七年级下册数学总复习
七年级下册数学总复习
一、解答题
1．已知：5x y +=，(2)(2)3x y --=-．求下列代数式的的值． (1)xy ；
(2)224x xy y ++； (3)25x xy y ++．
2．在南通市中小学标准化建设工程中，某校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元；
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共31台，若总费用不超过30万元，则至多购买电子白板多少台？
3．已知关于x ，y 的二元一次方程组2337
41x y m x y m +=+??-=+?
它的解是正数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简：22|2|(1)(1)m m m --+--； 4．因式分解： （1）m 2﹣16；
（2）x 2（2a ﹣b ）﹣y 2（2a ﹣b ）； （3）y 2﹣6y +9； （4）x 4﹣8x 2y 2+16y 4．
5．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC 向下平移3格，再向右平移4格.
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）在图中画出△A′B′C′的高C′D′.
6．如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边上的点，DF ∥AC ，∠BFD=∠CED ，请写出∠B 与∠CDE 之间的数量关系，并说明理由．
7．已知m 2,3n a a ==，求①m n a +的值； ②3m-2n a 的值
8．某公司有A 、B 两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量如表所示：
体积（m 3/件） 质量（吨/件） A 两种型号 0.8 0.5 B 两种型号
2
1
（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20m 3，质量一共是10.5吨，求A 、B 两种型号商品各有几件；
（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m 3，其收费方式有以下两种：
按车收费：每辆车运输货物到目的地收费900元； 按吨收费：每吨货物运输到目的地收费300元．
要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，该公司应如何选择运送方式，使所付运费最少，并求出该方式下的运费是多少元． 9．已知关于x 的方程3m x +=的解满足325x y a
x y a -=-??+=?
，若15y -<<，求实数m 的取值
范围．
10．探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A ＝50°，则∠ABX+∠ACX ＝ °；
②如图3，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝50°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数；
③如图4，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2…、G 9，若∠BDC ＝140°，∠BG 1C ＝77°，求∠A 的度数．
11．已知：如图，//AB DC ，AC 和BD 相交于点O ，E 是CD 上一点，F 是OD 上一点，且∠1=∠A ．
（1）求证：//FE OC ；
（2）若∠BFE =110°，∠A =60°，求∠B 的度数．
12．分解因式 (1)321025a a a ++； (2)(1)(2)6t t ++- ．
13．如图，直线AC ∥BD ，BC 平分∠ABD ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，∠BAC ＝100°，求∠EDB 的度数．
14．在校运动会中，篮球队和排球队共有24支，其中篮球队每队10名队员，排球队每队12名队员，共有260名队员．请问篮球队、排球队各有多少支？（利用二元一次方程组解决问题）
15．先化简，再求值：（2a ﹣b ）2﹣（a +1﹣b ）（a +1+b ）+（a +1）2，其中a ＝1
2
，b ＝﹣2． 16．解方程组 （1）24
31y x x y =-??
+=?
（2）12163
2(1)13(2)
x y
x y --?-=?
??-=-+?． 17．如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF ，GH 分割成四个小长方形，
EF 与GH 交于点P ，设BF 长为a ，BG 长为b ，△GBF 的周长为m ，
(1)①用含a ，b ，m 的式子表示GF 的长为
； ②用含a ，b 的式子表示长方形EPHD 的面积为 ； (2)已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 例如在图1，△ABC 中，∠ABC=900，则222AB BC AC +=， 请用上述知识解决下列问题：
①写出a ，b ，m 满足的等式 ； ②若m=1，求长方形EPHD 的面积；
③当m 满足什么条件时，长方形EPHD 的面积是一个常数？
18．解不等式(组) (1)解不等式 114
136
x x x +-+
≤-，并把解集在数轴上．．．．表示出来． (2)解不等式835113
x x
x x ->??
+?≥-??，并写出它的所有整数解．
19．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35，则a 2+b 2+c 2＝ ．
（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b ）（a+2b ）长方形，则x+y+z ＝ ． （知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ． 20．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +??
- ???
