3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(2)
教案：3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)
必修5 3.3二元一次不等式（组）与平面区域 （教案）（第 1 课时）【教学目标】1．了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域；2.培养画图能力和解决问题的能力．【重点】灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域【难点】如何确定不等式0(Ax By C ++>或<0)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 82 页～第 85 页）1．不等式34x -<<在数轴上的图形为 ，可见一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间.2.（1） 二元一次不等式为含有两个未知数，并且未知数的次数为1的不等式.（2）二元一次不等式组称为（3）二元一次不等式(组)的解集称为满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.可见二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合.3. 根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题.设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，则得不等式组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+0,030000001012,25000000y x y x y x . 【基础练习】分别画出满足下列条件的点的集合.1. {}1x x >；2. {}2x x <；3. {}13x x <≤；4. {}(,)1,x y x y R <∈；5. {}(,)6x y x y -=；6. {}(,)6x y x y -<.解： 1.2.3. 4.5．6．【典型例题】 例1 画出44<+y x 表示的平面区域.【审题要津】画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特别是，当0≠C 时，常把原点（0，0）作为测试点.解：先作边界44=+y x （虚线），再取点（0，0）带入y x 4+得,04<+y x 所以点（0，0）满足44<+y x 表示的平面区域.【方法总结】画平面区域的基本步骤：先由直线定界，再由特殊点确定所求区域为直线的哪侧；画平面区域时一定要注意边界是实线还是虚线.例2 如何确定m 的范围使点)1,1(),2,1(在03=+-m y x 的异侧？【审题要津】由于直线03=+-m y x 把平面分成三部分，在它的同侧的区域所有点的坐标代入m y x +-3后符号相同，因此要使两点在它的异侧，则代入后符号相异，由此得关于m 的不等式解之即可.解：把)1,1(),2,1(代入m y x +-3得,2,1++m m 因为两点在它的异侧，所以0)2)(1(<++m m 即可，解之得,12-<<-m 故所求m 的范围为.12-<<-m【方法总结】直线0:=++C By Ax l 将平面分成两部分，则有“同正异负”，即（1）),(),,(2211y x B y x A 在0:=++C By Ax l 的同侧()()02211>++++⇔C By Ax C By Ax ；（2）),(),,(2211y x B y x A 在0:=++C By Ax l 的异侧()()02211<++++⇔C By Ax C By Ax ；（3）),(),(2211y x B y x A 或在0:=++C By Ax l 上 ()()02211=++++⇔C By Ax C By Ax .例3 用平面区域表示不等式组⎩⎨⎧<+-<yx x y 2123的解集.【审题要津】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式123+-<x y 表示直线123+-=x y 下方的区域；不等式y x 2<表示直线y x 2=上方的区域，取两区域重叠的部分即得原不等式组的解集.【变式练习】1.画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域. 解：2、画出不等式0)4)(12(<+-++y x y x 表示的平面区域.解：1.已知)34,21(),1,1(),0,0(321P P P ，则在不等式0132≤+-y x 表示的平面区域内的点是()C .()A 21,P P ()B 2P ()C 32,P P ()D .3P2.不等式0623>+-y x 表示的区间在直线0623=+-y x 的()C .()A 右上方 ()B 右下方 ()C 左下方 ()D 左上方3.若点)0,0(O 和)3,1(P 在直线0=++a y x 的两侧，则a 的取值范围为()D .()A (]0,4- ()B ()1,3- ()C []0,4- ()D ()0,4-4.不等式022≥-y x 表示的平面区域是()B .()A ()B()C()D 5.