ．2sin 9D ．22．（2024·四川眉山·三模）已知ππ50,,cos 2313αα⎛⎫⎛⎫∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin α=（）A B C D 二、多选题3．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为14的是（）A ．22cos 75sin 75-B ．2tan151tan 15+C ．cos36cos72D ．2cos 20cos 40cos804．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（）A ．存在α，β，使()tan tan tan αβαβ-=-B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件D ．在ABC 中，若5cos 13A =，4sin 5B =则cosC 的值为3365或6365三、填空题5．（2023·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，()0,0O 、()sin ,cos A αα、ππcos ,sin 66B αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2π3AOB ∠=时.写出α的一个值为.6．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）已知3sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为．反思提升：1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)－π2，.【考点3】三角恒等变换的应用一、单选题1．（2024·河北·模拟预测）函数)cos3n2(4si f x x x =-在区间[]2024π,2024π-内所有零点的和为（）A ．0B ．2024π-C ．1012πD ．1012π-二、多选题2．（21-22高一下·福建厦门·期中）已知对任意角α，β均有公式()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ+=+-.设△ABC 的内角A ，B ，C 满足()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+.面积S 满足12S ≤≤.记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列式子一定成立的是()A ．1sin sin sin 4A B C =B ．2sin aA≤≤C ．8abc ≤≤D ．()8bc b c +>3．（20-21高三上·福建莆田·期中）对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（）A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、填空题4．（2022·浙江·模拟预测）在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在线段,BC AB 上，33AC BC BD ===，60EDC ∠=︒°，则DE =，BCE 的面积等于．5．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）在ABC 中，已知31,4CA CB A B π==-=，则tan B =，AB =．6．（2022·浙江·模拟预测）如图，在ABC 中，sin BAC ∠=AD AC ⊥，2AD =，4ABC π∠=，则sin BAD ∠=，BD =.反思提升：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·江西南昌·二模）已知ππ12cos 2cos cos 312124x x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 26x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-C ．78D ．78-2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若tan 2α=，则2sin2cos2sin ααα-的值为（）A ．47-B ．23C ．49D ．473．（2023·全国·模拟预测）若sin 21cos θθ=-=（）A ．5B ．43C ．2D ．44．（2023·陕西·一模）在ABC 中,如果()cos 2cos 0B C C ++<,那么ABC 的形状为（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定二、多选题5．（2024·浙江·二模）关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（）A ．最小正周期为2πB ．关于点π6⎛- ⎝中心对称C 2+D ．在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减6．（23-24高三下·广西·开学考试）关于函数()22cos 1f x x x =-+有下述四个结论，其中结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线5π6x =对称C ．()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．（2023·河南·模拟预测）设函数()2cos 2cos (0)f x x x x m ωωωω=++>，且相邻两条对称轴之间的距离为π2，R x ∀∈，()2f x ≥，则（）A ．1ω=，3m =B ．()f x 在区间ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象关于y 轴对称D ．当()πZ 6x k k π=+∈时，函数()f x 取得最大值三、填空题8．（2024·山西晋城·二模）已知tan 2tan αβ=，1sin()4αβ+=，则)in(s βα-=．9．（2023·山西朔州·模拟预测）已知α为锐角，且π2πsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则tan α=.10．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则ABC 的形状为.四、解答题11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数π())sin 12f x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()1,7,8f A a c ===，求ABC 的面积．