高中数学新教材A版3.2 函数的基本性质经典练习

3.2 函数的基本性质1.判断函数的单调性；2.求函数的单调区间；3.用定义证明函数的单调性；4. 函数单调性的应用；5. 抽象函数单调性的判断与证明；6. 求函数的最值；7. 实际应用中的函数最值问题；8. 函数奇偶性的判断；9. 奇、偶函数图象的应用；10. 利用函数的奇偶性求解析式；11.函数的奇偶性与单调性综合问题一、单选题1．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．()1f x x =+B ．3()f x x =-C ．1()f x x=D ．()f x x x =2．（2020·全国高一课时练习）函数6y x=的减区间是（ ） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．(,0)-∞，(0,)+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞3．（2020·全国高一课时练习）函数()y f x ＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）A ．[20]-，B ．[0]1，C ．[21]-，D ．[11]-， 4．（2020·全国高一课时练习）高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2020·全国高一课时练习）函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．（2020·全国高一课时练习）下列图像表示的函数中具有奇偶性的是（ ）.A ．B ．C ．D ．7．（2020·上海高一课时练习）已知函数53()8f x x px qx =++-（其中p ，q 为常数）满足(2)10f -=，则(2)f 的值为（ ） A ．10B ．10-C ．26-D ．18-8．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭9．（2019·湖南汨罗）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数1312,()x x x x <都有()()2112x f x x f x >，记11(2),(1),(3),23a fb fc f ===--则,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>10．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2 D ．[1][2,2]-二、多选题11．（2020·浙江高一单元测试）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =--12．（2020·山东文登 高一期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x +为偶函数，若(1)2f =，则( ) A ．(3)2f =- B ．(2)() f x f x += C ．(5)2f =-D ．(4)() f x f x +=13．（2019·山东滨州）如图所示是函数()y f x =的图象,图中x 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是( )A ．函数()f x 的定义域为[)4,4-B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应14．（2019·安徽定远英华中学高一期末）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]1.62-=-，定义函数:[]()f x x x =-，则下列命题正确的是（ ） A ．(0.8)0.2f -=B ．当12x ≤<时，()1f x xC ．函数()f x 的定义域为R ，值域为[)0,1D ．函数()f x 是增函数､奇函数 三、填空题15．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考） 设函数f (x )＝(x+1)(x+a)x为奇函数，则a ＝________.16．（2020·全国高一课时练习）已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.则f (x )在R 上的表达式为________．17．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________. 四、双空题18．（2020·上海高一课时练习）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()(),(1,1)1f xg x x x +=∈--，则()f x =_________；()g x =________．19．（2019·北京市第十三中学高一期中）函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______；②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______．20．（2020·金华市曙光学校高一月考）已知函数()f x 是定义在[]2,1m m -+上的偶函数，且对任意[]12,2.0x x m ∈-，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，则m =______；不等式()()214f x f x -≤的解集为______.21．（2020·安达市第七中学高一月考）设函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数的最小值为______；若1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则实数a 的取值范围是_________.五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.23．（2020·全国高一课时练习）求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数. 24．（2020·全国高一课时练习）设定义在[]22-,上的奇函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()10f m f m +->，求实数m 的取值范围．25．（2019·浙江湖州 高一期中）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-.（1）设()()g x f x =，[]4,4x ∈-，求函数()g x 的值域； （2）当0m >时，若()3f m =，求实数m 的值.26．（2019·云南弥勒市一中高一期末）已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-， （1）求函数()f x 的表达式 （2）求不等式1(2)f x >-的解集 27．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意x ，(,0)(0,)y ∈-∞⋃+∞，()()()f x y f x f y ⋅=+；②当1x >时，()0f x >，且(2)1f = ． （1）试判断函数()f x 的奇偶性．（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性．（3）求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值． （4）求不等式(32)()4f x f x -+的解集．3.2 函数的基本性质1.判断函数的单调性；2.求函数的单调区间；3.用定义证明函数的单调性；4. 函数单调性的应用；5. 抽象函数单调性的判断与证明；6. 求函数的最值；7. 实际应用中的函数最值问题；8. 函数奇偶性的判断；9. 奇、偶函数图象的应用；10. 利用函数的奇偶性求解析式；11.函数的奇偶性与单调性综合问题一、单选题1．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．