不等式组⎩⎨⎧≥≥≤-+.0,001y x y x 表示的平面区域的面积是()A .()A 21 ()B 1 ()C2 ()D .4 6.如果函数的图象与轴有两个交点，则点在平面上的区域为下图的()C .()A()B()C ()D .7.已知点),2,3(),3,2(Q P -直线02=++y ax 与射线PQ 相交，则实数的取值范围是a a a <-<<->-213455或或. 8.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-,100,0x y x y x 表示的平面区域的面积是 1 .9.写出表示下列平面区域的二元一次不等式组.（1）（2）（3） 解：02)3(;022)2(;01)1(≥+<+-≤-+y x y x y x .10. 在ABC ∆中，),3,1(),1,1(),1,3(C B A --，写出区域所表示的二元一次不等式组.解：由)3,1(),1,3(C A -得AC 方程为,052=-+y x 由)3,1(),1,1(C B -得BC 方程为,02=+-y x 由)1,1(),1,3(--B A 得AB 方程为.012=-+y x ABC ∆∴的区域表示为..02,052,012⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-+y x y x y x . 11.试用不等式组表示由直线02=++y x ，错误！链接无效。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域
分析：由于画所二求元平一面次区不域等的式点组的表坐
标需示同的时平满面足区两域个的不步等骤式：，
-5
因此二元一次不等式组表示
的区域是各个不等式表示的
区域的交集，即公共部分。
y
5
o4
x=3
x-y+5=0
x
x+y=0
例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝 酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐 66吨。如果在此基础上进行生产，设x，y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数，请列出满足生产条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域。
把边界画成实线。
2、由实特殊于数2、点直 符点特代线 号定别入同 相域地侧 同Ax（，的 ，+B代当点 所y+入C的以C≠中特坐只0，殊时标需从点常代在所验把入直得证原线Ax结）点的+B果作某y的+为一C中正特侧，负殊取所即点一得可。个 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
性质：
直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在 直线l上的点分为两部分，直线l同一侧的点 的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符 号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值 的符号相反，一侧都大于零，另一侧都小 于零。
（2）z=(x+3)2 +(y+1)2的最大值和最小值。
例3、写出表示下面区域 的二元一次不等式组
y
(-4,-1)
(0,1)
x
(2,-1)
典例精析
题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）
二元一次不等式组与简单的线性规划问题、基本不等式(均值不等式)教师教案
0 A 0） 0 A 0） 不等式 Ax By C （ 表示直线 Ax By C （ 左方的平面区域.
（三）二元一次不等式组表示的平面区域的简单应用 【例 4】 要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格 的小钢板的块数如下表所示: 钢板类型 规格类型 A 规格 2 1 B 规格 1 2 C 规格 1 3
2.不等式 3x 2 y 6 0 表示的平面区域是（ D ）
3.画出不等式 x 1 表示的平面区域. 解:所求作 x 1 表示的平面区域如图 6 所示：
图6
4.画出不等式 4 x 3 y 12 表示的平面区域. 解：所求作 4 x 3 y 12 表示的平面区域 如图 7 所示：
图1
如图 2：设点 P( x, y1 ) 是直线 l 上的点，选取点
A( x, y2 ) 使它的坐标满足 x y 6 ，完成下表
图2
思考 2：当点 A 与点 P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？据此说说直线 l 左 上方点的坐标与不等式 x y 6 有什么关系？直线 l 右下方点的坐标呢？ 点 A 的纵坐标大于点 P 的纵坐标. 我们发现，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x y 6 的解为坐标的点都在直 线 x y 6 的左上方；反之，直线 x y 6 左上方点的坐标都满足不等式 x y 6 . 直线 x y 6 右下方点的坐标满足不等式 x y 6 .
y 2 0 ;在 x 2 y 4 0 的右下方，所以 x 2 y 4 0 .
