切线的性质和判定应用
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线判定1.1 引入：通过实际问题引入圆的切线判定定理。
1.2 讲解：讲解圆的切线判定定理，即圆外一点与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
1.3 例题：讲解几个典型的圆的切线判定例题，让学生理解并掌握切线判定定理。
1.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线判定定理进行解答。
第二章：圆的切线性质2.1 引入：通过实际问题引入圆的切线性质。
2.2 讲解：讲解圆的切线性质，即切线与半径垂直，切线长度等于半径长度。
2.3 例题：讲解几个典型的圆的切线性质例题，让学生理解并掌握切线性质。
2.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线性质进行解答。
第三章：圆的切线方程3.1 引入：通过实际问题引入圆的切线方程。
3.2 讲解：讲解圆的切线方程的求法，即利用切点坐标和半径长度求解切线方程。
3.3 例题：讲解几个典型的圆的切线方程例题，让学生理解并掌握切线方程的求法。
3.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线方程进行解答。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 引入：通过实际问题引入圆的切线与圆的位置关系。
4.2 讲解：讲解圆的切线与圆的位置关系的判定方法，即切线与圆相切、相离、相交的判定。
4.3 例题：讲解几个典型的圆的切线与圆的位置关系例题，让学生理解并掌握切线与圆的位置关系的判定。
4.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线与圆的位置关系的判定进行解答。
第五章：圆的切线综合应用5.1 引入：通过实际问题引入圆的切线综合应用。
5.2 讲解：讲解圆的切线在实际问题中的应用，如求解几何问题、设计图案等。
5.3 例题：讲解几个典型的圆的切线综合应用例题，让学生理解并掌握切线在实际问题中的应用。
5.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线综合应用进行解答。
第六章：圆的切线与圆的切点6.1 引入：通过实际问题引入圆的切线与圆的切点。
6.2 讲解：讲解圆的切线与圆的切点的关系，即切线与圆的切点是切线与圆的唯一交点。
圆的切线性质与判定
圆的切线长等于圆外一点到圆心的距 离与圆的半径的差的平方根。
切点在圆上的位置关系
切点在圆周上，且切点与圆心的连线（即半径）与切线垂直 。
若两切线相交，则交点与圆心的连线平分两切线所夹的锐角 。
03
圆的切线判定方法
利用定义判定切线
切线的定义
直线与圆有唯一公共点，则该直线为 圆的切线。
判定方法
05
圆的切线性质与判定的应 用
在几何问题中的应用
切线与半径垂直
利用圆的切线性质，可以 解决与切线和半径垂直相 关的问题，如求角度、证 明线段相等或垂直等。
切线与弦的关系
通过判定切线与弦的位置 关系，可以解决与弦长、 弦心距等相关的几何问题 。
切线与割线的关系
根据切线与割线的性质， 可以推导出与割线长度、 割线与圆的交点等相关的 几何结论。
拓展相关应用领域
除了课堂学习外，我还将积极寻找和拓展圆的切线性质与判定在实际生活中的应用领域 ，如建筑设计、机械制造等。
加强跨学科学习
为了更好地理解和应用圆的切线性质与判定等知识点，我将加强跨学科学习，如数学、 物理、化学等学科的融合学习。这将有助于我形成更加完整和系统的知识体系。
感谢您的观看
THANKS
在实际问题中的应用
1 2 3
工程测量
在工程测量中，经常需要利用圆的切线性质来求 解距离、角度等问题，如道路设计、建筑物定位 等。
航海导航
在航海导航中，可以利用圆的切线性质来确定船 只的航向、距离等参数，实现安全、准确的航行 。
物理学中的应用
在物理学中，许多现象和问题可以通过圆的切线 性质进行建模和解决，如光的反射、折射等现象 。
帮助我更好地理解和掌握知识，但也存在一些不足，如缺乏主动性和创
切线的性质与判定定理的应用
r
如图，AB与⊙O相切于A点，
AB=4，BO=5则⊙O的半径 为
4
5
3
.