()1f x x=+B．3()f x x=-C．1()f xx=D．()f x x x=【答案】D【解析】对于A，()1f x x=+为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，()3f x x=-为幂函数，其定义域为R，是奇函数且在R上为减函数，不符合题意；对于C，()1f xx=为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具备单调性，不符合题意；对于D，()f x x x=，其定义域为R，有()()()f x x x x x f x-=--=-=-，为奇函数，且()22x xf xx x⎧≥=⎨-<⎩，，，在R上为增函数，符合题意；故选D.2．（2020·全国高一课时练习）函数6yx=的减区间是（）A．[0,)+∞B．(,0]-∞C．(,0)-∞，(0,)+∞D．(,0)(0,)-∞+∞【答案】C【解析】由图象知单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞ 点睛：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接．3．（2020·全国高一课时练习）函数()y f x ＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）A ．[20]-，B ．[0]1，C ．[21]-，D ．[11]-， 【答案】C 【解析】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是[21]-，故选：C4．（2020·全国高一课时练习）高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意知，函数的自变量为水深h ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当0h =时，体积0v =，所以函数图像过原点，故排除A 、C ；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.5．（2020·全国高一课时练习）函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【解析】由题可知，函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数. 故选：C6．（2020·全国高一课时练习）下列图像表示的函数中具有奇偶性的是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称，故排除；选项C 、D 中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除； 选项B 中的图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数. 故选B.7．（2020·上海高一课时练习）已知函数53()8f x x px qx =++-（其中p ，q 为常数）满足(2)10f -=，则(2)f 的值为（ ） A ．10 B ．10- C ．26- D ．18-【答案】C 【解析】令()53()8,g x f x x px qx x R =+=++∈，则()g x 为奇函数.()(2)2g g ∴-=-，即()(2)828f f -+=-+⎡⎤⎣⎦，(2)10f -=，()(2)216101626f f ∴=---=--=-.故选：C8．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.9．（2019·湖南汨罗）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数1312,()x x x x <都有()()2112x f x x f x >，记11(2),(1),(3),23a fb fc f ===--则,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意两个正数x 1，x 2（x 1＜x 2），都有x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）， 即1212()()f x f x x x >， 设g （x ）= ()f x x，g （x ）在（0，+∞）上是单调减函数；又a=12f （2）= (2)2f ，b=f （1）=(1)f ，c=﹣12f （﹣3）=12f （3）=(3)3f ，∴g （1）＞g （2）＞g （3）， 即b ＞a ＞c ． 故选：B ．10．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A．)+∞ B ．[2,)+∞C ．(]0,2 D．[1][2,2]-【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =∴ 当0x <,有0x ->,2()()f x x -=-2()f x x ∴-=即2()f x x =-22,0(),0x x f x x x ⎧≥∴=⎨-<⎩ ()f x ∴在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =∴不等式()2())f x a f x f +≥=在[],2x a a ∈+恒成立,x a ∴+≥,[],2x a a ∈+恒成立1)x a ≤∴对[],2x a a ∈+恒成立2(1a a ∴+≤解得:a ≥∴则实数a 的取值范围是:)+∞.故选:A.二、多选题11．（2020·浙江高一单元测试）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ） A ．()00f =B ．若()f x 在[0,)+∞上有最小值1-，则()f x 在(,0]-∞上有最大值1C ．若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为减函数D ．若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，()22f x x x =-- 【答案】ABD【解析】由(0)(0)f f =-得(0)0f =，A 正确；当0x ≥时，()1f x ≥-，则0x ≤时，()1f x -≥-，()()1f x f x =--≤，最大值为1，B 正确； 若()f x 在[1,)+∞上为增函数，则()f x 在(,1]-∞-上为增函数，C 错；若0x >时，()22f x x x =-，则0x <时，0x ->，22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，D 正确．故选：ABD ．12．（2020·山东文登 高一期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x +为偶函数，若(1)2f =，则( )A ．(3)2f =-B ．(2)() f x f x +=C ．(5)2f =-D ．(4)() f x f x +=【答案】AD【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x +为偶函数，故可得()()()(),11f x f x f x f x =--+=-+，则()()()()()422f x f x f x f x f x +=--=-+=--=，故D 选项正确；由上述推导可知()()()22f x f x f x =-+≠+，故B 错误；又因为()()()3112f f f =-=-=-，故A 选项正确.又因为()()5122f f ==≠-，故C 错误.故选：AD.13．（2019·山东滨州�）如图所示是函数()y f x =的图象,图中x 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是( )A ．