6
赫章一中集体备课资料
则用不等式组可表示为:
x y 0 x 2y 4 0 y 2 0
高一数学二元一次不等式(组)与平面区域教学设计
二元一次不等式（组）与平面区域教学设计一、内容和内容解析：本节介绍了二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系中区域的对应关系，以及一些简单的线性规划问题.从内容上讲，本节主要是为下节课（简单的线性规划问题）做两方面的准备工作：1、从具体问题中抽象出二元一次不等式（组），其实就是从实际问题中建立数学模型；2、能够找到二元一次不等式（组）所对应的平面直角坐标系中的区域. 通过前一步使得具体问题转化为数学问题，是从“具体问题”到“数”的过程，通过后一步又把代数问题转化为几何问题，是从“数”到“形”的过程.有了这两步充分的准备，下节课的简单的线性规划问题才能把重点放到寻找最优解上.所以本节课的重点也就不言而喻了，即探索获取二元一次不等式与平面区域之间的关系，对学生来说，这是一个陌生而抽象的概念，要在一节课内解释清楚这个问题，就要从学生已有知识出发，通过提出问题，思考问题，解决问题的过程让学生自然而然接受这个新的概念，再通过课堂习题的精心设计，就能帮助学生轻松越过这个门槛.二、目标和目标解析：1、使学生能够从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.培养学生“建模”能力和用数学工具解决实际问题的能力，从而提高学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.2、使学生能够画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.培养学生观察，联想以及作图的能力，并渗透集合、化归、数形结合的思想.3、使学生能够求出平面直角坐标系中的区域所对应的二元一次不等式（组）.培养学生逆向思维能力.上述三项目标要求水平都是是“理解”并能“独立操作”.三、教学问题诊断分析：由于本节课重点在于探索获取二元一次不等式与平面区域之间的关系，要解释清楚这个问题，必须给学生提出一个类比的对象，即一元一次不等式（组）表示数轴上的区间，让学生从已有知识出发，大胆猜想，细心求证，最后得到二元一次不等式（组）与平面区域的关系.本节课是一节操作性要求比较高的课，需要学生严格画出直线，然后才能找到二元一次不等式（组）对应的平面区域，这也是为下节课寻找最优解做足铺垫奠定基础的地方，如果课上对这一点落实不够充分的话可能会给下节课带来不必要的麻烦.因此本节课的难点是：正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.四、教学支持条件分析：本节课建议运用信息技术手段如几何画板等工具对直线0By+Cx一侧的A=+点)xp的坐标进行跟踪显示，让学生观察发现位于直线同一侧的点的坐标代入式子(y,x+A后得到的数值符号都相同，而位于直线两侧的点的坐标代入式子+ByCA后得到的数值符号都相反，再加上学生以前就认识到：直线上的所有点+x+ByC的坐标代入式子CA后得到的数值都为0，学生就会得到结论：平面上所有点+Byx+以代入式子CA后得到的数值符号不同而分成以直线为边界的三个部分，即+Byx+“直线定边界”；为了判断相应区域中点的符号的正负，可以采用“特殊点定值”方法.五、教学过程设计：1、问题引入引言设计:在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画．前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系模型.引言设计是为了让学生理解本课时内容的大致内容，做到心中有数.引例设计：一家银行的信贷部门计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%．那么，信贷部门应该如何分配资金？如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x元、y元，你能用不等式刻画其中的不等量关系吗？设计意图：通过建立该问题相应的数学模型，让学生从实际问题中抽象出数学模型，体验数学在实际问题中的无处不在，锻炼学生“建模”能力；建立一元二次不等式组，也为解决问题做好准备.活动预设：由学生自己建立不等式组，教师点评并进行纠正或补充.这里可能出现的主要问题是不等式列举不完全，如对0x这一条件的遗漏，要在此培养学生严≥密的逻辑思维能力和审题能力.另外一个问题是把投入资金的不等关系=+yx.这里可以用问题串对学生进行追+yx建立成等量关系2500000025000000≤问，让学生通过思考自己纠正过来.问题串设计：追问1：25 000 000元的资金是否恰好全部贷出？（不一定全部贷出）追问2：既然不一定全部贷出，实际贷款总额和计划贷款总额应该是什么关系？（实际贷款总额不超过计划贷款总额）追问3：转化成数学式子应该是什么？（25000000x）≤+y追问4：对于企业贷款x和个人贷款y有没有什么限制条件？