高中数学专题辅导 学案---常用逻辑用语

第01讲 命题及其关系

高考《考试大纲》的要求： ① 理解命题的概念

② 了解“若p ，则q ”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系

（一）基础知识回顾：

1.命题的定义：用_____、_____或_____表达的可以判断________的______句,叫做命题。

其中判定为真的语句叫做________，判定为假的语句叫做________。

2.四种命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题

叫做____________，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的_________；

如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个

命题叫做____________，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的_________；

如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个

命题叫做_____________，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的_________.

3．四种命题的表示：若p 为原命题条件，q 为原命题结论。 则下列命题分别表示为：

原命题：__________; 逆命题：___________; 否命题：___________; 逆否命题：__________;

4. 四种命题的相互关系（如右图所示）：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

5．反正法：在直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通

过证明_____________为真命题，来间接地证明原命题为真命

题，这种证明方法就叫做反正法。

（二）例题分析：

例1.写出命题“若mn <0，则方程mx 2-x +n =0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,

并判断它们的真假。

例2.（2005福建文、理）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数

x x f 2log 3)(+=

的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = 。

（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

（三）基础训练：

1．下列命题中的真命题是________________________.(只填序号)：

① “若m ≤1,则x 2－2x ＋m=0有实根”的逆命题； ②“若A ∩B=B ，则A ?B ”的逆否命题； ③ “在同一个三角形中，大边对大角”的否命题； ④“正方形的四边相等”的否命题。

2.(2010天津理)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是（ ）

(A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

3．(2009重庆文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）

A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

4．(2008广东文) 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”

的逆否命题是（ ）

A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

B 、若log 20a <，则函数

()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数

C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数

第02讲 充分条件与必要条件

高考《考试大纲》的要求： 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义

（一）基础知识回顾：

1.充分条件与必要条件：如果“若p ，则q ”为真命题,就说由p 可推出q ，记作___________，

并且说p 是q 的___________条件, q 是p 的___________条件.

2. 充要条件：如果既有q p ?，又有p q ?，就记作________，此时，我们就说p 是q 的____________条件，简称_______条件.显然，此时q 也是p 的______条件 .

概括的说， 如果q p ?，那么p 与q 互为__________条件

（二）例题分析：

例1.(2010山东理)设数列{}n a 是等比数列，则“12

3a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

例2. (2009湖北文) “sin α=

21”是“212cos =α”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

例3．(2008湖北理)若非空集合A ,B ,C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则（ ）

A.“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件

B. “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件

C. “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件

D. “x ∈C ”不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件

（三）基础训练：

1. (2010福建文) 若向量a=（x ，3）（x ∈R ），则“x=4”是“| a |=5”的 ( )

A.充分而不必要

B.必要而不充分 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. (2010陕西文) “a ＞0”是“

a ＞0”的 [ ] (A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

3.（2009安徽文）“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.(2008上海文、理)给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是 “直线l 与平面α垂直”的（ ）条件

A ．充要

B ．充分非必要

C ．必要非充分

D ．既非充分又非必要

5.（2007天津文）“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6．（2007湖南理）设M N ，是两个集合，则“M N =? ”是“M N ≠? ”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

7.（2006湖南文、理）“a=1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.(2004重庆文)一元二次方程2

210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件

（ ） A. 0a < B. 0a > C. 1a <- D. 1a >

第03讲 简单的逻辑联结词

高考《考试大纲》的要求：

了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义

（一）基础知识回顾：

1. 逻辑联结词“或”、“且”、“非”分别用符号“______”、“______”、“______”来表示。

2. 复合命题的真假 — 真值表：

复合命题q p ∧的真值表：当p ，q 都是真命题时，q p ∧是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命

题是假命题时， q p ∧是假命题。简记为：都真才真，有假即假。

复合命题q p ∨的真值表：当p ，q 两个命题有一个命题是真命题时， q p ∨是真命题；当p ，q 都是假命题时， q p ∨是假命题。简记为：有真就真，都假才假。

复合命题p ?的真值表：若p 是真命题，则p ?是假命题；若p 是假命题， 则p ?是真命题。简记为：非真即假，非假即真。

（二）例题分析：

例1.写出由命题“p ：

25<,q ：5是无理数”构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题,并判断它们的真假.

例2.写出命题“若a 2+b 2=0，则a=0且b=0”的否定及其否命题，并判断它们的真假.

例3. (2008广东理) 已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，

则下列命题中为真命题的是 （ ）

A ．q p ∨?)( B.q p ∧ C.)()(q p ?∧? D. )()(q p ?∨?

（三）基础训练：

1．命题：“方程X 2-2=0的解是X=2±”中使用逻辑联系词的情况是（ ）

（A ）没有使用逻辑联结词 （B ）使用了逻辑联结词“且”

（C ）使用了逻辑联结词“或” （D ）使用了逻辑联结词“非” 2．如果命题“┓P ”为假，命题“P ∧q ”为假，那么则有（ ）

（A ）q 为真 （B ）p ∨q 为假 （C ）p ∨q 为真 （D ）（┓p ）∧（┓q ）为真

3．如果p 是q 的充分条件，r 是q 的必要条件，那么（ ）

（A ）r p ??? （B ）p r ??? （C ） r p ??? （D ）

r p ?

