组合的概念
组合讲义
组合一、基本定义及性质1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3、组合数公式：(1)(2)(1)!m mnnmmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n-=,,(n m N m n ≤∈*且4、组合数的性质1：mn n m n C C -=．规定：10=n C ；5、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC二、典型例题 例1、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？例3、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：例6、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例7、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例8、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本例9、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？例10、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？例11、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？例12、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？例13、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前问：此考生共有多少种不同的填表方法？例14．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例15．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？三、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A ．42B ．21C ．7D ．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线9．计算：（1）315C ；（2）3468C C ÷．10．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合14．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ； 16．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；17．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．18、从1,2,3,,20 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法19．正12边形的对角线的条数是 ．20．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 21．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个22．有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A ．70B ．80C ．82D ．8423．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 （ ）种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A24．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9625．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能26．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法27．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数28．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 29．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法30．在200件产品中，有2件次品从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 四、课后作业：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个 2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）A ．42B ．30C ．20D ．125．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A 6．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A7．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．8．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法9．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个10．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 ___________个平行四边形11．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体12．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈，且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种 13．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果其中的城市A 、B 必选，并且在旅游过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则不同的游览路线有 种14．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有 种不同的调换方法15．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法16．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是（）A．64B．20C．18D．1017．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90B．180C．270D．54018．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有种19．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（4）女生按指定顺序排列．20．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法21．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法22．,,,,A B C D E5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A、B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军”；对B说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能有种不同的情况23．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备种不同的素菜种24．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种25．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为个。
组 合
组 合【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．要点诠释：① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作m n C ．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 例如，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅． 因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!m n n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
组合的名词解释
组合的名词解释组合是指由两个或多个独立的事物组成的整体。
在语言学中，组合是通过将两个或多个词语或词素结合在一起形成新的词语。
这种结合可以通过多种方式实现，包括连接、缩写、重叠等。
在组合中，每个组合的成分都保留了其原始意义，但同时也会生成一个新的意义。
这种新的意义通常是从组合词的组成部分中衍生出来的，并且往往不是直接可见或推导的。
组合可以是固定的，意即一旦形成就不再改变。
例如，“饮食”、“黑白”、“男女”等。
这些词的意义是不可分割的，如果单独使用其中的一个成分，可能不再具有原本的含义。
另一种类型的组合是可变的，意味着组合的成分可以根据需要进行调整。
例如，“电视台”可以变化为“电视剧院”、“海洋电视”等。
这些例子表明，组合词的含义可以通过组合词的成分进行修改和扩展。
组合词的形成可以通过多种方式实现。
最常见的一种方法是通过连接两个或多个词语。
例如，“汽车”就是由“汽”和“车”两个词连接而成的。
这种连接可以通过连字符或没有连字符来实现，例如，“高速公路”和“红酒”。
另一种组合的方式是通过缩写来实现。
在这种情况下，组合词的一个成分通常由多个词语的首字母组成。
例如，“NBA”代表“National Basketball Association”（美国篮球协会），“NASA”代表“National Aeronautics and Space Administration”（美国国家航空航天局）。
除了连接和缩写，组合词还可以通过重叠实现。
这种情况下，词语的一部分重复出现在组合词中。
例如，“咖啡因”是由“咖啡”和“因”两个词重叠而成的。
组合词的意义往往是从组成部分中衍生出来的。
例如，“电视台”由“电视”和“台”组成，可以理解为一个播放电视节目的地方。
同样，“火车站”由“火车”和“站”组成，表示一个供火车停靠的地方。
组合词在语言中起到了丰富和扩展词汇的作用。
通过将不同的词语或词素组合在一起，我们能够创造出描述新事物、抽象概念和特定场景的词汇。
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
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组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
数学课件：1.2.2.1 组合及组合数公式
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
组合与排列的基本概念和计算方法
组合与排列的基本概念和计算方法组合与排列是数学中两个非常重要的概念，这两个概念在很多领域都是必不可少的，比如概率论、统计学以及组合数学等。
在我们的日常生活中，也可以通过组合与排列来解决各种实际问题，如排队买票、选择菜单等问题。
下面，我们将详细介绍组合与排列的基本概念和计算方法。
一、组合的概念和计算方法组合指的是从n个不同元素中选取r个元素并进行组合的方式的数量。
组合中的元素是不考虑它们的排列顺序的，因此，n个元素的组合数可以表示为C(n,r)。
组合的计算方法可以用下式表示：C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)其中，!表示阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)* (1)例如，若从5个不同的元素中选择3个元素进行组合，那么它们的组合数为：C(5,3)=5!/((5-3)!*3!)=10。
也就是说，从5个元素中选出3个元素进行组合，一共有10种不同的组合方式。
二、排列的概念和计算方法排列指的是从n个不同元素中选取r个元素并进行排列的方式的数量。
与组合不同的是，排列中的元素是考虑它们的排列顺序的，因此，n个元素的排列数可以表示为A(n,r)。
排列的计算方法可以用下式表示：A(n,r)=n!/(n-r)!例如，若从5个不同的元素中选择3个元素进行排列，那么它们的排列数为：A(5,3)=5!/2!=60。
也就是说，从5个元素中选出3个元素进行排列，一共有60种不同的排列方式。
三、组合和排列的联系组合和排列都是从n个元素中选取r个元素的方式，不同的是，组合中的元素是不考虑它们的排列顺序的，而排列中的元素是考虑它们的排列顺序的。
因此，排列数通常大于组合数。
同时，在排列中，由于元素的排列顺序不同，同样的n个元素中选取r个元素的方式可能会生成不同的r元排列。
而在组合中，不考虑元素的排列顺序，因此，不同的r元组合方式只会被计算一次。
当r=n时，对于组合和排列来说，它们的计算方法都会退化成n!。
因为此时，从n个元素中选取n个元素，并对它们进行排列或组合后，只有一种情况，即所有元素的全排列或组合。
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
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组合的概念
一般地,从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
对于组合概念的理解,注意下列几点:
(1) 如果两组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组
合中的元素不完全相同时,才是不同的组合;
(2) 排列与组合的共同点都是“从n 个不同元素中任取m 个元素”,但排列与m 个元素的顺序
有关,组合与m 个元素的顺序有关;
(3) “组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是从n 个不同元素中,任取m 个元素合成一组,
是一个具体的事件,而组合数是符合条件的所有组合的个数,是一个数.