（有：要非负并且不超过25 000 000）追问5：转化成数学式子应该是什么？（25000000≤x）0≤活动结果概括：建立数学模型要先设定未知数，然后用不等式表示出问题所涉及到的所有不等关系，需要注意的是有些量根据其实际意义还要满足特定的不等式，在列举的时候不能遗忘.2、引例到新课的过渡在引例中我们得到了一个二元一次不等式组，它的每一组解的x和y的值构成有序数对)(yx构成的集合成为二元一次不等式组的解集.我们,x，所有这样的数对),(y知道有序数对和平面直角坐标系中的点一一对应，于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.设计意图：在引例中已经解决了本节课的第一个重要内容即从实际问题中抽象出数学模型，下来要进行本节课的重点也是难点的部分即探索二元一次不等式（组）和平面区域的关系，这二者之间要通过相关知识进行一个过渡，这样不至于让学生感觉两部分的衔接过于生硬.3、新课探索由上述分析知道，二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合，而且我们还知道，一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间（举实际例子分析），那么问题一：在平面直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？ 问题设计意图：让学生通过和一元一次不等式（组）的解集表示的区间进行对比，类比猜想二元一次不等式（组）的解集表示的图形，使学生建立新知与旧知之间的联系，容易理解.出来，学生类比起来才有个标准，不至于类比的结论千变万化不着边际.活动过程中教师可以从6=-y x ，6<-y x 和6>-y x 三个不等式的图形对学生进行引导总结.学生在老师的指引下能够完成表格，但是如果学生猜想的结果是错误的，在设计验证办法时可能会存在问题.那么如何验证猜想结果的正确性呢？验证办法设计：画出直线6=-y x ，通过取不等式6<-y x 的特殊解画出其所在位置进行验证. 并在此基础上通过不等式的代数特征对解的坐标进行一般性的分析，如，横坐标一定时，满足不等式6<-y x 的y 的值越大，相应的点越在直线6=-y x 的左上方．反之在直线6=-y x 的左上方任取一个特殊点可以验证该点的坐标满足不等式，因为纵坐标越大，y x -的值越小，所以直线6=-y x 的左上方的点的坐标满足不等式．辅助手段：此处可以借助几何画板进行演示验证．活动结果概括：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6<-y x 的解为坐标的点都位于直线6=-y x 的同一侧，并且是左上方；反之，在直线6=-y x 左上方的点的坐标都满足二元一次不等式6<-y x ．问题二：6>-y x 表示的区域呢？设计意图：一方面让学生在得到结论的前提下再一次去思考二元一次不等式所表示的平面区域，使得总结出的结论得以验证，另外一方面也是保证知识的完整性所必须的.教师讲授：直线6=-y x 叫做这两个区域的边界（boundary ）.这里，我们把直线6=-y x 画成虚线，以表示区域不包括边界.通过上面的研究，我们发现一个具体的二元一次不等式6<-y x ，所表示的是平面直角坐标系中直线6=-y x 一侧的区域.那么问题三：对于一般的二元一次不等式0>++C By Ax 所表示的平面区域是什么呢？设计意图：在对一个具体的例子进行探究以后，有必要把这个结论进行推广，得到一个更为一般的结论，这样对我们才有指导意义.结论概括：一个一般的二元一次不等式0>++C By Ax 所表示的平面区域是平面直角坐标系中直线0=++C By Ax 某一侧的平面区域.课堂练习设计：在不同的坐标系中画出下列不等式表示的平面区域：52<+y x ，63≥-y x ，032≤+-y x设计意图：巩固和消化所学知识，锻炼学生作图能力，并趁机提出当不等式中含有“等号”时，对应直线要画成实线.问题四：在练习题中，如何确定不等式所表示的区域是直线的哪一侧呢？设计意图：确定不等式表示的区域是直线的哪一侧是本节课的重中之重，实际上这一步也是很多同学在以后的学习以及练习中最容易出错的地方，所以在本节课把这个问题讲清楚并巩固下来就变得尤为重要.活动预设：学生在讨论中发现，由于直线0>++C By Ax 一侧的所有点的坐标代入式子C By Ax ++得到的数值的符号相同，所以可以在直线的一侧选取一个特殊点代入式子C By Ax ++进行检测，如果所得到的数值的符号符合不等式0>++C By Ax ，则得到结论：不等式0>++C By Ax 表示的区域是该点所在直线的一侧的区域；反之，如果所得到的数值的符号不符合不等式0>++C By Ax ，则得到结论：不等式0>++C By Ax 表示的区域是该点所在直线的另一侧的区域.经常用的特殊点是原点)0,0(，如果直线经过原点)0,0(，则可以选取)1,0(或)0,1(这样的点进行验证，减少计算量.结论概括：在实际问题中，要画出不等式0>++C By Ax 所表示的平面区域，经常采用“直线定边界，特殊点定域”的方法，这也是解决这类问题的步骤.