高中数学专题3导数的应用-题型-函数根的个数

导数考点

导数公式

0;C '=（C 为常数） ②()

1

;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=.

导数法则

(.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv += .)(''Cu Cu = ='

⎪⎭

⎫

⎝⎛v u 2

''v uv v u -（v ≠0） 复合函数的导数

形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。

法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=. 导数的应用：1）.函数的单调性 2）．极点与极值 3）．最值

在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如3(),(1,1)f x x x =∈-。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

补充：曲线切线问题中，点P 处的切线和过点P 的切线是两个概念，后者包括前者，前者只有一条。

曲线的切线与曲线的交点不一定只有一个。和二次函数有区别。 导数为零的点，不一定都是极值点。如三次函数。

求极值时，要求步骤规范、表格齐全。含参数时要讨论参数的范围。

求积分时：x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，下方的面积等于该区间上积分值的相反数。

例：求函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值。

[解析]：由33)(2'-=x x f =0，得1±=x ，

当1-0，当11<<-x 时，)(/x f <0，当1>x 时，)(/x f >0， 故)(x f 的极小值、极大值分别为1)1(3)1(-==-f f 、， 而1)0(17)3(=-=-f f 、

故函数13)(3+-=x x x f 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

导数题型--根的个数问题

题型一：原函数根的个数问题

第一步：画出 “趋势图”，如画出三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可； 例1、已知函数2

32

)1(31)(x k x x f +-=

，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．

（1）求实数k 的取值范围；

（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数， ∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立（分离变量法）

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设31

2)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h

令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1

由于

02

1

<-k ，

欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2

<---k k k ∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-

1()22

f x ax x x c =+

-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；

（2）若21

()2

g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函

数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

根的个数知道，部分根可求或已知。

解：（1）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =⇒= 2()32f x a x x '=+-，

又∵1x =-是()f x 的极值点，则(1)31201f a a '-=--=⇒=-

2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+=

3()(1)2f x f =-=

极大值 222()()37

f x f ==-极小值

（2）设函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同交点，

等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根，即：1

(1)(1)(1)2

f g d b -=-⇒=--

322111

2(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得：

即：3211

(1)(1)022x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根

3211

()(1)(1)022

h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根，

则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式，故用添项配凑法因式分解，