新高一分班考试1资料.数学.第一讲.平面几何之直线型.学生版
高中数学第1章立体几何初步1.2.1平面的基本性质11高一数学
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生活中经常( jīngcháng)看到用三角架支撑照相机．
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存在 性 (cúnzài)
唯一性
公理3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个(yī ɡè)平面．
A
B C
不在一条直线上的三个点 A，B，C 所确定的平面，可以记成 “平面 ABC”．
基本性质3也可简单说成
不共线的三点确定(quèdìng)一个平面．
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举例(jǔ lì)：
木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端的对角线 拉直，以判断桌子四条腿的底端是在同一平面内，其依 据是什么？
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练习四
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是 AC 的中点．
判断(pànduàn)下列命题是否正确，并说明理由：
1. 由点A，O，C可以确定一个(yī ɡè)平面；
推论1 经过一条直线和直线外的一点， 有且只有一个平面 ．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
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内容(nèiróng)总结
1.2.1 平面的基本性质。1.2.1 平面的基本性质。温度计中的玻璃管被两个卡子固定在刻度盘上， 可以看到，玻璃管就落在了刻度盘上．。公理1 如果一条直线上有两点在一个(yī ɡè)平面内，。平面内
1.2.1 平面 的基本性质 (píngmiàn)
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导入 问题(wèntí公) 路、平静的海面、教室的黑板都给我们以平面
(píngmiàn)的形象． 你还能从生活中举出类似平面的物体吗？
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导入 1.平面(píngmiàn)
高一数学新人教版(A版)必修第1册《8.5.1 直线与直线平行》精品课件
学习目标
情境引入
在长方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 //AA1 ， DD1 //AA1 ，那么BB1与DD1 平行吗？观察你所在的教室， 你能找到相似的实例吗？
D1 A1
D A
C1 B1
C B
平行直线
基本事实4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 基本事实4 表述的性质通常叫做空间平行线的传递性
么 b∥c.
A．①②③
B．②④ C．③④
D．②③
2. 如图，在三棱锥 P ABC 中， E, F,G, H, I, J 分别为线段 PA, PB, PC, AB, BC,CA 的中点，则下列说法正确的是( C )
A. PH / /BG C. FH / /GJ
B. IE / /CP D. GI / /JH
D'
C'
A'
32
B'
D
C
1
A
B
当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位 置.
对于图（1），可以构造两个全等三角形，使 BAC 和 BAC 是它们的 对应角，从而证明 BAC BAC .
如下图，分别在 BAC 和 BAC 的两边上截取 AD，AE 和 AD ， AE ， 使得 AD AD ， AE AE .连接 AA ， DD ， EE ， DE ， DE .
3. 已知 AB//PQ ， BC//QR ， ABC 30 ，则 PQR ( B )
A. 30
B. 30 或150
C.150
D. 30 或120
4. 如图所示，在长方体 AC1 中， A1C1 与 B1D1 相交于点 O，E，F 分别 是 B1O ， C1O 的中点，则长方体的各棱中与 EF 平行的有( B )
新高一分班考试试卷
新高一分班考试试卷 试卷编号：20240324 考试科目：数学 考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列哪个数是无理数？ A. 2.5 B. √2 C. 0.33333... D. 3
2. 函数y=f(x)=x^2+2x+1的最小值是？ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 以下哪个图形是轴对称图形？ A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 不规则多边形
4. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是什么类型的三角形？ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不等边三角形
5. 以下哪个函数是奇函数？ A. y = x^2 B. y = x^3 C. y = x + 1 D. y = -x
6. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，那么A∩B等于？ A. {1} B. {2, 3} C. {3, 4} D. {1, 2, 3, 4}
7. 函数y=f(x)=2x-1的反函数是？ A. y = (x+1)/2 B. y = (x-1)/2 C. y = 2x+1 D. y = -2x+1
8. 以下哪个不等式是正确的？ A. 3 > 2x B. 2x < 3 C. x > 3/2 D. x < 3/2
9. 已知函数y=f(x)=x^2-4x+4，求f(2)的值？ A. 0 B. 4 C. 8 D. 12
10. 以下哪个选项是复数？ A. 3+4i B. 5 C. 2π D. √2
二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知函数y=f(x)=x^2-6x+8，求f(3)的值。
12. 函数y=f(x)=x^3-3x的导数是________。 13. 集合A={x|x^2-5x+6=0}，求A的元素。 14. 已知向量a=(2, -1)，向量b=(1, 3)，求向量a和向量b的数量积。
