三次函数性质总结-三次函数的性质
三次函数的有关性质
（1）若 x = −2是函数 f ( x) 的极值点,求 k 的值及 f ( x) 的单调区间；
（2）若函数 f ( x) 在0, 2 上有且仅有 2 个零点,求 f ( x) 在0, 2 上的最大值 g (k ) .
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 a 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情
况.当 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相异实根 x1 , x2 ,且在 x1 , x2 的两边 f (x) 的符号相反,故函数 f (x) 存
在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 = 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相等实根,且在根的两
三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 的图象有六种,如图：
200
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
图(1)
10
图(3)
10
图(5)
f(x) 0 200 10
图(2)
0
10
x
200
f(x) 0 200 10
200 f(x) 0
三次函数的性质
一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生 对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函 数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质
三次函数图像与性质【10类题型】(解析版)-2025届高考数学热点题型归纳与重难点突(新高考专用)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三次函数的图像和性质
三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
湘教版 学案 三次函数的性质 单调区间和极值
3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．三次函数的导数零点与其单调区间和极值设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．填写下表：当a>0时，当a<0时，要点一求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1；(2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7.解(1)f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1)．由于f′(x)恒正，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增．无极值点．(2)f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)．∴f′(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上均为负，在(1,2)上为正，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上递减，在(1,2)上递增，∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2为其极大值点．规律方法对此类题目，只要理解了f′(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟．跟踪演练1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝－x3＋x2－x；(2)f(x)＝x3－12x2－2x－5.解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x －1， ∵Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0， 又∵－3<0，∴f ′(x )<0恒成立． 故函数f (x )在R 上单调递减且无极值点． (2)f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.根据f (x )的单调性及f ′(x )＝0的零点知x ＝1为函数f (x )的极小值点，x ＝－23为其极大值点．要点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间上的最大值． 解 ∵f (x )＝x 2(x －a )，∴f ′(x )＝x (3x －2a )． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a 3. 当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2).0 (a >2)，规律方法 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2 在本例中，将区间改为结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0； ②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在上单调递减， 从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.要点三 函数极值的应用例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：maxh(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)∪(2,3)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c 的取值范围为(－∞，－19，＋∞)．1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈时，f ′(x )<0， 故f (x )在上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间上的最大值为10，则其最小值为________．答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.1．求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．。