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y q
x y q
?+=+??-=-??解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）3；（2）31；（3）25． 【分析】
（1）把多项式乘积展开，再将已知5x y +=代入，即可求解； （2）根据（1）得到3xy =，再利用完全平方公式，即可求解；
（3）根据5x y +=将x 用y 来表示，再代入2
5x xy y ++，合并同类项即可求解．
【详解】
解：（1）∵()(2)(2)22424=3x y xy x y xy x y --=--+=-++-，而5x y +=， ∴ ()=324=3254=3xy x y -++--+?-． 故答案为3．
（2）由（1）知3xy =，
∴ ()2
2224=2=523=31x xy y x y xy +++++?．
故答案为31．
（3）∵5x y +=，得5x y =-，
则()()2
2225=55525105525x xy y y y y y y y y y y ++-+-+=-++-+=． 故答案为25． 【点睛】
本题目考查整式的乘法，难度一般，是常考知识点，熟练掌握代数式之间的转化是顺利解题的关键．
2．（1）电脑0.5万元，电子白板1.5万元；（2）14台 【分析】
（1）设每台电脑x 元，每台电子白板y 元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购进电子白板m 台，则购进电脑()31m -台，根据总费用不超过30万元，列出不等式，根据m 实际意义即可求解． 【详解】
（1）设每台电脑x 元，每台电子白板y 元，则2 3.52 2.5x y x y +=??+=?，解得0.5
1.5x y =??=?
故每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；
（2）设购进电子白板m 台，则购进电脑()31m -台，由题意得
1.50.5(31)30m m +-≤
解得14.5m ≤，又因为m 是正整数，则14m ≤，故至多购买电子白板14台． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，综合性较强，难度不大，根据题意列出二元一次方程组、一元一次不等式是解题关键． 3．（1）2
13
m -<< （2）m - 【分析】
（1）先解方程组，用含m 的式子表示出x 、y ，再根据方程组的解时一对正数列出关于m 的不等式组，解之可得；
（2）根据m 的取值范围判断出m-2<0、m+1>0,m-1<0，再根据绝对值性质去绝对值符号、合并同类项即可得． 【详解】
解：（1）解方程组2337
41x y m x y m +=+??-=+?，
得32
1x m y m =+??=-?
因为解为正数，则32010
m m +>??->?，解得213m -<<；
（2）原式2(1)(1)m m m m =--+--=-. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．解题的关键是根据题意列出关于m 的不等式组及绝对值的性质．
4．（1）（m +4）（m ﹣4）；（2）（2a ﹣b ）（x +y ）（x ﹣y ）；（3）（y ﹣3）2；（4）（x +2y ）2（x ﹣2y ）2 【分析】
（1）原式利用平方差公式因式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （3）原式利用完全平方公式因式分解即可；
（4）原式利用完全平方公式，以及平方差公式因式分解即可． 【详解】
解：（1）原式＝（m +4）（m ﹣4）； （2）原式＝（2a ﹣b ）（x 2﹣y 2） ＝（2a ﹣b ）（x +y ）（x ﹣y ）； （3）原式＝（y ﹣3）2； （4）原式＝（x 2﹣4y 2）2 ＝（x +2y ）2（x ﹣2y ）2． 【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． 5．(1)图见解析；(2)图见解析． 【详解】
解：（1）△A′B′C′如下图； （2）高C′D′如下图．
6．见解析
【分析】
由DF∥AC，得到∠BFD=∠A，再结合∠BFD=∠CED，有等量代换得到∠A=∠CED，从而可得DE∥AB，则由平行线的性质即可得到∠B=∠CDE.
【详解】
解：∠B=∠CDE,理由如下：
∵ DF∥AC，
∴∠BFD=∠A.
∵∠BFD=∠CED，
∴∠A=∠CED.
∴DE∥AB，
∴∠B=∠CDE.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
7．①6；②8 9
【解析】
解:①
②
8．（1）A种商品有5件，B种商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m3，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为3000元
【分析】
（1）设A、B两种型号商品各有x件和y件，根据体积一共是20m3，质量一共是10.5吨列出方程组再解即可；
（2）分别计算出①按车收费的费用，②按吨收费的费用，③两种方式混合用的花费，进而可得答案．
【详解】
解：（1）设A 、B 两种型号商品各有x 件和y 件， 由题意得，0.8220
0.510.5
x y x y +=??
+=?，
解得：5
8
x y =??
=?， 答：A 、B 两种型号商品各有5件、8件； （2）①按车收费：10.5÷3.5＝3（辆）， 但车辆的容积为：6×3＝18＜20， 所以3辆车不够，需要4辆车， 此时运费为：4×900＝3600元； ②按吨收费：300×10.5＝3150元，
③先用3辆车运送A 商品5件，B 商品7件，共18m 3，按车付费3×900＝2700（元）． 剩余1件B 型产品，再运送，按吨付费300×1＝300（元）． 共需付2700＋300＝3000（元）． ∵3000＜3150＜3600，
∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为3000元． 答：先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为3000元． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题中的等量关系．
9．21m -<<
【分析】 先解方程组325x y a
x y a -=-??
+=?
，消去a 用含x 的式子表示y,再将x=3-m 代入y 中，从而得到用
含m 的式子表示y,在根据15y -<<，解关于m 的不等式组，求出m 的取值范围. 【详解】 解：325x y a x y a -=-??
