《数值分析》第二章答案

习题2

1. 分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间：

(1) 0cos =+x x ； (2) 0cos 3=-x x ； (3) 0sin =--x e x ； (4) 02=--x e x 。

解：(1) 0cos =+x x (A) x x x f cos )(+= ，0sin

1)(≥-='x x f ,),(∞-∞∈x

10cos 0)0(=+=f ,01cos 1)1cos(1)1(<+-=-+-=-f ∴ 方程(A) 有唯一根 ]0,1[*-∈x (2) 0cos 3=-x x (B) x x x f c o s 3)(-=,

0sin 3)(>+='x x f , ),(∞-∞∈x 时

010c o s

03)0(<-=-⨯=f ，01cos 31cos 13)1(>-=-⨯=f ∴ 方程(B) 有唯一根 ]1,0[*∈x (3)

sin =--x

e

x (C)

x

e

x -=sin

x x f sin )(1=, x

e

x f -=)(2

方程(C)有无穷个正根，无负根 在[2

2,2π

ππ+k k ] 内有一根 )(1k x ，且0]2[lim )(1=-∞

→πk x k k

在[π

ππ

π++

k k 2,2

2]内有一根)

(2k x ，且0])12([lim )(2

=+-∞

→πk x k k (示图如下) 3,2,1,0=k

)(

2x f x

(4)

02

=--x

e

x

(D) x

e

x

-=2

,)(2

1x x f = x

e

x f -=)(2

方程(D) 有唯一根 ]1,0[*∈x 当 0

2

x e

x -=- (E) 同解 当 0

=--x x ； (1)(2)若在[0 , 2]上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？ 解：012

=--x x

1) 01)(2=--=x x x f 1)1(-=f , 025.0)5.1(<-=f ,1)2(=f

]2,5.1[*

∈x

, 618034

.12

5

1*

=+=

x

)(5.1- 1.75(+) 2(+) )(5.1- 1.625(+) 1.75(+) )(5.1-

1.5625(+) 1.625(+)

)(5625.1- )(59375.1-

1.625(+)

1

10

2103125.02

)

5625.1625.1(-⨯<

=-

6.159375.1*

≈≈x

2位有效近似值为 1.6 2)

00==a a ， 20==b b

)(2

1k k k b a c +=

k

k k a b c x 2

12

1

*=

-≤

-+

5

10

2

12

1-⨯≤

k

，5

1

10

2≥-k

60

.162ln 10ln 51=≥-k

∴ 只要2等分18次

3. 为求0353

=--x x 的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。 解：3)5(35)(23--=--=x x x x x f

)3

5(353)(22-

=-='x x x f

当3

5<

x 时， 0)(<'x f ; 当3

5>

x 时 0)(>'x f

033

53

103)535(35)35(

<--=--=

f

033

53

10)3

5(>-=

-

f ， 03)0(<-=f

53)54(2)2(-=--=f ， 93)59(3)3(=⋅-⨯=f

y

x

由草图可知唯一正根)3,2(*∈x (1)

353

-=x x ，)3(5

13

-=

x x ， )3(5

1

)(3

1-=x x ϕ,

构造迭代格式 )3(5

13

1-=+k k x x (I) 2

1

5

3x

='ϕ

当 ]3,2[∈x , 15

1225

3)(2

1

>=

⨯≥'x ϕ ∴迭代格式(I)发散

2)

353

+=x x , 3

35+=x x , 构造迭代格式

3135+=+k k x x ， (II)

3

235)(+=

x x ϕ，3

2

3

22

)

35(13

55)35(3

1)(+⋅

=

⋅+='-

x x x ϕ

当]3,2[∈x 时

13

1125

1

3

5169

1

3

5)

325(135)(3

3

3

2

2

<=

⋅

=≤

⋅

=

+⨯⋅

≤'x ϕ

当]3,2[∈x 时

]3,2[]18,13[]335,325[)]3(),2([)(3333222⊂=+⨯+⨯=∈ϕϕϕx 迭代格式(II) 对任意

]3,2[0∈x 均收敛