组合数
(1)组合数的概念
我们可以从集合的角度来理解, 从n 个不同元素中取m 个元素合成一组是一个组合,任取m 个元素组成的组合的全体构成一个集合,例如:从个不同元素,,a b c 中任取2个的所有组合构成的集合为{},,A ab ac bc =.所谓组合数就是这个集合的元素的个数.
(2)组合数公式
从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的组合数,用符合m n C 表示. ①(1)(2)(1)!m m
n n
m m A n n n n m C A m ---+== 或②!.!()!m n n C m n m =- 例1.(1)求等式531333
435n n n C C C ---+=中的n 值; (2)已知21111,3x x n n x x n n C C C C +-⎧=⎪⎨=⎪⎩
试求x 、n 的值。
解：原方程可变形为5133191,5
n n C C --+=移项并整理得531314,5n n C C --= 即
(1)(2)(3)(4)(5)14(3)(4)(5)5!53!
n n n n n n n n --------=∙，整理得23540n n --=。
解此一元二次方程得9n =或6n =-（不合题意，舍去）。
9n ∴=为所求。
（2）2,2,x n x x n n n C C C n x x -==∴-=
3n x ∴=，又由11113x x n n C C +-=，得!11!(1)!(1)!3(1)!(1)!
n n x n x x n x =∙+----+，
整理得3(1)()11(1)n x n x x x -+-=+，将3n x =代入，整理得(5)0.x x -=
0x ∴=（舍去），5,315x n x ===
组合数的两个性质
性质1：.m n m n n C C -=
当m >2
n 时，通常不直接计算m n C 而改为计算n m n C -，例如899089190909090.C C C -=== 性质2：11.m m m n n n C C C -+=+
为了使公式.m n m n n C C -=在m n =时也成立，规定0 1.n
C = 例3.求和：（1）2222234100
C C C C ++++ ； （2）9495969796979899
C C C C +++。
（1）解法1：原式322232233410044100
C C C C C C C =++++=+++ 323100100101
C C C ==+= 166650=
解法2：由11.m m m n n n C C C -+=+变形得11.m m m n n n C C C -+=-
∴原式333333343541011001011()()()166650C C C C C C C =+-+-++-==
（2）解：原式222296979899
C C C C =+++ 3333333397969897999810099()()()()C C C C C C C C =-+-+-+-
3310096
C C =- 18820=
组合问题的常见类型及求解方法
应用题中，凡涉及从n 个不同元素中任意取出m 个并成一组，即与顺序无关就可以用组合数列式，但也常常与分类、分类基至与排列综合在一起，应注意加法与乘法的区别，以免出错。
常见的不同类型有：
（1）所选取的组合中“含”或“不含”某个元素，处理这类问题的方法通常是直接法。
如从5个学生中选出3人参加某项法动，若甲学生必须选取，则只能在余下的4人中再选出2
人，即有24C 种选法，若甲学生不能选取，那么在余下的4人中选3人，即有34C 种选法。
（2）“至多”或“至少”问题，这类问题通常采用排除法，也可以用直接法。
如从3名男生、2名女生中选出3人参加某项活动，则至少有1名女生的选法为33
539C C -=（种）或
122123239C C C C +=（种），至多有2名男生参加的选法为33539C C -=（种）或211232329C C C C +=
（3）几何问题
从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，往往需寻找一个组合的模型处理，如平面上m 个点构成多少个三角形，即在m 个元素中取出3个元素的组合数（除去共线的情况）就是三角形的个数。
空间中n 个点构成多少个四面体，即与在n 个元素中取出4个元素的组合数（除去共面的情况）相等，若组成多少对异面直线，也可以构造四面体模型处理。
在解决几何问题时，必须注意几何问题本身的限制条件，如共线、共面、交点等。