12．（2021·辽宁朝阳·二模）在①()()b a c b a c ac +--+=；②()()cos sin A B A B +=-；③tan sin 2A BC +=这三个条件中任选两个，补充在下面问题中．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a =______，______？若三角形存在，求b 的值；若不存在，说明理由．【能力篇】一、单选题1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()222sin cos sin cos f x x x a x x =--，若()56f x f x π⎛⎫ ⎪⎝--⎭=，则直线24980x y ππ--=与()f x 的图象的交点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、多选题2．（2020高三下·山东·学业考试）下列结论正确的是（）A ．若tan 2α=，则3cos 25α=B ．若sin cos 1αβ+=，则221sin cos 2αβ+≥C ．“0x ∃∈Z ，0sin x ∈Z ”的否定是“x ∀∈Z ，sin x ∉Z ”D ．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得图象关于原点对称三、填空题3．（2021·北京海淀·模拟预测）若实数α∀，β满足方程组12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪=，则β的一个值是.四、解答题4．（2024·河北·模拟预测）在①sin B A ；②cos cos 2cos b C c B B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin A B A C +-=，b =，______.(1)求B ；(2)求ABC 的周长.注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.【培优篇】一、单选题1．（2024·陕西渭南·三模）若函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在()0,π内恰好存在8个0x ，使得()02f x =，则ω的取值范围为（）A ．197,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．197,62⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2πsin 22sin 106f x x x ωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小值是B ．若1ω=，则()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围为7,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．函数()()3f x y f x =-的值域为⎡⎢⎣⎦三、填空题3．（2024·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，ABC ∠，C 所对的边分别为,,a b c ，2π3ABC ∠=，D 是边AC上一点，且cos sin BD C c A ⋅=，BD =BDC ∠为钝角，则当2a c +最小时，CD =．。
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三角函数的化简，对三角的和式， 基本思路是降幂、消项和逆用公式；对 三角的分式，基本思路是分子与分母的 约分或逆用公式，最终变成整式或数值； 对二次根式，则需要运用倍角公式的变 换．在具体过程中体现的则是化归的思 想，这是一个“化异为同”的过程，涉 及到切弦互化，即“函数名”的“化 同”；角的变换，即“单角化倍角”、 “单角化复角”、“复角化复角”等具 体手段．下面以例题说明．
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三角恒 等变换
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三角函数式的化简与证明
三角恒等变换是本章的核心内容， 实际上，本章的所有公式都是在公式C(α －β)的基础上通过恒等变换得到的．因此 熟练掌握每一个公式的来龙去脉，即熟 悉各个公式之间的内在联系，才能记得 准，记得快，当然用的时候还需要突出 一个“活”字，即掌握公式的正用、逆 用、变形等灵活应用公式的技巧．
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【点评】 变角是给值求值问题最 为常见的技巧，因此对于角的常见变换 要熟悉，具体的变角技巧可参见第一节 的相关内容．当然还要熟悉一些互余角 的关系．
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例4
已知 tanα，tanβ 是方程 x2＋3 3 3x＋ π 3π 4＝0 的两根，且 α，β∈( ， )，试求 α 2 2 ＋β 的值．
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例1
2cos2α－1 化简 . π π 2tan( －α)sin2( ＋α) 4 4
【思路点拨】 观察待化简式，我们看到 它是一个分式型的，分子较易处理，很容易看 出，它是余弦二倍角公式的逆用．分母相对复 杂，既有名的不同，还有角的不同，但是角有 π π π π 特征， 我们看到4－α 与4＋α 互余， 4－α 与4 且 ＋α 的两倍还可以使用诱导公式．根据公式使 用的不同，我们有下面三种方法．
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例2
试求 3tan10° ＋4sin10° 的值．
【思路点拨】 观察式中函数的特 征及角的特征：有切有弦，且有数值 3 以及4.为此采取化异为同，首先采取切化 弦．
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3sin10° ＋4sin10° cos10° 【解】 原式＝ ＝ cos10° 3sin10° ＋2sin20° (注意到角的差异，且 10° ＝30° － cos10° 20° ，变角) 3sin(30° －20° )＋2sin20° ＝ cos10° 3sin30° cos20° 3cos30° － sin20° ＋2sin20° ＝ cos10° 3 1 ＋ 2 cos20° 2sin20° ＝ cos10° sin(60° ＋20° sin80° ) ＝ cos10° ＝cos10° ＝1.