4.(2010全国新课标理)已知命题 1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，

则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是（ ）

（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q

5．复合命题“┓p ”为假命题是复合命题“p ∨q ”为真命题的_______________条件。

6. 命题 p ：０不是自然数；命题q ：3是无理数．则在命题＂p 且q ＂，＂p 或q ＂，

＂非p ＂，＂非q ＂中假命题 有___________，真命题有_______________．

第04讲 全称量词与存在量词

高考《考试大纲》的要求：

① 理解全称量词与存在量词的意义； ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定

（一）基础知识回顾：

1．全称量词：短语“所有的”、“_____”、“_____”、“_____”、“每一个”等，在逻辑中通常

叫做全称量词，并用符号“______”表示。含有全称量词的命题，叫做_______命题。

全称命题“对M 中任意一个x ，有p(x)成立”可用符号简记为“________________”.

2．存在量词：短语“存在一个”、“_________”、“_____”、“_____”、“有的”等，在逻辑中

通常叫做存在量词，并用符号“____”表示。含有存在量词的命题，叫做______命题。

特称命题“存在M 中的一个x ，有p(x)成立”可用符号简记为“_______________”.

3。含有一个量词的命题的否定：

全称命题p:)x (p ,M x ∈?的否定为:p ?_____________________,它是一个_________命题; 特称命题p:)x (p ,M x ∈?的否定为:p ?_____________________,它是一个_________命题。

4.

5.命题的否定与否命题：命题的否定与否命题是两个完全不同的概念。命题的否定是原命题的矛盾命题，真假性与原命题相反。而否命题的真假与原命题的真假没有直接关系。

“p 且q ”的否定为“_____________”,用符号语言表示为=∧?)q p (__________;

“p 或q ”的否定为“______________” 用符号语言表示为=∨?)q p (__________.

(二)例题分析：

例1. (2010湖南理)下列命题中的假命题．．．

是( ) A.R x ?∈,120x -＞ B.N x *?∈,()10x -2

＞ C.R x ?∈,lg x ＜1 D.R x ?∈,tan 2x =

例2．(2007海南、宁夏文、理)已知命题

:p x ?∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ??∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ??∈R ，sin 1x >

Ｄ．:p x ??∈R ，sin 1x > （三）基础训练：

1. 选择适当的量词填空，使他们成为真命题：

（1）______,02x x 2=--; （2）________ ,052x x 2>+-

2. (2010安徽文)命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 ___________________

3.(2010天津文)下列命题中，真命题是（ ）

(A)m R,f x x mx x R ?∈+∈2

使函数（）=（）是偶函数

(B)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）是奇函数

(C)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数

(D)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数

4.(2009辽宁文)下列4个命题: 111:(0,),()()23

x x p x ?∈+∞<; 2:(0,1),p x ?∈㏒1/2x>㏒1/3x; 31p :(0,),()2x x ?∈+∞>㏒1/2x; 411:(0,),()32

x p x ?∈<㏒1/3x.其中的真命题是( ) （A ）13,p p （ B ）14,p p （C ）23,p p （D ）24,p p

参考答案

第01讲 命题及其关系

（二）例题分析：

例1.解： 逆命题：“若方程mx 2-x +n =0有两个不相等的实数根，则 mn <0”，假命题；

否命题：“若mn ≥0，则方程mx 2-x +n =0没有两个不相等的实数根，”，假命题；

逆否命题：“若方程mx 2-x +n =0没有两个不相等的实数根， 则mn ≥0”，真命题。

例2. 直线y=x ， 32-x 。

（三）基础训练：

1. __①③__； 2．B ； 3.B ； 4.A ；

第02讲 充分条件与必要条件

（二）例题分析：

例1.C; 例2. A ； 例3．B ；

（三）基础训练：

1．A ； 2.A ； 3．A ； 4.C ； 5.C ； 6．D ； 7. A ； 8．C ；

第03讲 简单的逻辑联结词

（二）例题分析：

例1.解：“p 或q ”：“25<或5是无理数”，真；

“p 且q ”： “25<且5是无理数”，假；

“非p ”： “25≥”，真.

例2.解：命题“若a 2+b 2=0，则a=0且b=0”的否定为“若a 2+b 2=0，则a ≠0或b ≠0”，假； 命题“若a 2+b 2=0，则a=0且b=0”的否命题为“若a ≠0或b ≠0， 则a 2+b 2≠0”，真. 例3. D.

（三）基础训练：1． C ； 2． C ； 3． B ； 4.C 5． __充分不不要___条件。

6. 假命题 有＂p 且q ＂，＂非q ＂； 真命题有＂p 或q ＂，＂非p ＂。

第04讲 全称量词与存在量词

(二) 例题分析：

例1. B 例3． Ｃ．

（三）基础训练：

1.R x ∈?, R x ∈?

2. “任意的x R ∈，0522≠++x x ” 3．A ； 4. D ；