【月考试卷】2020届双十中学高三第二次月考数学(文)试卷及答案

双十中学2020届高三（上）文科数学月考二试卷考试时间：2019年12月6日用时：120分钟分值：150分一、选择题：( 本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案填入答题卡填空题的相应位置．）1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则(∁U P)∪Q＝( ) A．{1} B．{3,5} C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}2.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为（）A. 30B. 40C.50D. 803．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n4.设向量a＝(3，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－3)，若b∥c，则a－b与b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°5.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵，记a n 为图中第n 行各个数之和，则a 5＋a 11的值为( )A. 1 040B.1 020C.1 038D. 5286．已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞07.过焦点为F 的抛物线2=12y x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若=10NF ，则MF =（ ）A. 163B. 253C. 328D. 3238.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增D.将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2sin 2x9.正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为( )A.13B.12C.33D.3 210.为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )A.()30＋303 m B.()30＋153 mC.()15＋303 m D.()15＋153 m11.如图，可导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，设h(x)＝f(x)－g(x)，则下列说法正确的是( )A.h′(x0)＝0，x＝x0是h(x)的极大值点B.h′(x0)＝0，x＝x0是h (x )的极小值点C.h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D.h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0).圆C ：(x －c )2＋y 2＝1上所有点都在椭圆E 的内部，过椭圆上任一点M 作圆C 的两条切线，A ，B 为切点，若∠AMB ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，则椭圆C 的离心率为( )A.2－ 2B.3－2 2C.32－ 2 D.2－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填入答题卡填空题的相应位置．）13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，cos(α－β)＝________.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a^＝________.15.已知圆锥的高为3，侧面积为20π，若此圆锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________.16.已知数列{a n}满足：a n＋1＝a n(1－2a n＋1)，a1＝1，数列{b n}满足：b n＝a n·a n＋1，则数列{b n}的前2 020项的和S2 020＝________.三、解答题：(本大题6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17. （本小题满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估O MPC BA计值为0.70.(1) 求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2) 分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．18. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 求数列{|a n －n －2|}的前n 项和T n ．19. （本小题满分12分）如图，在三棱锥-P ABC中，==AB BC 4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点． (1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．20.(本小题满分12分)函数2()ln x f x ae x x =+-(e 为自然对数的底数)，a 为常数，曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为(e ＋1)x －y ＝0。

(1) 求实数a 的值；(2) 证明：f (x )的最小值大于5ln 24+。

21． (本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .① 设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k k'为定值． ② 求直线AB 的斜率的最小值．22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线21:1C y x =-以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅u u u v u u u v的取值范围； （2）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值.双十中学2020届高三（上）文科数学月考二参考答案一、选择题： 1-5 CBCDA 6-10 DBDCA 11-12 BB3.解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确．故选 C.答案 C4.答案 D 解析 ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3，∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角的余弦值为－124×23＝－32，又∵夹角的范围是[0°，180°]，∴夹角为150°，故选D.5.答案A 解析 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4＝22，a 4＝8＝23，a 5＝16＝24，…，所以a n ＝2n －1，所以a 5＋a 11＝24＋210＝1 040，故选A.6.解析 由a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，及log a b ＞1＝log a a 可得： 当a ＞1时，b ＞a ＞1，当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1，代入验证只有D 满足题意．答案 D7.【答案】B 【解析】记准线与x 轴的交点为A ，因为6AF =，10NF =，所以8AN =，即M 的纵坐标为8或-8，则2816123M x ==，故16163323p MF =+=+ 253=.故选B.8.答案 D 解析 A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12 ，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得 φ＝－2π3 ，所以函数是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x＝－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确，故选D.9.答案 C 解析 如图，连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角.设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以OE 2＋OB 2＝BE 2，所以△EOB 为直角三角形，且∠BOE ＝90°，所以cos∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.10.答案 A 解析 在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60， sin 15°＝sin ()45°－30°＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24. 由正弦定理，得AB sin∠APB ＝PB sin∠PAB，即PB ＝AB ·sin 30°sin 15°＝30()6＋2，∴建筑物的高度h ＝PB sin 45°＝30()6＋2×22＝()30＋303 m.11.答案 B 解析 由题设有g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，故h (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)，因为h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，又当x <x 0时，有h ′(x )<0，当x >x 0时，有h ′(x )>0，所以x ＝x 0是h (x )的极小值点，故选B.12.答案 B 解析 如图可知，当且仅当点M 为椭圆的左顶点时，∠AMB 最小，即∠AM 1B ＝π3，在Rt△AM 1C 中，|AC |＝1，∠AM 1C ＝30°，则|M 1C |＝a ＋c ＝2， 同理，当点M 为椭圆的右顶点时，∠AMB 最大，可得|M 2C |＝a －c ＝2，解得a ＝2＋22，c ＝2－22，离心率e ＝ca ＝3－22，故选B.13.答案 －79 解析 ∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，∴sin α＝sin β＝13，cos α＝－cos β，∴cos ()α－β＝cos αcos β＋sinαsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝29－1＝－79.14.答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5， y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以点(2.5,3.5)在回归直线y ^＝－0.7x ＋a ^上，即 3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25. 15.答案256π81解析 设圆锥的母线长为l ，底面的半径为r ，则πrl ＝20π，即rl ＝20，又l 2－r 2＝9，解得l ＝5，r ＝4.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R ，则 12(5＋5＋8)×R ＝12×3×8，故R ＝43，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫433＝256π81. 16.答案 20204041 解析 由a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，可得1a n ＋1－1a n ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以a n ＝12n －1.又b n ＝a n ·a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S 2 017＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋14 033－14 035＝12×4 0344 035＝2 0174 035. 同理可得S 2 020＝2020404117.解析 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.18.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n . 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.HO MPCBA(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1， 当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋91－3n －21－3－n ＋7n －22＝3n －n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n－n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.19．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且23=OP连结OB ．因为22==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知122==OC AC ，2423==CM BC ，45∠=o ACB ．所以25=OM sin 45⋅⋅∠==OC MC ACB CH OM ．所以点C 到平面POM 45．20.（1）解：对()f x 求导可得1()2x f x ae x x'=+-，所以(1)1f ae '=+. 由曲线()f x 在1x =处的切线方程为(1)0e x y +-=可知11ae e +=+，故1a =. （2）证明：由（1）知2()ln x f x e x x =+-，得1()2x f x e x x'=+-， 又再次求导易知21()20x f x e x ''=++>，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增. 注意到1142111()40,()120422f e f e ''=+-<=+->，所以由零点存在性定理可知存在011(,)42x ∈，使得0()0f x '=，即000120x e x x +-=，即00012x e x x =-. 当00x x <<时，()f x 单调递减；当0x x >时，()f x 单调递增. 于是0222000000000011()()ln 2ln (1)ln 1x f x f x e x x x x x x x x x ≥=+-=-+-=-+--，易知200001()(1)ln 1f x x x x =-+--在11(,)42上单调递减， 所以015()()()ln 224f x f x f ≥>=+.21.(1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m )．所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0. 直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k k '＝－3.所以k k'为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线PA 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2－22k 2＋1x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－22k 2＋1x 0＋m .同理x 2＝2m 2－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m .所以x 2－x 1＝2m 2－218k 2＋1x 0－2m 2－22k 2＋1x 0＝－32k 2m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0， y 2－y 1＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2－22k 2＋1x 0－m ＝－8k 6k 2＋1m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，26648m=-，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 22.解：（1）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，cos sin 12121]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭u u u v u u u v .（2）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=.直线l的标准参数方程为2212x m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,mm 121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号12QM QN m m ∴-=+=‖‖。