人教版高一数学分班考试试卷
人教版高一数学分班考试试卷同窗们觉得功课学起来有难度呢?查字典数学网小编为大家编辑了高一数学分班考试试卷，协助大家轻松愉快地学习高中功课，请同窗们参考下文!1.以下命题：①书桌面是平面;②8个平面堆叠起来，要比6个平面堆叠起来厚;③有一个平面的长是50m，宽是20m;④平面是相对的平、无厚度，可以有限延展的笼统数学概念. 其中正确命题的个数为________.2.假定点M在直线b上，b在平面β内，那么M、b、β之间的关系用符号可记作____________.3.平面α与平面β、γ都相交，那么这三个平面能够的交线有________条.4.α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，以下推理错误的选项是__________(填序号).①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β;②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β=MN;③A∈α，A∈β?α∩β=A;④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合.5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号)①两条直线;②一点和不时线;③一个三角形;④三个点.6.空间有四个点，假设其中恣意三个点不共线，那么经过其中三个点的平面有__________个.7.把以下符号表达所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.(1)AD/∈α，a?α________.(2)α∩β=a，PD/∈α且PD/∈β________.(3)a?α，a∩α=A________.(4)α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O________.8.α∩β=m，a?α，b?β，a∩b=A，那么直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.9.以下四个命题：①两个相交平面有不在同不时线上的三个公共点;②经过空间恣意三点有且只要一个平面;③过两平行直线有且只要一个平面;④在空间两两相交的三条直线必共面.其中正确命题的序号是________.二、解答题10.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD战争面SAC的交线，并说明理由.11.如下图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延伸线)区分与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同不时线上.才干提升12.空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点.13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：(1)C1、O、M三点共线;(2)E、C、D1、F四点共面;(3)CE、D1F、DA三线共点.小编为大家提供的高一数学分班考试试卷大家细心阅读了吗?最后祝同窗们学习提高。
高一数学新人教版(A版)必修第1册《8.5.2 直线与平面平行》精品课件
E
F
O
达标小测
课堂总结
（1）直线与平面平行的判定定理
课堂总结
（2）直线与平面平行的性质定理
学法指导 新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化：调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验，设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。 课堂中要使学生体验数学与现实生活与其他学科的联系，锻炼了表达和解决问题的能力；培养了学生运用数学思维进行表达与交流的能力，发展应用意识与实践能力。课堂教学要让学生有充分的独立思考的时间，有丰富的动手操作活动，培养学生学会观察，学会表达。只有坚持学习，与时俱进，真正做到以培养学生的核心素养为目标，我们才能提高教学质量。
判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例。
(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；
（2）如果直线a和平面α 满足a∥平面α ,那么a 与平面α内的任何直线平行
（3）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;
(5)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条
图像语言：
符号语言：
线面平行线线平行
α
理论迁移
例2 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.（1）要经过面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
E
F
平行的性质定理
解法2（利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质）
高中数学 第1部分 2.3.3-2.3.4第2课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版
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解：证明：(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底 面是正方形， ∴AC⊥BD.又AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D， 故AC⊥平面BDD1B1， ∵E，F分别为棱AB，BC的中点，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
连接SD.因为AC⊥SA，AC⊥AD， SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA.
所以AC⊥SD. 又由题意，可知BC⊥SB.因为BC⊥BD，SB∩BD＝B， 所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.
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又BC∩AC＝C，于是SD⊥平面ACBD.