三次函数对称轴
三次函数对称轴三次函数是指具有三次方项的多项式函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数且a ≠ 0。
对于三次函数，一个重要的特性是它的对称轴。
对称轴是指将函数图像分为两部分并且两部分是镜像对称的一条直线。
本文将探讨三次函数对称轴的性质和确定方法。
一、三次函数对称轴的性质三次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴与 x 轴平行：三次函数的对称轴与 x 轴平行，这意味着对称轴的斜率为零。
从几何意义上理解，对称轴是函数图像左右对称的直线，因此与 x 轴平行。
2. 在对称轴上对称：对于三次函数，对称轴上的一点和它关于对称轴对称的点的纵坐标相等。
这是对称轴的定义，也是三次函数图像的基本性质。
3. 确定函数图像的形状：对称轴是确定三次函数图像形状的关键特征之一。
在对称轴上的点对称地分布在函数图像的两侧，因此对于左右对称的三次函数，对称轴将函数图像分为镜像对称的部分。
二、确定三次函数对称轴的方法确定三次函数的对称轴的方法如下：1. 利用函数的一般形式：对于一般形式为 f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d 的三次函数，可以通过观察系数 b 和 c 的关系来确定对称轴。
如果 b = 0，则对称轴为竖直线 x = 0；如果 c = 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a；如果b ≠ 0 且c ≠ 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a。
2. 利用函数图像的性质：三次函数的对称轴可以通过观察函数图像的形状来确定。
首先绘制函数的图像，然后观察图像左右对称的部分。
对称轴将图像分为两份，并且两份是镜像对称的。
找到对称轴上的一点，并确定其关于对称轴的对称点，连接这两点就是对称轴。
三、实例分析接下来通过实例分析来具体说明三次函数对称轴的确定方法。
例1：考虑三次函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 - x + 3。
首先观察系数，这里 a = 2，b = -4，c = -1。
三次函数的图像和性质复习
三次函数定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
三次函数图象与性质的探究：1、单调性：一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。
（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心;三次函数是关于点对称，且对称中心为点，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3. 图像问题：4. （1）（2）（3）5.三次方程根的问题。
（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
3 若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（） C2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A. 1， －1B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－193、设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。
5、已知函数f（x）=，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围. y=6x-9 0<a<56、已知函数（其中常数a，b∈R），是奇函数.（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.8、已知函数（a-b）<b)。
三次函数的图象与性质
三次函数的图象与性质河源市河源中学 钟少辉三次函数()f x =32(0)ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。
本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。
已知三次函数：32(0)y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞则232y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。
由0y '=得 2320ax bx c ++= (1)依一元二次方程根的判别式知：1.1若24120b ac ∆=-＞ ， 即23b ac ＞。
则方程（1）必有两个不相等的实根12,x x ，即三次函数必有两个驻点12,x x （这里不妨设21x x ＞）， 且123()()y a x x x x '=--。
由函数极值的判定定理则有： 1.a ＞0当1(,)()0x x f x '∈-∞时,＞，()f x 单调递增。
当12(,)()0x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。
当2(,)()0x x f x '∈+∞时,＞ ，()f x 单调递增。
驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且12,x =。
Ⅱ.0a ＜情况正好与I 相反，在此不再赘述。
由以上讨论知：1223b x x a +=-，而由0y ''= 得33b x a=-，因而：6()3by a x a ''=+，当a>0， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。
(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。
当 0a ＜， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。
三次函数的切线
三次函数的切线简介在数学中，三次函数是指具有三次方的最高次项的函数。
三次函数的特点是曲线更加复杂，而且可以通过切线来研究曲线在某一点的斜率和变化趋势。
本文将探讨三次函数的切线的性质和求解方法。
三次函数的定义三次函数的一般形式为：f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a,b,c,d为常数，且a≠0。