前面我们探索了二元一次不等式所表示的平面区域，那么问题五：二元一次不等式组所表示的平面区域如何画出呢？设计意图：有了二元一次不等式所表示的区域做铺垫，二元一次不等式组表示的区域就水到渠成了.学生经过简单思考就可以得到结论.结论概括：二元一次不等式组的解集是不等式组中各个不等式的解集的交集，所表示的的区域是不等式组中各个不等式所表示的区域的交集.课堂练习设计：画出引例中得到的不等式组所表示的平面区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+003000000101225000000y x y x y x 设计意图：巩固所学知识，体验不等式组所表示的区域特点.4、小结本节课通过类比的方法，探索研究了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，现作如下小结：① 本节课重要结论：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.② 画二元一次不等式0>++C By Ax 所表示的区域的方法: “直线定边界，特殊点定域”③ 画图时需要注意：当不等式中的不等号是“>”或者“<”时，图形的边界线画成虚线；当不等式中的不等号是“≥”或者“≤”时，图形的边界线画成实线．设计意图：巩固本节课所学基础知识和思想方法，起到提纲挈领，画龙点睛的作用，同时也起到回顾一下这节课是否成功的，是否达到预期目的的作用.是一堂课必不可少的部分.六、目标检测设计：1、P86练习1,2,3.设计意图：复习最基本的画出直线所表示区域的方法.2、P85-P86例3，例4设计意图:提高学生从实际问题中抽象出不等式组的能力，复习最基本的画出直线所表示区域的方法.。
23二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域教学目标 班级______ 姓名____________1.能用平面区域表示二元一次不等式组.2.能从实际情景中抽象出二元一次不等式组.教学过程一、二元一次不等式的性质及应用.1.二元一次不等式的性质.（1）对于直线0=++C By Ax 同一侧的任意两点，把它们的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得值符号相同.举例：若),(11y x 和),(22y x 在直线0=++C By Ax 的同侧，则0))((2211>++++C By Ax C By Ax ，简称：同侧同号.（2）对于直线0=++C By Ax 两侧的任意两点，把它们的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得值符号相反.举例：若),(11y x 和),(22y x 在直线0=++C By Ax 的异侧，则0))((2211<++++C By Ax C By Ax ，简称：异侧异号.2.利用二元一次不等式的性质求参数的值.例1：已知点)1,3(A 和)6,4(-B 在直线023=+-ay x 的异侧，求a 的取值范围.练习1：已知点)2,1(-P 及其关于原点的对称点均在不等式012>++by x 表示的平面区域内，求b 的取值范围.二、二元一次不等式组表示的平面区域.1.画二元一次不等式组所表示平面区域的注意事项.（1）二元一次不等式组要求各二元一次不等式同时成立.所以，作图时取各不等式区域的公共部分（求“交”）.（2）作图要规范，误差难免，但相对位置一定要准确.画图时，最好找一些特殊点，如直线与坐标轴的交点.10≤≤x例2：画出不等式组 10≤≤y ，表示的平面区域.1≤+y x05≥+-y x练习2：画出不等式组 01>++y x ，表示的平面区域.3≤x2.含绝对值的不等式表示的平面区域的作法.（1）分类讨论，去绝对值.把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式.（2）一般采用分象限讨论的方法：第一象限：0,0≥≥yx ； 第二象限：0,0≥≤yx ； 第三象限：0,0≤≤yx ； 第四象限：0,0≤≥yx . （3）利用对称性可避免对绝对值的讨论:在方程0),(=y x f 或不等式0),(>y x f 中，若将x ，y 换成x -，y -，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于y ，x 轴对称. 举例：对于不等式01||≥-+y x ，将y 换成y -，不等式不变.则不等式01||≥-+y x 所表示的图形关于x 轴对称.例3：画出不等式01||≥-+y x 表示的区域.练习3：画出不等式1||||≤+y x 表示的区域.反思 _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。
二元一次不等式(组)与平面区域
解：
x 3 y 4 得交点A的坐标为（1，1）. 由 , 3 x y 4
又B、C两点的坐标为（0，4）， (0, 4 ).