所以SD的长为点S到平面ABC的距离．
在Rt△SDA中易得SD＝ SA2－AD2＝ 22－12＝ 3.
因为P为SC的中点，故点P到平面ABC的距离为12SD＝
3 2.
[类题通法] 求点到面的距离的关键是确定过点与平面垂直的线
段．可通过外形进行转化，转化为易于求解的点，等体积法 也是求点到平面的距离的常用方法．
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[活学活用] 2. 如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为
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6
[证明] 如图，过点B作直线a′∥a，a′与b确定的平 面设为γ.
因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b， a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，c⊂β，所以b⊥c.① 因为a⊥α，c⊂α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c.② 由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
浙江杭州学军中学2024年新高一分班考试数学试题(原卷版)
学军中学新高一分班考 数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A 28，28，1 B. 28，27.5，3 C. 28，28，3 D. 28，27.5，1 3. 已知方程组32342321x y a x y a −=−−=− 的解满足x y >，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a < C. 5a > D. 5a < 4. 如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使BBBB =2BBDD ，连接AC ，5tan 3B =，则tan CAD ∠的值是（ ）AB. C. 13 D. 15 5. 如图，在Rt ABC △中，,,90AC BC ACB ∠=°，四边形,DEFG GHIJ 均为正方形，点E 在AC 上，点I 在BC 上，J 为边DG 的中点，则GH 的长为（ ）..A. 1921B. 1C. 6077D. 1002596. 如图，正方形OABC 的一个顶点O 是平面直角坐标系的原点，顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，P 为边OC 上的一个动点，且BP PQ ⊥ ，BP PQ = ，当点P 从点C 运动到点O 时，可知点Q 始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线 7. 如图，以点()5,0M −为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，P 是☉M 上异于A ，B 的一动点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点C ，D ，以CD 为直径的☉N 与x 轴交于点E ，F 则EF 的长为（ ）A. B. C. 6 D. 随P 点位置而变化 8. 已知二次函数图象的对称轴为1x =，且过点(3,0)A 与()0,1.5B ，则下列说法中正确的是（ ）① 当01x ≤≤时，函数有最大值2；② 当01x ≤≤时，函数有最小值2−； ③ P 是第一象限内抛物线上的一个动点，则PAB 面积的最大值为32； ④ 对于非零实数m ，当11x m >+时，y 都随着x 的增大而减小.A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分9. 已知a 是实数，且满足(30a −=，则代数式2241a a −+的值是_______________. 10. 已知函数3(1)()=+−y k x x k ，下列说法：①方程3(1)()3k x x k+−=−必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当3k >时，抛物线顶点在第三象限；④若0k <，则当1x <−时，y 随着x 的增大而增大，其中正确的序号是_______________.11. 如图，COD 是AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是_______.12. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC 相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______.13. 如图，边长为2的等边ABC 的顶点A 、B 分别在MON ∠的两边上滑动，当45MON ∠=°时，点O 与点C 的最大距离是________.14. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 为边CD 的中点，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连结OF ，则OF 的长为______.15. 如图，矩形ABCD 为☉O的内接矩形，3AB BC =，点E 为弧BC 上一动点，把弓形沿AE 折叠，使点O 恰好落在弧AE 上，则图中阴影部分的面积为________.16. 已知A 是双曲线2y x=在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限，已知点C 的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________.三、解答题：本大题有5个小题，共56分.17. 如图，已知∠A ，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）：（1）选取适当边长，在所给的∠A 图形上画一个含∠A 的直角三角形ABC ，并标上字母，其中点C 为直角顶点，点B 为另一锐角顶点；（2）以AC 为一边作等边△ACD ；（3）若设∠A =30°，BC 边长为a ，则BD 的长为__________________.18. 如图，PB 为O 的切线，B 为切点，过B 做OP 的垂线BA ，垂足为C ，交O 于点A ，连接P A 、AO ，并延长AO 交O 于点E ，与PB 的延长线交于点D.