三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，曲线上的点的坐标为(x,f(x))。
三次函数的切线性质三次函数的切线具有以下性质： 1. 切线与函数曲线相切于一点。
切线和曲线在该点处有相同的横坐标和纵坐标。
2. 切线的斜率等于曲线在该点处的斜率。
设曲线的函数为f(x)，则切线的斜率为f′(x)，其中f′表示f(x)的导数。
3. 切线方程的一般形式为y=kx+b，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
求解三次函数的切线的步骤步骤1：求导首先，我们需要求解三次函数的导数，以得到三次函数在某一点的斜率。
对于一般形式的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，其导数f′(x)可以通过对每一项分别求导得到。
具体求导公式如下：•对于常数项d，其导数为0。
•对于x的一次幂项cx，其导数为c。
•对于x的二次幂项bx2，其导数为2bx。
•对于x的三次幂项ax3，其导数为3ax2。
将上述导数相加即可得到三次函数的导数。
在某一点x0处，三次函数的斜率等于其导数在该点处的值。
将x代入导数f′(x)中，即可求得斜率k。
步骤3：求解截距已知切线通过点(x0,f(x0))，且斜率为k，可以利用点斜式来求解切线的截距b。
点斜式的一般形式为y−y0=k(x−x0)，其中(x0,y0)为已知点，k为斜率。
将已知点(x0,f(x0))代入点斜式，整理得到切线方程y=kx+(f(x0)−kx0)，即可得到切线的方程。
步骤4：验证结果为了验证切线是否正确，可以将切线方程代入原函数，观察切线上的点是否满足原函数。
示例以三次函数f(x)=x3−2x2+3x+1为例，来演示如何求解切线。
导数之三次函数图像与性质ppt
5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
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三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y 轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：在上恒成立的充要条件接着，我们同样学习了二次函数，利用已学知识归纳得出：当时（如图1），在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时（图2），在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义定义1 形如的函数，称为“三次函数” （从函数解析式的结构上命名）。
定义2 三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
系列探究1：从最简单的三次函数开始反思1：三次函数的相关性质呢？O 反思2：三次函数的相关性质呢？反思3：三次函数的相关性质呢？例题1. (2012 天津理4) 函数在区间内的零点个数是( )( A) 0 (B)1 (C)2 (D)3探究一般三次函数的性质：先求导1、单调性：(1)若，此时函数f(x)在R上是增函数；( 2)若，令两根为x1,x2且，则在上单调递增，在上单调递减。
2、零点(1) 若b2 3ac 0，则恰有一个实根；(2)若, 且，则恰有一个实根；(3)若, 且，则有两个不相等的实根；(4)若, 且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号.2b 23ac 0，且 f(x 1) f(x 2) 0;(4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x)与 x 轴有三个公共点， 即 f( x)有一个极大值，个极小值，且两极值异号 .所以 b23ac 0且 f (x 1) f(x 2) 0.3、奇偶性： 函数当且仅当 时是奇函数。
4、对称性： 函数图象关于点中心对称(了解)证明： 三次函数 关于点 对称的充要条件是整理得，据多项式恒等对应系数相等 ,可得说明1、关于点 对称，可以理解为图象沿着向量 平 移后所得函数是奇函数，于是，即2、其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴， 可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，3、同时也是二阶导数为零的点，是 的拐点。
4、又可得以下结论：是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线对称 .证明： 的图象关于 对称，则(3) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线y f (x) 与 x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是或于是图象关于直线对称5、是可导函数，若的图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明：的图象关于直线对称，则于是图象关于点对称。
这是因奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周4、三次函数图象的切线条数由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。
例题2. 已知曲线，求曲线在点处的切线方程解：，曲线在点处的切线斜率为∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：，即变式：已知曲线，求曲线过点处的切线方程错解：依上题，直接填上答案错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A 处的切线与该曲线还有一个交点。
这与圆的切线是有不同的。
点在曲线上，它可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点的切线对应的切点为，斜率为，切线方程为点的坐标代入，得，∴切线的方程为或x-y+2=0点评：一个是“在点”、一个是“过点”，一字之差所得结果截然不同。
32系列探究4：一般三次函数f(x) ax3 bx2 cx d(a 0) 的图像：a>0 a<0导函数>0 0 >0 0图象x 0 x x1 x 2 x x0 xx 1 x2 x从数形结合的视角看三次方程的实数根：三次函数y=f （x ）的图象与x 轴交点个数交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d 在实数集上怎样进行因式分解，记ax3+bx2+cx+d=a （x-x1 ）（x-x2 ）（x-x3 ），（ⅰ）若x1≠x2≠x3，则交点为3 个；（ⅱ）若x1、x2、x3 中有两个相等，不妨x1=x2≠x3，则交点为2 个。