如图，等腰△OAB中，OA=OB，C点是AB的中点， ⊙O经过C点，求证：AB与⊙O相切
证明：连接OC ∵ OA=OB ，C点是AB的中点 ∴OC是等腰△OAB，底边上的中线 ∴ OC⊥AB ∴ AB与⊙O相切
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠A＝30°， 以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是⊙O的切线。
证明：过点O作OE⊥AB，垂足为E 又∵ ∠A＝30° ∴OE= 1 AB =
2
1 =5 10 2
E
又∵ ⊙O的半径为5 ∴ AB与⊙O相切
归纳：添辅助线证切线的方法
E
1、已知直线与圆的交点 2、不知直线与圆的交点 连接圆心和交点 证垂直 作圆心到直线的垂线段 证d=r
这节课的收获是……
教学设计：港湾中学初三备课组上课源自级：初三（5）班 执教教师：钟淑欢
切线的性质：圆的切线垂直于 过切点 的半径 判断一条直线是圆的切线的方法： （1）利用切线的定义：
与圆有 唯一 公共点的直线是圆的切线
（2）利用圆心到直线的距离 d 与 r 的大小关 系作判定： 当d = 时，直线是圆的切线 （3）利用切线的判定定理： 经过半径的 外端 并且 垂直于这条半径的直线是 圆的切线
圆的切线性质与判定
圆的切线性质与判定圆是平面上具有特殊性质的图形，它有着多种有趣的性质与判定方法。
其中，圆的切线性质是一项重要的研究内容，具有广泛的应用价值。
本文将从圆的切线的定义开始，逐步介绍圆的切线的性质与判定方法。
一、圆的切线定义切线是一条直线，与圆的某一点相切，且与圆在该点处的切点处于圆的内部。
切点即为切线与圆的交点，切线与半径的夹角为直角。
圆的切线是圆与切点处切线共线的直线。
二、圆的切线性质1. 切线与半径的关系在圆上，以切点为顶点的切线与半径垂直。
2. 切线长度圆的切线长度等于切点到圆心的距离的两倍。
3. 切线的唯一性一个圆上的切线最多只能有两条，并且与该圆在切点处共线。
4. 外切线与内切线若一条直线与圆有且仅有一个公共切点，则称该直线为圆的外切线；若一条直线与圆有两个公共切点，则称该直线为圆的内切线。
5. 切线相交性质若两条切线与圆的切点不同，则这两条切线相交于圆的外部；若两条切线与圆的切点相同，则这两条切线相交于圆的内部。
三、圆的切线判定方法1. 分析法根据切线的定义，通过分析问题中的圆与切点的位置关系，可以判断出切线的存在与否。
2. 考察斜率法假设切点的坐标为(x1, y1)，圆心的坐标为(a, b)，可以根据斜率公式计算切线的斜率，若斜率存在且符合条件，则该直线为圆的切线。
3. 使用代数方程法对于已知的圆方程和直线方程，可以通过联立方程求解的方式来得到切线方程。
通过判断解的情况，可以判定直线与圆的关系。
四、应用举例1. 圆的切线应用于建筑设计中，可以帮助确定柱体或钟表的刚性支撑结构。
2. 在地理测量学中，圆的切线可以用于研究山脉的坡度和高度。
3. 圆的切线应用于计算机图形学中，用于控制曲线与圆弧的形状和运动轨迹。
总结：圆的切线性质与判定是一个重要且有趣的数学问题，它具有广泛的应用领域。
通过切线的定义和性质，我们可以了解切线在圆上的位置关系和特点。
掌握圆的切线判定方法，可以应用于实际问题的求解和分析中。
冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》PPT(第2课时)
知2－讲
导引：(1)已知BC是⊙O的直径，可连接CD，构造直径 所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE是⊙O的切线，而点D在圆上，可联想 到连接OD，设法证DE⊥OD即可．
解：(1) 连接CD，如图. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AD＝DB， ∴AC＝BC＝2OC＝10.
知1－练
6 如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D 是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列 结论中正确的个数是(D )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ 1 AC；④DE是⊙O的切线．
2
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 切线的性质和判定的应用
知2－导
例2 [中考·湖州]如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O 于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5， 求切线AC的长； (2)求证：DE是⊙O的切线．
B．3个
C．2个
D．1个
1 知识小结
切
线
↗的
判
圆
定
的
切
线
↘切 线 的
性
质
↗ → ↘ ↗ → ↘
定义法 数量法d=r 判定定理
切线和圆只有一个公共点 圆心到切线的距离等于半径 圆的切线垂直于过切点的半径
2 易错小结
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心 的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
（来自《典中点》）
知识点 2 切线长定理的应用
知2－讲
例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC； (2)AC∥OP.