故S ABC
1 4 4 (4 ) 1 . 2 3 3
则a的取值范围是 （ A．a＜－7或a＞24 C．a＝－7或a＝24
B）
B．－7＜a＜24 D．以上都不对
解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两 侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，
所以(9－2＋a)(－12－12 0, 8. 不等式组 x 3 y 4, 所表 3 x y 4
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）４ｘ－３ｙ≤１２
Y Y
2
O
3
X
O
3 -4
X
（1）
（2）
二元一次不等式组表示平面区域
二元一次不等式组
表示平面区域
例2：画出不等式组
表示的平面区域
x y 5 0 x y 0 x 3
Y
x+y=0
3
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
Y
x-y=0
x+2y-4=0 o
2
4
x -2 y+2=0
变式3、由直线
y20
， x 2 y-4 0 和
围成的三角形区域（包括边界）用不 等式可表示为 。
x-y 0
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
方法总结：
高二数学 二元一次不等式(组)与平面区域 知识讲解
二元一次不等式（组）与平面区域【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对(,)x y ，所有这样的有序实数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,)x y ，把它的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】类型一：二元一次不等式表示的平面区域 例1. 画出不等式240x y +->表示的平面区域. 【解析】先画直线240x y +-=（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24x y +-得200440⨯+-=-<, ∴原点不在240x y +->表示的平面区域内， 不等式240x y +->表示的区域如图：【总结升华】1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三：【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域 （1）4312x y +≤； （2）1≥x 【答案】（1）（2）【变式2】图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0【答案】直线对应的方程为x-y-1＝0，对应的区域，在直线的下方，当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，故选：A．【变式3】不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，故选D。
第3章3.3.1
必修5
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
2.过程与方法 通过二元一次不等式(组)表示平面区域的探索， 培养学生识 图、画图的观察能力和联想能力，进一步巩固数形结合、分类 讨论、化归的数学思想，以及由具体到抽象、由特殊到一般的 推理方法． 3．情感、态度与与价值观 在问题的发现、猜想和论证的过程中，让学生感受成功的
教 师 备 课 资 源
菜
单
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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(1)直线 l：ax＋by＋c＝0 把直角坐标平面分成的三个部分： ①直线 l 上的点(x，y)的坐标满足 ax＋by＋c＝0 . ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ax＋by ＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0 .