（ⅲ）若x1=x2=x3 ，则交点为1 个；（ⅳ）若f （x）=a（x-x0 ）（x2+dx+e ），且有d2-4e<0，y=f（x）的图象与x 轴只有一个交点。
（1）若△ （2b）2 12ac 0，方程有且只有一个实数解；（2）若△ （2b）2 12ac 0，令f （x） 3ax2 2bx c 0两根为x1,x2且x1 x2，①若f （x1） f （x2） 0，即函数y f （x）极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
则方程有且只有一个实数解，且x1或x2 ，②若f （x1） f（x2） 0 ，则方程有三个不同的实数解, , （），且有x1 x2，③若f （x1） 0或f （x2） 0 ，则方程有两个不同的实数解由图像能够探究出在区间[m,n] 的最大值与最小值吗？函数若，且，则：f max x f m , f x0 , f n ；。
拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件：i）f 在闭区间[a,b] 上连续；2012 福建文) 12.已知 f ( x ) =x3-6x 2+9x-abc ， a <b <c ，且 f (a )=f (b )=f (c )=0.现给出如下结论：① f (0)f (1)> 0；②fii ) f 在开区间 (a,b) 内可导；请你掌握： 三次函数解析式的形式 ( 1)一般形式： f (x) ax3bx 2 cx d(a 0)( 2)已知函数的对称中心为 (m,n) ，则 f (x) A(x m)3B(x m) n(a 0)( 3)已知函数图象与 x 轴的三个交点的横坐标, , ( ) ，则f(x) a(x )(x )(x )(a 0)( 4)已知函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标 x 0 ，则 f (x) (x x 0)(ax2mx n)(a 0)310)已知函数 y x 3 3x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则A ． 2或 2B ． 9或3C ． 1或 1D ． 3或 1【解析】因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。
而 f (x) 3x23 3(x )(x 1) ，当 x 1时取得极值由 f(1) 0或 f( 1) 0可得c 2 0或c 2 0，即c 2。
答案 A则在 a,b 内至少存在一点 ，使得f bb af a. ba2012 全国大纲版0)f(1)< 0；③ f(0)f(3)> 0；④ f(0)f(3)< 0.其中正确结论的序号是A. ①③B.①④C.②③D. ②④2【解析】f (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)，( ,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3, )单调递增，又因为f(a) f(b) f(c) 0，所以a ( ,1) b (1, 3，) c (3, )，【法一】f(1) 4 abc 0，f (3) abc 0，f (0) abc 0 ．【法二】又因为f (b) b3 6b2 9b abc b(b2 6b 9) abc b[(b 3)2 ac] 0，所以ac为正数，所以a为正数，又因为f (0) abc 0，f (1) 0，f (3) 0．【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力．【答案】 A2012重庆理卷)(8)设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如题( 8)图所示，则下列结论中一定成立的是函数有极大值和极小值2012 福建文) 12.已知f( x) =x3-6x 2+9x-abc，a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：① f(0)f(1)> 0；②fB) 函数有极大值和极小值C) 函数有极大值和极小值D) 函数有极大值和极小值高考含参三次函数题型分析我们知道导数是研究函数的重要工具， 三次函数的导数是二次函数， 正因如此， 三次函数问题的解决往往关 键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。
首先，回顾一下三次函数 f （x ） ax3bx 2 cx d （a 0） 图象a>0a<02012?重庆文）f ′（ x ），且函数 f （x ）在 x=-2处取得极小值，则函数 y=xf ′（ x ）的图象可能是（设函数 f （ x ）在 R 上可导，其导函数为2012 福建文) 12.已知f( x) =x3-6x 2+9x-abc，a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：① f(0)f(1)> 0；②f【题型 1】含参三次函数单调性问题 例一 (08 全国 文 21 ) 已知函数 f(x)=x 3+a x 2+x+ 1,a R.(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间；21(Ⅱ)设函数 f(x)在区间( - , )内是减函数，求 a 的取值范围33解法分析：对于问题(Ⅰ)我们往往采用的解题思路是：求函数 f (x) ax3bx 2cx d 的导数为f (x) 3ax 22bx c 然后往往按以下步骤进行讨论分析。
1) 讨论导数二次项系数是否为零 2) 讨论导数判别式3) 0 则原函数为单调增(减)函数4) 0 求导函数等于 0 时的根，并比较根的大小5)结合到导函数图象，得出三次函数单调性面我们按照这个思路解决一下f(x) x 3 ax 2 x 1 则 f (x) 3x 2 2ax 1 (1)讨论导数二次项系数是否为零 (2)讨论判别式 =4a 212(3) 0 ，则原函数为单调增(减)函数 即0时，3 a 3， f (x) 0恒成立，则 f ( x)为单调增函数，单调增区间为 ( , )(5)结合到导函数图象，得出三次函数单调性 所以此时函数 f (x) 的单调递增区间为21 对于问题(Ⅱ)设函数 f(x)在区间( -23, 31)内是减函数，求 a 的取值范围4) 0 求导函数等于 0 时的根，并比较根的大小 0 时， a 3 或 a 3 时， f (x) 0 存在零解，此时 x1a a 23x2a a2 33显然 x 2 x 1 ，a a 23)3)和( a a 233,)单调递减区间为(a a 2 3a a2 3 3往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。