+=?
①
②，①5?+②得6315x y -=即25y x =-③
由3m x +=得3x m =-，代入③得，12y m =- 又因为15y -<<，则1125m -<-<，解得21m -<< 【点睛】
本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一元一次不等式的方法．
10．（1）∠BDC ＝∠A+∠B+∠C ，理由见解析；（2）①40°；②90°；③70°． 【分析】
（1）根据题意观察图形连接AD 并延长至点F ，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF ；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到
∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=1
2
（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答
案．
③由②方法，进而可得答案．
【详解】
解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，
所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∴∠DCE＝1
2
(ADB+∠AEB)+A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝
1
10
(ABD+∠ACD)+A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴1
10
(40﹣x)x＝77，
∴14﹣
1
10
x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是
解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．（1）见详解；（2）50°． 【分析】
（1）由//AB DC ，可知∠A=∠C ，然后等量代换得到∠C=∠1，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由EF 与OC 平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BFE+∠DOC=180°，然后通过三角形内角和即可求出∠B 的度数． 【详解】
（1）证明：∵AB ∥CD ， ∴∠A=∠C ， 又∵∠1=∠A ， ∴∠C=∠1， ∴FE ∥OC ； （2）解：∵FE ∥OC ， ∴∠BFE+∠DOC=180°， 又∵∠BFE=110°， ∴∠DOC=180°-110°=70°， ∴∠AOB=∠DOC=70°， ∵∠A =60°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°． 【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 12．（1）()2
5a a +；（2）()()41t t +-．
【分析】
（1）首先利用提公因式法，提出a ，再利用公式法，即可分解因式；
（2）首先将两个多项式的乘积展开，合并同类项后，再利用十字相乘法即可分解因式． 【详解】
解：（1）()
()2
3
2
2
1025=10255a a a a a a a a ++++=+；
（2）()()2
2
(1)(2)6=3263441t t t t t t t t ++-++-=+-=+-．
【点睛】
本题考查因式分解，难度不大，是中考的常考点，熟练掌握分解因式的方法是顺利解题的关键． 13．50° 【分析】
直接利用平行线的性质，结合角平分线的定义，得出∠CBD ＝1
2
∠ABD ＝40°，进而得出答案．
【详解】
解：∵AC //BD ，∠BAC =100°，
∴∠ABD ＝180°﹣∠BAC ＝180°-100°=80°， ∵BC 平分∠ABD ， ∴∠CBD =
1
2
∠ABD =40°， ∵DE ⊥BC ， ∴∠BED =90°，
∴∠EDB =90°﹣∠CBD =90°-40°=50°． 【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠CBD 的度数是解题关键． 14．篮球队14支，排球队10支 【分析】
根据题意可知，本题中的等量关系是“有24支队”和“260名运动员”，列方程组求解即可． 【详解】
设篮球队x 支，排球队y 支，由题意可得：
24
1012260x y x y +=??
+=?
解的：
14
10x y =??=?
答：设篮球队14支，排球队10支 【点睛】
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 15．22442a ab b -+；13 【分析】
原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值． 【详解】
解：原式＝4a 2﹣4ab+b 2﹣（a 2+2a+1﹣b 2）+a 2+2a+1 ＝4a 2﹣4ab+b 2﹣a 2﹣2a ﹣1+b 2+a 2+2a+1 ＝4a 2﹣4ab+2b 2，
当a ＝
1
2，b ＝﹣2时，原式＝1+4+8＝13． 【点睛】
此题考查了整式的混合运算?化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（1）12x y =??=-?；（2）5
3x y =??=?
【分析】
（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】
解：（1）2431y x x y =-??+=?
①
②，
把①代入②得：3x +2x ﹣4＝1， 解得：x ＝1，
把x ＝1代入①得：y ＝﹣2，
则方程组的解为1
2x y =??=-?
；
（2）121632(1)13(2)
x y x y --?-=?
??-=-+?
方程组整理得：211213x y x y +=??+=?
①②，
①×2﹣②得：3y ＝9， 解得：y ＝3，
把y ＝3代入②得：x ＝5，
则方程组的解为5
3x y =??=?