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课标解读
1.会从实际情景中抽象出二元一 次不等式(组)． 2.了解二元一次不等式的几何意 义． 3.会画二元一次不等式(组)表示的 平面区域．(重点、难点)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
【提示】
三个部分．即直线的两侧与直线上．
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2．在直线上任取点 P(x0，y0)，它与方程 x＋y－1＝0 有怎 样的关系？
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》导学案 新人教A版必修5
课题：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（1）
班级： 组名： 姓名： 设计人：赵帅军 审核人：魏帅举 领导审批：
一．：自主学习，明确目标 1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表
示平面区域；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数
学建模的能力；
教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；
教学方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模
的能力；
二．研讨互动，问题生成
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：
（2）二元一次不等式组
（3）二元一次不等式（组）的解集：
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。
变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。
变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组312
2y x x y <-+⎧⎨<⎩
的解集。
变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。
变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
自我评价 同伴评价 小组长评价。
人教A版高中数学必修五3.1.不等关系与不等式 教学设计
人教版新课标普通高中◎数学⑤必修第三章不等式概述不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.1．内容与课程学习目标本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题.2．教学要求（1）基本要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.1教师备课系统──多媒体教案2 ⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.（2）发展要求①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决.（3）说明①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形.3. 教学内容及课时安排建议3.1不等式与不等关系（约2课时）3.2一元二次不等式及其解法（约2课时）3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时）3.3.2简单的线性规划问题（约2课时）3.4基本不等式：2ba ab +≤（约2课时）人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修33.1 不等关系与不等式教案 A第1课时教学目标一、知识与技能通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯. 教学重点和难点教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系；并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法.教法与学法导航教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.学习方法：从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、主题探究，合作交流1. 用不等式表示不等关系引例1：限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是40v .教师备课系统──多媒体教案4引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示.3.2,5.20000≥≥p f问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥. 问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍. 怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000300.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，， 三、拓展创新，应用提高1. 试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2. 教材第74页的练习 第1、2题.四、小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.五、课堂作业教材第75页习题 3.1A 组 第4、5题.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5第2课时教学目标一、知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.教学重点和难点教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式.教学关键：学生会用不等式的性质证明简单的不等式和比较两个数的大小.教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式，解决学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法：采用探究法，遵循从具体到抽象的原则.学习方法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的基本性质，设计较典型的问题，总结解题的规律.教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课关于不等式的几个基本事实0;0;0.a b a b a b a b a b a b >⇔->⎧⎪=⇔-=⎨<⇔-<⎪⎩在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质，请同学们回忆初中不等式的的基本性质.1. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a b a c b c >⇒±>±；2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若,0a b c ac bc >>⇒>；3. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若,0a b c ac bc ><⇒<.二、主题探究，合作交流1. 不等式的基本性质教师备课系统──多媒体教案6 师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？证明：（1）()()0a cbc a b+-+=->，∴a c b c+>+；（2）()()0>-=---bacbca，∴cbca->-．实际上，我们还有,a b b c a c>>⇒>.（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．）根据两个正数的和仍是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）abba<⇔>；（2）,a b b c a c>>⇒>；（3）a b a c b c>⇒+>+；（4）,0a b c ac bc>>⇒>；,0a b c ac bc><⇒<.例1已知0,0,a b c>><求证c ca b>.证明：因为0a b>>，所以ab>0,1ab>.于是11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.由c<0 ，得c ca b>.例2比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）2. 探索研究思考：利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（5）dbcadcba+>+⇒>>,；（6）bdacdcba>⇒>>>>0,0；人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7（7）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n ；（8）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n .证明：（5）∵ a ＞b ， ∴ a ＋c ＞b +c ． ①∵ c ＞d ， ∴ b ＋c ＞b ＋d ． ②由①②得 a ＋c ＞b ＋d ．（6）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.（7）同学们自己证明.（8）反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．三、知识巩固，练习提高例3 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=.