函数()f x 的定义域为[)4,4-B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应【答案】BD【解析】对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为[4,0][1,4)-⋃,故A 不正确;对于B,由函数的图象可知,函数的值域为:[0,)+∞,故B 正确;对于C,函数在[4,0],[1,4)-是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C 错误;对于D,由函数的图象可知,对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应,故D 正确.故选:BD.14．（2019·安徽定远英华中学高一期末）符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]1.62-=-，定义函数:[]()f x x x =-，则下列命题正确的是（ ）A ．(0.8)0.2f -=B ．当12x ≤<时，()1f x xC ．函数()f x 的定义域为R ，值域为[)0,1D ．函数()f x 是增函数､奇函数【答案】ABC【解析】对于A 项，(0.8)0.8[0.8]0.8(1)0.2f -=---=---=，则A 正确；对于B 项，当12x ≤<时，[]1x =，得出()1f x x ，则B 正确；对于C 项，函数()f x 的定义域为R ，因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以0[]1x x -<，则C 正确； 对于D 项，(1)1[1]1(1)0f -=---=---=，( 1.5) 1.5[ 1.5] 1.5(2)0.5f -=---=---=(1.5) 1.5[1.5] 1.510.5f =-=-=( 1.5)(1)f f ->-，( 1.5)(1.5)0.5f f -==∴函数()f x 既不是增函数也不是奇函数，则D 错误；故选：ABC三、填空题15．（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考） 设函数f (x )＝(x+1)(x+a)x 为奇函数，则a ＝________. 【答案】−1【解析】因为函数f (x )＝(x+1)(x+a)x 为奇函数，∴f(1)=(1+1)(1+a)1=−f(−1)=(−1+1)(−1+a)1,∴a =−1.经检验符合题意.故答案为−1.16．（2020·全国高一课时练习）已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.则f (x )在R 上的表达式为________．【答案】()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩【解析】因为()f x 是奇函数，且定义域为R ，故当0x =时，()0f x =；则当0x <时，()()()222323f x f x x x x x =--=-++=---. 故答案为：()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩. 17．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________. 【答案】13【解析】由题可知：a －1+2a =0，所以13a = 又f (x )= f (-x )，所以2233ax bx ab ax bx a b +++=-++，所以0b =，则13a b +=故答案为：13四、双空题18．（2020·上海高一课时练习）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()(),(1,1)1f x g x x x +=∈--，则()f x =_________；()g x =________． 【答案】21x x - 211x - 【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=. 则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-+-=⎪--⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-+=⎪--⎩. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-， 故答案为：21x x -；211x -. 19．（2019·北京市第十三中学高一期中）函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______；②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______．【答案】[]1,2 2-【解析】由图象可知，当0x =时，函数在[]1,1-上的最小值min 1y =，当1x =±时，函数在[]1,1-上的最小值max 2y =，所以当[]1,1x ∈-，函数()y f x =的值域为[]1,2；当[]0,3x ∈时，函数()()212f x x =--+，当[)3,x ∈+∞时，函数()5f x x =-， 当()1f x =时，2x =或7x =，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意[],(0)x a b b ∈<，要使得[]2,1y ∈-，则a R ∈，7b =-或2b =-，则实数b 的最大值是2b =-． 故答案为[]1,22-；20．（2020·金华市曙光学校高一月考）已知函数()f x 是定义在[]2,1m m -+上的偶函数，且对任意[]12,2.0x x m ∈-，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，则m =______；不等式()()214f x f x -≤的解集为______.【答案】1 1126x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】 依题意,2+1=0m m -+,解得:1m =,故函数()f x 在[2,0]-上单调递增,故()()214f x f x -≤等价于2212242214x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪-≥⎩,解得:1126x -≤≤,不等式的解集为:1126x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ 故答案为:1, 1126x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭21．（2020·安达市第七中学高一月考）设函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数的最小值为______；若1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】2 (][),12,-∞-⋃+∞【解析】 因为函数1()f x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 易得函数在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在[]1,3为增函数，所以min ()(1)112f x f ==+=，即函数的最小值为2, 又1,32x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2()a a f x -≥成立，则2min ()a a f x -≥，即22a a -≥， 解得：2a ≥或1a ≤-，即实数a 的取值范围是2a ≥或1a ≤-，故答案为(1). 2 (2). (][),12,-∞-⋃+∞五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.【答案】单调增区间为：()1,1-，()3,+∞；单调减区间为：(),1-∞-，()1,3【解析】由图可知：该函数在区间(),1-∞-单调递减，在区间()1,1-单调递增，在区间()1,3单调递减，在区间()3,+∞单调递增.故该函数的单调增区间为：()1,1-，()3,+∞；该函数的单调减区间为：(),1-∞-，()1,3.23．