的（1）求证：P A 是O 切线；（2）若23OC AC =，且OC =4，求P A 的长和tan D 的值. 19. 已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =12cm ，BD =16cm.点P 从点B 出发，方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动.连接PF ，设运动时间为t （s ）（08t <<）.解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？（2）设四边形APFE 的面积为y （2cm ），求出y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APFE ：S 菱形ABCD =17：40？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.20. 为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱利润y 1（百元）与销售数量x （箱）的关系为()()115,0201017.5,206040x x y x x +<< = −+≤< ，在乡镇销售平均每箱的利润2y （百元）与销售数量t （箱）的关系为()()26,03018,306015t y t t << = −+≤<（1）t 与x 的关系是：将2y 转化为以x 为自变量的函数，则2y 等于？（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W （百元）当在城市销售量x （箱）的范围是020x <<时，求W 与x 的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）的的（3）经测算，在20x 30<≤的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x 的值.21. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,2−，点B 的坐标为（6,6），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E .（1）求点E 的坐标；求抛物线的函数解析式；（2）点F 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线EF 与抛物线交于M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求△BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（3）连结AN ，当△BON 面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似（点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应）的点P 的坐标.。
高中数学 第1部分 2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系课件 新人教A版
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[导入新知] 直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α 直线a与平面α
相交
平行
公共点 _无__数__个__公共点 __一__个__公共点 __没__有__公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
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[化解疑难] 1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关 系． (1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行． (2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交． (3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公 共点，这时直线在平面内． 2．直线在平面外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
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[活学活用] 2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，
则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的 面共有________个． 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相 对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个 面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个， 其余6个面与该侧面均为相交的关系． 答案：4 6
[答案] B
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[类题通法] 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、 直线与平面相交、直线与平面平行． 在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考 虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图 形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形 中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
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直线与平面的位置关系
[例 1] 下列说法：
①若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；②若直线 a∥b，直线
新高一分班考试.数学.第四讲.平面几何之三角形五星及圆幂定理