．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，要根据方程特点选择合适的方法简化运算．
17．（1）①m a b --；②1a b ab --+；（2）①22220m ma mb ab --+=；②
1
2
；③m=1 【分析】
（1）①直接根据三角形的周长公式即可；
②根据BF 长为a ，BG 长为b ，表示出EP ，PH 的长，根据求长方形EPHD 的面积； （2）①直接根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示出a ，b ，m 之间的关系式；
②根据线段之间的关系利用勾股定理求出长方形EPHD 的面积的值； ③结合①的结论和②的作法即可求解. 【详解】
（1）①∵BF 长为a ，BG 长为b ，△GBF 的周长为m ， ∴GF m a b =--， 故答案为：m a b --； ②∵正方形ABCD 的边长为1 ， ∴AB=BC=1，
∵BF 长为a ，BG 长为b ， ∴AG=1-b ，FC=1-a ， ∴EP=AG=1-b ，PH=FC=1-a ，
∴长方形EPHD 的面积为：(1)(1)1a b a b ab --=--+， 故答案为：1a b ab --+；
（2）①△ABC 中，∠ABC=90°，则222AB BC AC +=， ∴在△GBF 中， GF m a b =--， ∴()2
22m a b a b --=+，
化简得，22220m ma mb ab --+= 故答案为：22220m ma mb ab --+=； ②∵BF=a ，GB=b ， ∴FC=1-a ，AG=1-b ，
在Rt △GBF 中，22222GF BF BG a b ==+=+， ∵Rt △GBF 的周长为1，
∴1BF BG GF a b ++=+=
即1a b =--，
即2
2
2
2
12(()b a b a b a +=-+++)， 整理得12220a b ab --+= ∴12
a b ab +-=
， ∴矩形EPHD 的面积??S PH EP FC AG ==
()()11a b =-- 1a b ab =--+
11122
=-
=． ③由①得： 22220m ma mb ab --+=，
∴212
ab ma mb m =+-
. ∴矩形EPHD 的面积??S PH EP FC AG ==
()()11a b =--
1a b ab =--+
21
12
ma mb a m b +-=--+
()()2111
2
1m a m m b =--+-+，
∴要使长方形EPHD 的面积是一个常数，只有m=1． 【点睛】
本题考查了正方形的特殊性质和勾股定理，根据正方形的特殊性质和勾股定理推出
22220m ma mb ab --+=是解题的关键．
18．（1）x ≤2，图见详解；（2）22x -≤<；-2、-1、0、1. 【分析】
（1）由题意直接根据解不等式的步骤逐步进行计算求解，并把解集在数轴上表示出来即可．
（2）根据题意分别解出两个不等式，取公共部分得出其解集从而写出它的所有整数解即可． 【详解】
解：（1）去分母，得 6x+2（x+1）≤6-（x-14）， 去括号，得 6x+2x+2≤6-x+14， 移项，合并同类项，得 9x ≤18， 两边都除以9，得 x ≤2. 解集在数轴上表示如下：
（2）835113x x x x ->??
?+≥-??
①②
解①得：2x <， 解②得：2x ≥-，
则不等式组的解集是：22x -≤<. 它的所有整数解有：-2、-1、0、1. 【点睛】
本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，注意掌握求不等式（组）的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（1）（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ；（2）30；（3）9；（4）x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x 【分析】
（1）依据正方形的面积＝（a+b+c ）2；正方形的面积＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ，可得等式；
（2）依据a 2+b 2+c 2＝（a+b+c ）2﹣2ab ﹣2ac ﹣2bc ，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa 2+yb 2+zab ，而（2a+b ）（a+2b ）＝2a 2+4ab+ab+2b 2＝
2a 2+5b 2+2ab ，即可得到x ，y ，z 的值．
（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】
（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c ）2；正方形的面积＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ， ∴（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ， 故答案为：（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ； （2）∵（a+b+c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ， ∵a+b+c ＝10，ab+ac+bc ＝35， ∴102＝a 2+b 2+c 2+2×35， ∴a 2+b 2+c 2＝100﹣70＝30， 故答案为：30；
（3）由题意得：（2a+b ）（a+2b ）＝xa 2+yb 2+zab ， ∴2a 2+5ab+2b 2＝xa 2+yb 2+zab ，
∴225x y z =??
=??=?
， ∴x+y+z ＝9， 故答案为：9；
（4）∵原几何体的体积＝x 3﹣1×1?x ＝x 3﹣x ， 新几何体的体积＝（x+1）（x ﹣1）x ， ∴x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ． 故答案为：x 3﹣x ＝（x+1）（x ﹣1）x ． 【点睛】
本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
20．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，
q =23
-
【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，2
2
n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，
2
2
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值． 【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，
2
2
n+
＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，
2
2
n+
＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，
2
2
n+
＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（
2442
,
22
-+-+
），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y
的方程组
3
x y q
x y q
?+=+
?
?
-=-
??
，
得：
2
x q
y q
?=-
?
?
=
??
．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1
﹣q，
2
2
n+
＝2q，
解得：m
﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：
﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得
﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使
p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2
3
．
所以P＝0，q＝﹣2
3
．
【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式
等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．