（2020·全国高一课时练习）求证：函数f (x )＝x ＋1x 在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间[)1,+∞上任取12x x <，则()()12121211f x f x x x x x -=-+- ()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()()1212121x x x x x x -=-⨯因为12x x <，故可得120x x -<；又因为121,1x x >>，故可得121211,0x x x x ->>.故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()f x 在区间[)1,+∞上单调递增. 24．（2020·全国高一课时练习）设定义在[]22-,上的奇函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()10f m f m +->，求实数m 的取值范围． 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】由()f x 是奇函数，且()()10f m f m +->，得()()()11f m f m f m >--=-． 因为()f x 在[]0,2上单调递减，且在[]22-,上为奇函数， 所以()f x 在[]22-,上单调递减， 则222121m m m m -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得221312m m m ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩，所以112m -≤<，故实数m 的取值范围为11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 点睛：根据函数增减性和奇偶性求解不等式，可简记为去“f ”法，当奇函数在对应区间D 单调递增时，若()()12f x f x <，则1212x x x x D D ∈⎧⎪∈⎨⎪<⎩；当奇函数在对应区间D 单调递减时，若()()12f x f x <，则1212x x x x D D ∈⎧⎪∈⎨⎪>⎩25．（2019·浙江湖州 高一期中）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-. （1）设()()g x f x =，[]4,4x ∈-，求函数()g x 的值域；（2）当0m >时，若()3f m =，求实数m 的值.【答案】（1）[]4,4-；（2）1m =或3m =或2m =【解析】（1）设0x <时，则0x ->，()f x 为奇函数，且0x >时，2()4f x x x =-， ∴()()()()2244f x x x x x f x -=---=+=-，即2(4)=--f x x x .()00f =， ∴()()224,00,04,0x x x g x f x x x x x ⎧--<⎪===⎨⎪->⎩，∴当40x -≤≤时，得()22()424g x x x x =--=-++关于2x =-对称，在[]4,2--上递增，在[)2,0-递减，∴()24g -=，()40g -=，得()04g x ≤≤；当04x <≤时，由奇函数关于原点对称，得()40g x -≤≤. ∴()g x 的值域为[]4,4-；（2）由（1）知，()224,00,04,0x x x f x x x x x ⎧--<⎪==⎨⎪->⎩，∴0m >时，()224,044,4m m m f m m m m ⎧-+<≤⎪=⎨->⎪⎩，i ）当04m <≤时，令243m m -+=，解得13m m ==或；ii ）当4m >时，令24m m -=3，解得)22m m ==舍去综上：1m =或3m =或2m =26．（2019·云南弥勒市一中高一期末）已知函数()()f x x R ∈是奇函数，且当0x >时，()21f x x =-， （1）求函数()f x 的表达式（2）求不等式1(2)f x >-的解集 【答案】（1）21,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）3{|40x x -<≤或4}1x > 【解析】（1）根据题意，函数()()f x x R ∈是奇函数，则()00f =，当0x <时，0x ->，则()()2121f x x x -=⨯--=--，又由函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x x =--=+，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩， 当0x >时，()21f x x =-，此时()12f x >-即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当0x =时，()00f =，()12f x >-成立；此时不等式的解集为{}0， 当0x <时，()21f x x =+，此时()12f x >-即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为3{|0}4x x -<<， 综合可得：不等式()12f x >-的解集3{|04x x -<≤或1}4x >． 27．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意x ，(,0)(0,)y ∈-∞⋃+∞，()()()f x y f x f y ⋅=+；②当1x >时，()0f x >，且(2)1f = ． （1）试判断函数()f x 的奇偶性．（2）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性．（3）求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值．（4）求不等式(32)()4f x f x -+的解集．【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）{2xx -∣或8}3x . 【解析】 （1）令1x y ==，则(11)(1)(1)f f f ⨯=+，得(1)0f =；再令1x y ==-，则[(1)(1)](1)(1)f f f -⋅-=-+-，得(1)0f -=．对于条件()()()f x y f x f y ⋅=+，令1y =-，则()()(1)f x f x f -=+-，∴()()f x f x -=．又函数()f x 的定义域关于原点对称，∴函数()f x 为偶函数．（2）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则有211x x >． 又∵当1x >时，()0f x >，∴210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．而()()()22211111x x f x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即21()()f x f x >， ∴函数()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）∵(4)(22)(2)(2)f f f f =⨯=+，且(2)1f =，∴(4)2f =．又由（1）（2）知函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上是偶函数且在(0,4]上是增函数， ∴函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-⋃上的最大值为(4)(4)2f f =-=．（4）∵(32)()[(32)]f x f x f x x -+=-，422(4)(4)(16)f f f =+=+=， ∴原不等式等价于[(32)](16)f x x f -，又函数()f x 为偶函数，且函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴原不等式又等价于|(32)|16x x -，即(32)16x x -或(32)16x x --， 得232160x x --≥或232160x x -+≤，得2x -≤或8x ≥，∴不等式(32)()4f x f x -+的解集为{2xx -∣或8}3x ．。