三角形五心及圆幂定理板块一 三角形五心平面上的三条或者三条以上直线恰巧相交于一点，该交点常称为巧合点．三角形中的一些线段或直线相交得到的巧合点，常称为三角形的巧合点．三角形中有许多巧合点，在这里，我们只讨论几个特殊的巧合点．一、重心定义：三角形的三条中线相交于一点（可由塞瓦定理证明）．三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形的内部．性质：（1）三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍．若G 为ABC △的重心，则AG BG CG GD GE GF==2=． （2）G 为ABC △的重心，则13ABG BCG ACG ABC S S S S ===△△△△．反之，设G 是ABC △中的一点，且13ABG BCG ABC S S S ==△△△，则G 为ABC △的重心．（3）G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则AD BE ⊥； 反之，若AD BE ⊥，则222AG BG CG +=．（4）G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥，PF AC ∥，KH AB ∥，则知识点睛①23DE FP KHBC CA AB===；②2DE FP KHBC CA AB++=．（5）G为边长为a的等边三角形ABC的重心，则GA GB GC===．二、外心定义：三角形三边的三条中垂线恰巧相交于一点，这个点到三角形的三个顶点距离相等．三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心．三角形的外心，就是三角形的外接圆的圆心．锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心就是斜边的中点．性质：（1）三角形的外心到三角形顶点的距离相等，且在各边的中垂线上．（2）设O为ABC△的外心，则2BOC A∠=∠，2AOC B∠=∠，2AOB C∠=∠．三、内心定义：三角形的三条内角平分线恰巧相交于一点，这一点到三角形的三条边的距离相等．三角形的三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心，就是三角形的内切圆的圆心．三角形的内心都位于三角形内．性质：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等．（2）设I为ABC△的内心，则1902BIC A∠=︒+∠，1902AIC B∠=︒+∠，1902AIB C∠=︒+∠．注：若AD是ABC△的角平分线，I是AD上一点，且1902BIC A∠=︒+∠，则I必为ABC△之内心．（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其内心的距离相等；反之，若ABC△的A∠的平分线与外接圆交于D，I上AD上的点，且DI DB=，则I为ABC△的内心．四、垂心定义：三角形的三条高线恰巧相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心．锐角三角形的垂心在三角形内，钝角三角形的垂心在三角形外，直角三角形的垂心就是直角顶点．性质：（1）三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边．（2）三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组（即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心），或者这四点中任两点的连线垂直于另两点的连线． （3）设H 为ABC △的垂心，则2222AB AC HB HC -=-，2222BA BC HA HC ==-，2222CA CB HA HB -=-．（4）设H 为ABC △的垂心，则180BHC B C A ∠=∠+∠=︒-∠，180CHA C A B ∠=∠+∠=︒-∠， 180AHB A B C ∠=∠+∠=︒-∠．（5）设H 为ABC △的垂心，则点H 关于该三边的对称点均在ABC △的外接圆上．事实上，如图，连AH 并延长交BC 于D ，交外接圆于1D ， 连HC ，CD '，则HCD HAB BCD '∠=∠=∠， 从而Rt Rt HCD D CD '△≌△，故H D D D '=． 同理可证得其余情形．在上述证明中，若连BH 、BD '，则BCH BCD '△≌△，从而知BHC △的外接圆与BCD '△的外接圆（就是ABC △的外接圆）相等．故有性质⑹． （6）设H 为ABC △的垂心，则ABC △、BCH △，ACH △、ABH △的外接圆是等圆． （7）设AD 、BF 、CF 为ABC △的三条高，垂心为H ，则图中有三组（每组4个）相似三角形，且AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅．五、旁心定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角和外角平分线的交点．显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心．性质：鉴于三角形旁心的位置关系（都在形外）和数量关系（存在三个），决定了它具有许多有用的几何性质．本讲仅给出如下三条．（1）旁心与内心的关系密切．若三角形中同时出现内心、旁心，就构成了三组三点共线、三组四点共圆．如图，I 为ABC △的内心，A I 、B I 、C I 是ABC △的三个旁心．显然，A 、I 、A I ，B 、I 、B I ，C 、I 、C I ，分别三点共线；同时，A I 、C 、I 、B 、，B I 、A 、I 、C 、，C I 、B 、I 、A 分别四点共圆．且A II ，B II ，C II 分别是上述三个圆的直径．IBAHD'DCBA注意，A II ，B II ，C II 的中点D 、E 、F （即三个圆的圆心）都在ABC △的外接圆上．这一点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用．（2）旁心与半周长()p 形影不离如图，A I 是ABC △的一个旁心． 作A I E AB ⊥于点E ，A I F AC ⊥于点F ，A I D BC ⊥于点D ． 易得BE BD =，CF CD =，AE AF =，AE AF +()()AB BD AC CD =+++AB BC AC =++故ABC AE AF p ==△．（3）旁心与三角形的三个顶点构成三组三点共线． 如图，A I 、B I 、C I 分别是ABC △的三个旁心．