对数与对数函数讲义
对数与对数函数
课前双击巩固1.对数
概念如果a x=N(a>0且a≠1),那么x叫作以a为底N的,记作x=log a N,其中a 叫作对数的底数,N叫作真数,log a N叫作对数式
性质
底数的限制:a>0且a≠1 对数式与指数式的互化:a x=N?
负数和零没有
log a1=
log a a=1
对数恒等式:a log a N=
运算性质log a(M·N)=
a>0且a≠1,
M>0,N>0 log a M
N
=
log a M n=(n∈R)
换底公式换底公式:log a b=log c b
log c a
(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0)
推论:lo g a m b n=,log a b= 1
log b a
2.对数函数的概念、图像与性质
概念函数y=log a x(a>0,a≠1)叫作函数
底数a>1 0 图像 定义域 值域 性质 过定点 ,即x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是 函数 在区间(0,+∞)上是 函数 3.反函数 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图像关于直线 对称. 常用结论 1.指数与对数的等价关系:a x =N ?x=log a N. 2.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称. 3.只有在定义域上单调的函数才存在反函数. 题组一 常识题 1.化简log a blog b clog c a 的结果是 . 2.设a=212,b=31 3,c=log 32,则a ,b ,c 的大小关系是 . 3. 若函数y=f (x )是函数y=2x 的反函数,则f (2)= . 4. 函数y=lo √2 (x 2 -4x+5)的单调递增区间是 . 题组二 常错题 ◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;记混对数函数的定义域;对数函数的性质不能充分运用;忽略对底数的讨论致误. 5.有下列结论:①lg (lg10)=0;②lg (ln e )=0;③若lg x=1,则x=10;④若log 22=x ,则x=1;⑤若log m n ·log 3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是 . 6.函数f (x )=log 2(2-x )的定义域是 . 7.设a=1 4 ,b=log 98 5 ,c=log 8√3,则a ,b ,c 的大小关系是 . 8.函数y=log a x (a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a= . 课堂考点探究 探究点一 对数式的化简与求值 例题1 (1)已知2log a (M-2N )=log a M+log a N ,则M N 的值为 . (2)已知2a =5b =10,则 2a +2b 32 = . [总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形. (2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化. 变式题 (1)求值: lg √27+lg8?3lg √10 lg1.2 = . (2)设函数f (x )=3x +9x ,则f (log 32)= . 探究点二 对数函数的图像及应用 例题2 (1) 函数y=ln cos x -π 2 2的大致图像是( ) 图2-9-1 (2)已知函数f (x )=x 2 -log m x 在0,1 2上恒有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围为 . [总结反思] (1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. 变式题(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图像为( ) 图2-9-2 (2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 探究点三对数函数的性质及应用 考向1比较大小 例题3 (1)已知a=log0.34,b=log43,c=0.3-2,则a,b,c的大小关系是( ) A.c B.b C.a D.a (2)设a=log36,b=log48,c=log510,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>a>c [总结反思]比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,, 对数式,通过巡回转化进行比较. 考向2解简单对数不等式 例题4 (1)已知0 (2)设函数f(x)={log2x,x>0, log1 2 (-x),x<0,若f(a) [总结反思]对于形如log a f(x)>b的不等式,一般转化为log a f(x)>log a a b,再根据底数的范围转化为f(x)>a b或0 考向3对数函数性质的综合问题 例题5 (1)若函数f(x)=lo g1 2 (-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)上单调递增,则实数m的取值范围为( ) A.[4 3,3] B.[4 3 ,2] C.[4 3,2) D.[4 3 ,+∞) (2)已知函数f(x)={(a-1)x+4?2a,x<1, 1+log2x,x≥1, 若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是( ) A.(1,2] B.(-∞,2] C.(0,2] D.[2,+∞) [总结反思]利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 强化演练 1.【考向1】已知a=log23+log2√3,b=log29-log2√3,c=log32,则a,b,c的大小关系是( ) A.a=b B.a=b>c C.a D.a>b>c 2.