∵0≠x ， ∴02>x . 从而22)1(+x >124++x x .例4 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则ba －c 与ab －d 的大小关系为________．解析：b a －c －ab －d ＝b 2－bd －a 2＋ac (a －c )(b －d )＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac)(a －c )(b －d ).因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0，又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ，即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0，所以（b ＋a ）（b －a ）－（bd －ac ）＜0，所以b a －c －a b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )＜0，即b a －c ＜ab －d ..教师备课系统──多媒体教案8 答案：ba－c＜ab－d.课堂练习：教材第74页的练习第3题.四、小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.五、课堂作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第1题.教案 B第1课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质.教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小.教学过程一、导入新课章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.二、提出问题1.回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与不等式的异同，怎样利用人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9不等式研究及表示不等关系？2. 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？三、应用示例例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则40901000,5,6,N ,x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩，，即. 49100,5,6,N .x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩， 例2．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．四、小结上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用（<>≤≥≠、、、、）表示不等关系. 老师进一步画龙点睛，指出不等式是研究不等关系的重要数学工具．五、练习教材第74页 练习第 1、2题．六、提出新问题怎样比较两个实数的大小？七、作业教材第75页习题3.1 A 组第4、5题； B 组第1、2题．第2课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，教师备课系统──多媒体教案10及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程一、提出问题不等式是研究不等关系的重要数学工具，我们都了解哪些不等式的性质呢？1.请学生回答等式有哪些性质？2.不等式有哪些基本性质？这些性质都有何作用？二、探究不等式的性质性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）.证：∵b a >，∴0>-b a ，由正数的相反数是负数.0)(<--b a ，0<-a b ，a b <.性质2：如果b a >，c b >，那么c a >（传递性）.证：∵b a >，c b >，∴0>-b a ，0>-c b .∵两个正数的和仍是正数，∴+-)(b a 0)(>-c b .∵0>-c a ，∴c a >.由对称性，性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <.性质3：如果b a >，那么c b c a +>+（加法单调性）反之亦然.证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ，∴c b c a +>+.从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(.性质4：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则）.证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>. 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 11证：∵d c < ∴d c ->-；d b c a d c ba ->-⇒⎩⎨⎧->->.或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---.d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0.性质5：如果b a >且0>c ，那么bc ac >.如果b a >且0<c ，那么bc ac <（乘法单调性）.证：c b a bc ac )(-=-.∵b a >，∴0>-b a .根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a ，即：bc ac >；0<c 时0)(<-c b a ，即：bc ac <.性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）.证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.推论：如果0>>b a 且d c <<0，那么d bc a>（相除法则）.证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a dcd bc a >.性质7：如果0>>b a , 那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.证：（反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <=这都与b a >矛盾， ∴nn b a >.三、应用实例例1 比较大小教师备课系统──多媒体教案12 ①已知0>>ba，0<c求证：bcac>；解：∵0a b>>，∴ab>0,1ab>.∴11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.∵c<0 ，∴c ca b>.②231-和10.解：∵23231+=-，∵02524562)10()23(22<-=-=-+.∴231-<10.例2 比较)5)(3(-+aa与)4)(2(-+aa的大小.解：（取差）)5)(3(-+aa-)4)(2(-+aa7)82()152(22<-=-----=aaaa.∴)5)(3(-+aa<)4)(2(-+aa.例3 已知x≠0, 比较22)1(+x与124++xx的大小.解：（取差）22)1(+x-)1(24++xx22424112xxxxx=---++=.∵0≠x，∴02>x.从而22)1(+x>124++xx.小结：比较大小的步骤：“作差－变形－定号－结论”.例4 已知2,x>比较311x x+与266x+的大小．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 13解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+- 2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-=(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1）当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2）当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3）当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +. 说明：实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．四、课堂练习1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->-. 证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->-. 2．||||,0b a ab >>， 比较a 1与b 1的大小. 解：a 1-b 1aba b -=， 当0,0>>b a 时，∵||||b a >即b a >，0<-a b ，0>ab ， ∴0<-ab a b ，∴a 1<b1. 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <，0>-a b ，0>ab ， ∴0>-ab a b ，∴a 1>b1. 3．若0,>b a ， 求证：a b ab >⇔>1. 解：01>-=-aa b a b . ∵0>a ， ∴0>-a b ，∴b a <.0>-⇒>a b a b .∵0>a ，∴01>-=-a b a a b ， ∴1>a b .教师备课系统──多媒体教案14 五、课堂小结1.不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式;2.如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法.六、布置作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第2、3题.。