切线的三个性质
切线的三个性质
一、切线的性质与切线的判定
1.切线性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二、切线的判定定理与切线的性质定理的区别
切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用，两者在使用时不要混淆。
三、常用辅助线
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”。
圆的切线与切点的性质与判定
圆的切线与切点的性质与判定圆是几何学中的重要概念之一，它有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是切线与切点的关系。
本文将介绍切线与切点的性质以及判定方法。
一、切线与切点的定义在几何学中，我们定义一个几何图形与另一个图形的一点相切时，这个点是该图形的切点，而与该图形相切的直线称为切线。
对于圆来说，切点是与圆相交于一点的直线，这条直线同时也是圆的切线。
二、切线与切点的性质1. 切点与圆心连线垂直于切线假设有一个圆，它的圆心是O，切点是A，切线是l。
根据性质，可以得出结论：切点与圆心连线AO垂直于切线l。
这一性质可以通过几何推理或使用垂直性质证明得出。
2. 切线与半径的夹角切线与半径的夹角等于90度。
对于任意一条半径OA和切线l，我们可以推导出∠OAL=90°。
这个性质也可以通过几何证明得出。
3. 切点在切线上的唯一性每条切线与圆只有一个切点。
这个切点是在圆上与切线相切的点，其他点不与切线相切。
也就是说，对于一条切线l和圆O，它们的切点A是唯一的。
4. 切线在切点处切分弦切线在切点处将切点外的弦分为两段，其中一个是切点外的弧。
三、切点的判定方法如何判断一条直线是否是圆的切线？下面是两种判定方法：1. 切线定理给定一个圆，如果一个直线与圆相交，在交点处的切角为90度，则这条直线是圆的切线。
换句话说，如果一个线段与圆相交于一点，并与半径的延长线构成90度的夹角，那么这条线段就是圆的切线。
2. 切线的斜率圆的切线的斜率与切点处圆的切线相切。
通过计算待判定的直线与给定圆的相切点的斜率，如果该斜率等于切点切线的斜率，那么这条直线就是圆的切线。
四、实际应用切线和切点的性质在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在求解圆的切线问题时，可以利用切点与圆心连线垂直于切线的性质，来确定切线方程的斜率。
在实际生活中，切线和切点的性质也用于计算机图形学、光学等领域，例如，用于光线的反射和折射的计算。
总结：本文介绍了圆的切线与切点的性质与判定方法。
切线的判定和性质
1.定义:一条直线和圆只有一个公 共点,这条直线叫圆的切线.
2.d=r 直线和圆相切
3.经过半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
二.切线的性质有哪些?
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于圆的半径 3. 圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
⑴.公共点已给定.
做法是“连结”半径,让半径“垂直”于 直⑵线.公. 共点未给定.
做法是从圆心向直线“作垂线”, 证“垂线段等于半径”.
例1:如图，AB为⊙O的直径,BC是⊙O的 切线,切点为B,OC平行于弦AD.
求证:DC是⊙O的切线
例2:在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相 切于点E,
求证:CD与小圆相切.
例3：如图，AB是半圆⊙O的直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点， 求证：CE=CF。
练习1： 1.如图，OC平分∠AOB,D是OC上
任意一点,⊙D与OA相切于E.
求证:OB与⊙D相切.
2.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB切于点 D.
求证:AC与⊙O相切.
小结：
1.在证明中熟练应用切线的判定和性质.
2.在证明一条直线是 圆的切线时,会遇到 两种情形,要选择适当的途径.
教学课件：第2课时切线的判定定理
在运动学中，切线定理可以用于描述物体的运动轨迹。例如，当物体沿着曲线运 动时，其速度方向与运动轨迹的切线方向一致。
力学
在力学中，切线定理可以用于描述力的方向和作用点。例如，当一个力作用在一 个物体上时，其方向与该物体运动轨迹的切线方向垂直。
05 练习与思考
基础练习题
总结词：巩固基础 练习题2：已知直线方程为x+y=1，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程。
切线定理在解析几何中的应用
直线方程
切线定理可以用于确定直线的方程。 通过切线的斜率和一点，我们可以确 定直线的方程，这在解决解析几何问 题时非常有用。
曲线方程
切线定理也可以用于确定曲线的方程 。通过切线的斜率和一点，我们可以 确定曲线的方程，这对于解决解析几 何问题非常有帮助。
切线定理在物理问题中的应用
教学课件：第2课时切线的判定定 理
目 录
• 引言 • 切线的定义与性质 • 切线的判定定理 • 切线定理的应用实例 • 练习与思考
01 引言
主题简介
切线的判定定理
切线的判定定理是几何学中的一个重 要定理，它用于确定一个点是否在给 定曲线上。