由于B AI 、C AI 是对顶角的平分线亦为反向延长线，故B I 、A 、C I 三点共线．同样地，C I 、B 、A I ，A I 、C 、B I 分别三点共线．如图，由熟知的内心张角公式1902BIC BAC ∠=︒+∠又因为A I 、C 、I 、B 四点共圆，故1902A BI C BAC ∠=︒-∠同理，1902B A CBA α∠=︒-∠，1902C AI B ACB ∠=︒-∠．以旁心为顶点的A B C I I I △必是一个锐角三角形．I A FEDCBAI AI BI CCB A【例1】 在ABC △中，3BC =，4AC =，AE 和BD 分别是BC 和AC 边上的中线，且AE BD ⊥．则AB 的长为（ ）． AB． C． DE ．不能确定【变式】 ⑴ 已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，10AB =，9AC =，12D E =，求平行四边形ABCD 的面积．⑵ 如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连接AF 、CD ．设AF 、CE 交于点G ，则AGCDABCDS S =________．【例2】 如图，锐角ABC △的外心为O ，直线BO 和CO 分别与边AC 、AB 交于B '、C '，直线B C ''交ABC △的外接圆于点P 、Q ，且AP AQ =． 求证：ABC △是等腰三角形．EACDGBDGCFBE A DGCFBE A C′B′OQ P CB AABCPQ OB′C′例题精讲【例3】 如图，ABC △的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC △的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证： ⑴ AI BD =； ⑵ 12OI AE =．【例4】 设ABC △的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，求证：BF CD =．IH OEDCBABGACDEOH IF DC BF DCBH GI 1ABCDFE【例5】 证明：三角形的外心、垂心、垂心三个巧合点在一条直线上（常称为欧拉线），且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍．【例6】 AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高（AB AC ），1I 、2I 分别是ABD △、ACD △的内心，12AI I △的外接圆O分别交AB 、AC 于点E 、F ，直线EF 、BC 交于点M ． 证明：1I 、2I 分别是ODM △的内心与旁心．I 2I 1MOF EDCBA板块二 圆幂定理 一、圆周的幂的性质（1）过点A 任作一条直线，与圆交于两点，AM 和AN 的乘积称为点A 关于该圆的圆幂。
新课标人教A高中数学必修点直线平面之间的位置关系PPT课件
B A
C
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2、过空间一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？两点呢？
不共线的三点呢？
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公理2
存在性
文字语言 过不在一条直线上的三点，有且只有
一个平面． 图形语言
唯一性
B
A
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的 平面，可以记成“平面ABC”．
• 平面的三个特征:平面是平的；平面无厚薄之分；平面是无限延展的.
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随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成R SITE HERE
小结
1，平面的概念,画法及表示
2，点、直线、平面间的基本关系
3，三条平面公理
新疆 王新敞
奎屯
公理1
A B
AB
公理2 A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
公理3 P , P , l P l
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YOUR SITE HERE
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YOUR SITE HERE
2、平面的画法
平面通常画成一个平行四边形，锐角通常 画成45°，且横边等于其邻边长的2倍 .
D
C
3、记法
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在锐角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
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4、相交平面画法：
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平面几何之直线型 分班考试的重要性：评价一个中学的好坏，看重的是升学率，而一个中学的实验班和普通班的升学率是相差很大的，因为很多学校的普通班和实验班的老师不一样，教学方法也不尽相同。所以想在辛苦考入的满意高中得到最优质的教学，进入实验班是非常重要的。实验班和普通班重要区别在于:
1、实验班生源好，学习氛围浓厚。
北京市的重点高中大都采用分层次教学，就是将最优异的学生放在最好的班上，比如人大附中高中最好的班是14班，其次是13班；14班到9班为理科实验班，依次减弱，8班为英语实验班，1~7班为普通班，平行分班;北大附中最好的学生进入实验1班，其次2班，3班等等。
2、实验班配备的师资力量雄厚。 任何一位重点中学的校长都明白一个道理：高中不再属于九年制义务教育的范畴，高考成绩成为衡量一个学校是否实力出众的最重要的标准。将最优秀的高中老师和最优异的学生结合在一起产生“化学效应”，是重点高中保证出高考成绩的最佳手段！
3、实验班的学生将会有更多的机会参加高中各类竞赛。 许多重点中学的实验班，例如人大附的第一实验班及实验中学的竞赛班等都肩负着为学校摘金夺银的重任，在这类班级就读的学生势必受到学校和老师的最大关注和支持。进入实验班就意味着能够参加更多的全国、全市竞赛，还能得到更多大学的加分，顺利进入名校；并且参加竞赛的培训在高考中将占有更多的优势。 分班考试数学课程的安排： 模块 主要内容 平面几何之直线型 相似、梅涅劳斯定理与塞瓦定理、费马点
