函数的基本性质综合专题(含答案解析)

既然选择了远方，就必须风雨兼程！ —————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 1

第四讲 函数的基本性质综合 时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名： 一、 兴趣导入

二、 学前测试 1. 函数21,[1,2]yxx的值域为 ； 2. 已知函数1()31xfxa为奇函数，则常数a= ； 3. 已知不等式20axbxc的解集为1(,2)2，对于系数,,abc有如下结论：①0a；②0b；③0c；④0abc；⑤0abc。其中正确结论的序号是 ；（填入所有正确的序号）

三、 方法培养

[例1] 已知函数13(),(0,),(2)2mfxxxfx且。 （1）用定义证明函数()fx在其定义域上为增函数； （2）若0a，解关于x的不等式2(31)(91)xaxff。 （1）由3(2)2f得m=1, 1()(0)fxxxx。对任120xx，有212121212112

(1)11()()()()0xxxxfxfxxxxxxx，即21()()fxfx，

故()fx在定义域(0,)上为增函数； （2）由（1）知，2(31)(91)xaxff等价于203191,xax即2,(0)122xaax。 当120a即102a时，由于2212a，此时2212xa； 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ —————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 2

当120a即12a时，2x；当120a即12a时，2212xxa，此时2;x 所以当102a时，不等式解集为2(2,)12a；当12a时；解集为2,。 变式练习1已知函数2*()2,(,)fxaxxcacN满足①(1)5f；②6(2)11f。 (1)求函数()fx的解析表达式； （2）若对任意1,2x，都有()21fxmx成立，求实数m的取值范围。 （1）52ac即3ca，又146441133aca，又*aN，1,2ac。 所以2()22.fxxx （2）法一：设2()()212(1)1gxfxmxxmx，[1,2],x则由已知得： 当11m即2m时，min()(1)420gxgm，此时2m； 当112m即23m时，0，解得：无解； 当12m即3m时，min()(2)940gxgm，此时无解。

综上所述，m的取值范围为,2。 法二：由已知得，121mxx在1,2x上恒成立。由于1xx在1,2上单调递增，所以152,2xx



，故212m即2m。

〖例2〗设函数()fx满足：①对任意实数,mn都有()()2()()fmnfmnfmfn；②对任意mR，有(1)(1)fmfm；③()fx不恒为0，且当0,1x时，()1fx。 （1）求(0)f，(1)f的值； （2）判断()fx的奇偶性，并给出你的证明； （3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数()Fx定义域中的任意一个x，均有()()FxTFx，则称()Fx为以T为周期的周期函数”。试证明：函数()fx为周期函数，并求出 1232017()()()()3333ffff的值。 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ —————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 3

（1）由于()fx不恒为0，故存在0x，使0()0fx，于是令0,0mxn，有000()()2()(0)fxfxfxf

即02()(0)10,(0)1fxff。又令m=n=1,得2(2)(0)2[(1)],fff又由(1)(1)fmfm得2(2)(0)[(1)]1fff即(1)1f，而由已知(1)1f，故(1)1f。

（2）令0,mnx得：()()2(0)()2(),()()fxfxffxfxfxfx即()fx为偶函数。 （3）由已知(1)(1)fmfm得()(2)fxfx，又()fx为偶函数，有()()(2)()fxfxfxfx，所以()fx为以2为周期的周期函数。

令13mn得：221()(0)2[()].33fff即：221()12[()].33ff 再令：21,33mn得：121(1)()2()()333ffff。即：121()12()()333fff。 而2()1.3f。由此得：1121(),()3232ff 又由条件（2），15()()33ff，24()()33ff，故123456()()()()()()0333333ffffff，又()fx是以2为周期的周期函数，故122017201711()()()3360()()333332fffff

变式练习2已知定义在R的奇函数)(xf满足当0x时，|22|)(xxf, （1）求函数)(xf的解析式； 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ —————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 4

（2）在右图的坐标系中作出函数)(xfy的图象，并找出函数的单调区间； （3）若集合})(|{axfx恰有两个元素，结合函数)(xf的图象求实数a应满足的条件.

（本小题共12分） 解（1）设0x，则0x

|2)21(||22|)(xxxf，

又)()(xfxf |2)21(|)(xxf „„„„„„„2分

所以函数)(xf的解析式为：







0|,2)21(|0,00|,22|)(xxxxfx

x „„„„„„„4分

（2）图象如图所示，„„„„„„„6分 由图象得函数的减区间为)0,1[和]1,0( （取闭区间不得分） 增区间为]1,(和),1[ „„„„„„„8分 （3）作直线ay与函数)(xfy的图象有两个交点，

则)1,0()0,1(a „„„„„12分（没排除0扣2分） 〖例3〗已知Ra，解关于x的不等式21axxax.

-1 O x y 2 3 -2 -3 1 2 4 -1 -2 -3 -4 1 3 -1 O x y 2 3 -2 -3 1 2 4 -1 -2 -3 -4 1 3   . 既然选择了远方，就必须风雨兼程！

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变式练习： 1已知函数)0,,,()(2aRcbacbxaxxf，对任意的Rx，都有

)2()4(xfxf成立，

（1）求ba2的值；

（2）函数)(xf取得最小值0，且对任意Rx，不等式2)21()(xxfx恒成立，求函数)(xf的解析式； （3）若方程xxf)(没有实数根，判断方程xxff))((根的情况，并说明理由． 解：（1）由)2()4(xfxf知， 函数)(xfy图象的对称轴方程为1x，„„„„„„„2分

所以0212baab „„„„„„„3分 （2）当1x时，0cba， 不等式2)21()(xxfx当1x时，有1)1(1f， 所以1)1(cbaf „„„„„„„6分 由以上方程解得41,21,41cba

函数)(xfy的解析式为412141)(2xxxf „„„„„„„8分 （3）因为方程xxf)(无实根， 所以当0a时，不等式xxf)(恒成立， 所以xxfxff)())((， 故方程xxff))((无实数解， 当0a时，不等式xxf)(恒成立， 所以xxfxff)())((，

故方程xxff))((无实数解， 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ —————————————————————————————————————————————————— 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 6

2

2120120gmmgmm





,202,................................................................14m

综上得：方程xxff))((无实数解 „„„„„„„14分 〖例4〗已知fx是定义在11，上的奇函数且11f，若1,1,ba，0ba，有0ba

bfaf

。

（1）判断函数fx在11，上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论。

（2）解不等式21221xfxf （3）若122ammxf对所有11，x、11，a恒成立，求实数m的取值范围。

解：（1）1,1fx函数在区间上是增函数。………………………………….(1) 下用定义证明：设1211xx则：

12121212120fxfxfxfxfxfxxxxx， 可知12fxfx，所以fx在1,1上是增函数。„„„ (4)

（2）、由fx在1,1上是增函数知11121121211222xxxx 解得1142x，故不等式的解集11.....................................(8)42xx



（3）、因为fx在1,1上是增函数，所以11fxf，即max1fx

依题意有2211mam，对1,1a恒成立，即220mam恒成立。 令22gamam，它的图象是一条线段 那么：