排列组合和二项式定理

排列组合和二项式定理
一、排列数
1.全排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的
顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。

特别地，时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。

2.排列数:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不
同对象中取出m个对象的排列数，用符号A n m(m,n都是正整数)表示。

所谓排成一列是指与顺序有关。

3.排列数公式:A n m=n(n−1)(n−2)⋯(n−(m−1))
m个数
=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1).
(应用公式时，要注意最后一项)
4.阶乘:n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1.规定：0!=1.
因此，排列数公式可改写为：A n m=n!
(n−m)!
.
5.公式：A n m+mA n m−1=A n+1
m,
证明如下：A n m+mA n m−1=n!
(n−m)!+m n!
(n−m+1)!
=n! (n−m)!×[1+m
n−(m−1)
]
=n!
(n−m)!×n+1
n−(m−1)
=(n+1)!
[(n+1)−m]!
=A n+1
m.
二、组合数
1.组合:从n个不同对象中取出m个对象并成一组，称为从n个不同对象中取
出m个对象的一个组合.
2.组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个
不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C n m(m,n都是正整数)表示.所谓
并成一组是指与顺序无关。

3. 组合数公式：C n m =(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)
m×(m−1)×⋯×2×1=n!
(n−m )!m!. 4. 公式1:C n m =C n n−m .
5. 公式2:C n m +C n m−1=C n+1m .
6. 公式3：A m m +A m+1m +⋯+A 2m m =A 2m+1m （排列数和组合数的关系，结合
C n m +C n m−1=C n+1m 和A n m =m!C n m 可证得。

在此处键入公式。

三、 二项式定理
1. 二项式定理：(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n−1b 1+⋯+C n k a n−k b k +⋯+C n n b n .
a) 等式右边的式子称为(a +b )n 的展开式，共有n +1项，其中C n k a n−k b
k 是展开式中的第k +1项，C n k 称为第k +1项的二项式系数，将
T k+1=C n k a n−k b k 称为二项展开式的通项公式。

2. 二项式系数的性质：(a +b )n 的展开式中，二项式系数之和为2n ，奇数项二
项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，即均为2n−1.
二项式定理中，令a =1,b =1,
则有2n =C n 0+C n 1+⋯+C n k +⋯+C n n−1+C n n .
令a =1,b =−1,
则有0=C n 0−C n 1+C n 2−C n 3+C n 4+⋯.
3. 杨辉三角及其性质
每一行都是对称的，且两端的数都是1；
从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两个数之和；
利用二项式系数的对称性可知，二项式系数是先逐渐变大，在逐渐变小的，当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。

四、 本文知识结构图。