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【点评】 已知正切的和tanα＋tan β，和的正切tan(α＋β)以及正切的积tanα· tanβ中的任意两个，便可求另一个，而 问题中一旦涉及tanα＋tanβ，tanαtanβ时， 需立即联想到tan(α＋β)．此外在求角的 过程中要特别注意不要扩大角的范 围．为此常常需要进行一定的探讨．
பைடு நூலகம்
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【 解 】 法 一 ： 原 式 ＝ cos2α－sin2α 1－tanα π π 2· (sin4cosα＋cos4sinα)2 1＋tanα (cos2α－sin2α)(1＋tanα) ＝ 2 (复角化单 (1－tanα)(cosα＋sinα) 角，进一步切化弦) sinα 2 2 (cos α－sin α)(1＋ ) cosα ＝ ＝ 1( 使 用 sinα (1－ )(cosα＋sinα)2 cosα 平方差公式)．
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【点评】 从解题过程来看，本题 包含了常见的三角变换的技巧．函数名 不同时，化为同名，角向特殊角进行转 换，特殊值与特殊角的转换等技巧．
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例3
4 已知 α，β 为锐角，cosα＝ ，tan(α 5 1 －β)＝－ ，求 cosβ 的值． 3
【思路点拨】 注意到所给值中的 角与要求函数值的角之间的差异，因此 考虑将单角变为复角．
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考点二
三角函数求值
三角函数求值 三角函数求值主要有三种类型，即 (1)“给角求值”，一般给出的角都是 非特殊角，从表面看较难，但仔细观察 这类问题中的角与特殊角都有着一定的 关系，如和或差为特殊角，当然还有可 能需要运用诱导公式．
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(2)“给值求值”，即给出某些角的三 角函数式的值，求另外一些三角函数的 值，这类求值问题关键在于结合条件和 结论中的角，合理拆、配角．当然在这 个过程中要注意角的范围的变化． (3)“给值求角”，本质上还是“给值 求值”，只不过往往求出的是特殊角的 值，在求出角之前还需结合函数的单调 性确定角，必要时还要讨论角的范围．
(倍角公式 π π 1－cos( －2α) 1－cos( ＋2α) 2 2 2· · π 2 sin( －2α) 2 及其变换) cos2α ＝ (使用诱导公式) 1－sin2α (1＋sin2α) cos2α cos22α ＝ ＝1. 1－sin22α
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【点评】 三角函数化简的实质是 灵活地运用公式进行计算，使之得到一 个便于观察和研究的结果．在这个过程 中，要体现一个“活”字．当然“活” 的体现涉及到公式的“活”和角的 “活”．
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π π π π 【解】 ∵0<α<2，0<β<2，∴－2<α－β<2， 1 π 又 tan(α－β)＝－ ，∴－ <α－β<0. 3 2 1 sin(α－β) 由 tan(α－β)＝－3＝ ，且 sin2(α－β) cos(α－β) ＋cos2(α－β)＝1， 1 3 ∴sin(α－β)＝－ ，cos(α－β)＝ ， 10 10 从而 cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋ 4 3 3 1 9 10 sinαsin(α－β)＝5× －5 × ＝ 50 . 10 10
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法二：原式＝ π 2 π 2tan( －α)cos ( －α) 4 4 cos2α ＝ (切化弦) π π 2sin( －α)cos( －α) 4 4 cos2α cos2α ＝ ＝ ＝1( 逆用正弦 π cos2α sin( －2α) 2 的二倍角公式)．
cos2α
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法 三 ： cos2α 原 式 ＝
【思路点拨】 利用根与系数的关 系及两角和的正切公式．
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【解】 因 tanα， 是方程 x2＋3 3 tanβ x ＋ 4 ＝ 0 的 两 根 ， 于 是 tanα＋tanβ＝－3 3 ， tanαtanβ＝4 π 3π 又 α， β∈(2 ，2 )， ∴tanα<0， tanβ<0， π π ∴2<α<π，2<β<π，∴π<α＋β<2π， tanα＋tanβ －3 3 而 tan(α＋β)＝ ＝ 1－tanαtanβ 1－4 4 ＝ 3，∴α＋β＝3π.