切线与曲线的位置关系
判定定理的应用
判定定理在几何、物理和工程等领域 有广泛的应用。
一条，请证明。
THANKS FOR WATCHIN外一点作圆的两条切线，则这点到圆 心的两条线段相等。
03 切线的判定定理
切线的判定定理
切线的判定定理
01
若一条直线与圆有交点，且连接交点和圆心的线段垂直于这条
直线，则这条直线为圆的切线。
判定定理的数学表达式
02
若直线$l$与圆$O$在点$P$相交，且$OP perp l$，则$l$为圆
切线的判定和性质
切线的判定和性质1. 引言在数学中，切线是研究曲线的一个重要概念。
切线可以描述曲线在某一点上的局部行为，并有着独特的性质。
本文将介绍切线的判定方法，以及切线的一些重要性质。
2. 切线的判定方法2.1 直观判定法直观上，我们可以将切线理解为与曲线在某一点相切且只在该点上与曲线相交一次的直线。
从几何的角度来看，我们可以通过观察曲线在某一点的附近形状来判定该点是否存在切线。
2.2 解析判定法除了直观的方法，我们还可以通过解析的方法来判定切线的存在。
对于给定的曲线，我们可以求得其导数，并通过导数的性质来进行判定。
切线的斜率等于曲线在该点的导数值。
因此，如果曲线在某一点的导数存在且不为无穷大，那么该点存在切线。
具体而言，我们可以通过以下步骤来判定切线的存在：1.求得曲线的导数。
2.计算曲线在给定点处的导数值。
3.判断导数值是否为有限数值。
如果导数值存在且不为无穷大，则该点存在切线。
3. 切线的性质切线作为曲线的局部近似，具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
3.1 切线与曲线的关系切线与曲线相切于该点，因此，切线与曲线在该点处具有相同的斜率。
这意味着切线可以用来近似曲线在该点的局部变化趋势。
3.2 切线的方程对于给定曲线上的点P(x0, y0)，过该点的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)其中，m为曲线在点P处的斜率。
3.3 切线的唯一性切线与曲线相交于该点且只在该点上相交一次，因此切线是唯一的。
换句话说，通过给定点且与曲线相切的直线只有一条。
3.4 切线的性质总结综上所述，切线具有以下性质：•切线与曲线在相切点处具有相同的斜率。
•切线的方程可以表示为 y - y0 = m(x - x0)，其中m为曲线在相切点处的斜率。
•给定点且与曲线相切的切线是唯一的。
4. 总结本文介绍了切线的判定方法和一些重要性质。
我们可以通过直观判定法或解析判定法来判断切线的存在，切线具有与曲线在相切点处相同的斜率，可以用来近似描述曲线的局部行为。
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O
A
B
C 圆的切线的判定的使用
学习目标：通过本课的学习，学生能够熟练的使用圆的切线的判定解决数学问题。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的
．
切线的判定：经过半径的 并且 的直线是圆的切线。
缺一不可。
切线性质： 切线的判定定理： ∵l 为⊙O 的切线 l OA ⊥ ，OA 为半径 ∴___________ ∴___________ 环节二： 例题讲解
例1、如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB. 求证：直线AB 是⊙O 的切线。
例2、 已知：ABC ∆是等腰三角形，O 是底边BC 的中点， ⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 为⊙O 切线。
环节三：巩固练习 A 组题
1、如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点A ，且AB ＝OA ，∠OBA ＝45°. 求证：直线AB 是⊙O 的切线.
O
B
C
A D
D
C
A
B
2、如图，AB 是⊙O 的直径，∠B=∠DAC . 求证：AC 是⊙O 的切线.
3、如图，在ABC Rt ∆中，∠ABC=90°,A ∠的平分线交BC 于点D ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D .
求证：AC 是⊙D 的切线；
B 组题：
4、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点 于D ，AC DE ⊥. 求证：DE 是⊙O 的切线.
5、已知：如图，Rt △ABC ，∠ACB=90°，点E 是边BC 上一点，过点E 作FE ⊥BC （垂足为E ）交AB 于点F ，且EF=AF ，以点E 为圆心，EC 长为半径作⊙E ． 求证：斜边AB 是⊙E 的切线
C 组题
6、已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，以AB 上一点O 为圆心， AD 是⊙O 的弦．
（1）求证：BC 为⊙O 的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求⊙O 的半径长．
O
D
C
A
B
小结：
1、判断切线的方法有种：
（1）与圆有个公共点的直线是圆的切线；
（2）圆心到直线的距离等于的直线是圆的切线；
（3）经过半径并且垂直于的直线是圆的切线。
2、证明切线添加辅助线的方法：
（1（应用判定方法3）（2）不知道直线与圆是否有公共点时，过圆心作直线的垂线，再证明
（应用判定方法2）。