方程 方程组的解、分式方程与不定方程、一元二次方程与高次方程、绝对值方程
二次函数 二次函数的图象与性质、二次函数最值、二次函数与方程不等式、几何图形的综合、韦达定理的应用、根的分布
三角形五心与圆幂定理 三角形五心、圆幂定理、勾股定理 三角形与四边形 三角形变换、四边形综合 数列 等差数列、等比数列、数列的通项、数列的求和 数论 整除理论、同余理论、数的进位制 排列组合 计数原理、排列、组合 圆锥曲线 椭圆、双曲线、抛物线 解析几何初步 直线与圆的方程、直线与直线及圆的位置关系 不等式 一元二次不等式、均值不等式、柯西不等式、不等式的构造 函数 抽象函数、函数的图象与性质、高斯函数
板块一 相似类 一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证ABBCBEBF，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母ABC，，恰为
ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母BEF，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABCEBF△∽△．
2．纵向定型法
知识点睛 欲证ABDEBCEF，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母ABC，，恰为ABC△的顶
点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母DEF，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABCDEF△∽△．
3．中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．
比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．
倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．
复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．
二、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．
如图：AD平分BAC交BC于D，求证：BDABDCAC． 321EDCAB 证法一：过C作CEAD∥，交BA的延长线于E． ∴1E，23． ∵12，∴3E．∴ACAE． ∵ADCE∥，∴BDBABADCBEAC．
点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．
BACD
E
12
证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E． ∴12E，∴ABBE． ∵BEAC∥，∴BDBEABDCACAC．
点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型． 三、相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：
图1：“山字”型HDCBA
如图：1212ABCACDBCAHSBCSCDCDAH△△．
图2：“田字”型GHO
D
CB
A
如图：1212ABCBCDBCAHSAHAOSDGODBCDG△△． 图3：“燕尾”型CDEBA 如图：ABDABDAEDACEAEDACESSSABADABADSSSAEACAEAC△△△△△△．
四、相似证明中的基本模型 IHGFEDCB
AGFED
CB
AED
CBAEDCB
A
EFDCBAFEDCBAODCBAODC
BA HEDCBA
E
DCB
AEDCBAOD
CBA
DCBDBACAEDCBADCBA
GFEDCBAGFEDCBAGFEDCB
ADE
FCB
A
HPMNFEDCBAGHGFEDCBAEFDCBAFEDCBA
【例1】 如图，ABC△内有一点P，过P作各边的平行线，把ABC△分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123SSS，，分别为112，，，则ABC△的面积是 ．
例题精讲 PS3
S2S1IHGFED
CB
A
【巩固】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC 与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果ABPRCD∶∶RQEFQP∶，求证：BCUSDESTFATU∶∶∶．
TS
U
RQPFEDCBA 【拓展】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上的点，且AQQDBPPCABCD∶∶∶，求证：直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角．
QPEFDCBAC'QPR
EFDC
BA
【例2】 如图所示，在ABC中，60B，100A，E为AC的中点，80DEC，D是BC边上的点，1BC，求ABC的面积与CDE的面积的两倍的和． EDCB
A 【巩固】已知：在ABC中，AD为BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长
线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且:4:3BCAEFEFD，．
⑴ 求证：AFDF ⑵ 求AED的余弦值； ⑶ 如果10BD，求ABC的面积． 板块二 梅涅劳斯定理与塞瓦定理
梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC△的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么1
AFBDCE
FBDCEA．这条直线叫ABC△的.梅氏线，ABC△叫梅氏三角形．
证法一：如左图，过C作CG∥DF ∵DBFBDCFG，ECFGAEAF
∴1
AFBDCEAFFBFG
FBDCEAFBFGAF．
证法二：如中图，过A作AGBD∥交DF的延长线于G ∴AFAGFBBD，BDBDDCDC，CEDCEAAG
三式相乘即得：1
AFBDCEAGBDDC
FBDCEABDDCAG．
证法三：如右图，分别过ABC、、作DE的垂线，分别交于123HHH、、．
则有123AHBHCH∥∥，
所以312
2311CHAHBHAFBDCEFBDCEABHCHAH．
知识点睛