【考向1】若实数a,b,c满足log a2 A.a B.b C. c D.a 3.【考向2】已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(2),则x的取值范围是( ) ,1) A.(1 100 )∪(1,+∞) B.(0,1 100 ,100) C.(1 100 D.(0,1)∪(100,+∞) 4.【考向3】若函数f(x)=log a(ax-3)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,1) ) D.(3,+∞) C.(0,1 3 (2x)的最小值为. 5.【考向3】函数f(x)=log2√x·lo g √2 参考答案 1.对数 x=log a N 对数 0 N log a M+log a N log a M-log a N nlog a M n m log a b 2.对数 (0,+∞) R (1,0) 增 减 3.y=log a x (a>0且a ≠1) y=x 1.1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1. 2.c =8,b 6 =9,所以a 4.(-∞,2) [解析] 因为0<√2 <1,所以y=lo g √2 单调递减,而函数y=x 2 -4x+5>0恒成立,且单调递 减区间为(-∞,2),所以函数y=lo g 1√2 (x 2 -4x+5)的单调递增区间是(-∞,2). 5.①②③④⑤ [解析] ①lg 10=1,则lg (lg10)=lg 1=0;②lg (ln e )=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤log m n= lgn lgm ,log 3m= lgm lg3 ,则 lgn lg3 =2,即log 3n=2,故n=9. 6.(-∞,2) [解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2). 7.c>a>b [解析] a=1 4=log 9√94 =log 9√3 5=b ,所以c>a>b. 8.2或1 2 [解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有log a 4-log a 2=1,解得a=2;(2)当0 log a 2-log a 4=1,解得a=12.所以a=2或1 2. 【课堂考点探究】 例题1 [思路点拨] 根据指数、对数的运算法则和代数运算的有关公式进行计算. (1)4 (2)2√2 [解析] (1)由题知{M -2N >0, M >0,N >0,∴M>2N>0.由2log a (M-2N )=log a M+log a N ,得 log a (M-2N )2 =log a MN ,∴(M-2N )2 =MN ,∴M 2 -5MN+4N 2 =0,即(M-4N )(M-N )=0,∴M=4N 或M=N (舍去),∴M N =4. (2)由2a =5b =10可得a=1lg2,b=1lg5,∴2a +2b =2(lg 2+lg 5)=2,∴(2a +2 b )32 =2√2. 变式题 (1)3 2 (2)6 [解析] (1)原式= lg(33)1 2+lg 23-3lg(10)12 lg 3×2210 =3 2 (lg3+2lg2-1)lg3+2lg2?1=3 2. (2)∵函数f (x )=3x +9x ,∴f (log 32)=3log 32+9log 32=2+9log 94=2+4=6. 例题2 [思路点拨] (1)由条件利用余弦函数的值域和单调性以及复合函数的单调性得出结 论;(2)分别作出函数y=x 2 和y=log m x 的图像,利用图像的直观性确定实数m 的取值范围. (1)A (2)1 16 ≤m<1 [解析] (1)在0, π2 上,t=cos x 是减函数,则y=ln cos x 是减函数,且函数 值y<0,故排除B ,C ;在-π2 ,0上,t=cos x 是增函数,则y=ln cos x 是增函数,且函数值y<0,故排除D.故选A. (2)要使函数f (x )=x 2 -log m x 在0, 12 上恒有f (x )<0成立,则有x 2 12 上恒成立,则有 0 和y=log m x 的图像(如图所示).∵当x=12时,y=x 2 =1 4,∴只需 y=log m 12 ≥1 4 =log m m 1 4,∴1 2 ≤m 1 4,即116 ≤m ,又∵0 ≤m<1,∴实数m 的取值范围是1 16 ≤m<1. 变式题 (1)C (2)B [解析] (1)先作出当x ≥0时,f (x )=ln (x+1)的图像,显然图像经过点(0,0),再作此图像关于y 轴对称的图像,可得函数f (x )在R 上的大致图像,如选项C 中图像所示. (2)函数f (x )=2x |log 0.5x|-1的零点个数即方程|log 0.5x|=(12 )x 的解的个数,即函数y=|log 0.5x|与 函数y=(12 )x 图像交点的个数,作出两函数的图像(图略)可知它们有2个交点. 例题3 [思路点拨] (1)根据对数函数的性质确定a ,b ,c 的取值范围,然后确定其大小关系;(2)先将a ,b ,c 进行化简,整理成真数相同的对数式,再进行判断. (1)D (2)A [解析] (1)∵a=log 0.34<0,0 >0.30 =1,∴a (2)a=log 36=1+log 32,b=log 48=1+log 42,c=log 510=1+log 52,因为log 32>log 42>log 52,所以a>b>c.故选A. 例题4 [思路点拨] (1)分别利用指数函数与对数函数的单调性进行转化;(2)分a>0和a<0两种情况,将f (a ) (1) 3 .∵0 在R 上 是减函数,∴log b (x-3)>0,又∵0 log 2(-a)>log 12(-a),即{a > 0,log 2a < -log 2a 或 {a < 0, log 2(-a) > -log 2(-a), 解得0 (1)C (2)A [解析] (1)先保证对数有意义,即-x 2 +4x+5>0,解得-1 y=-x 2 +4x+5图像的对称轴为直线x=-4 2×(?1) =2,由复合函数单调性可得,函数 f (x )=lo g 12 (-x 2 +4x+5)的单调递增区间为(2,5),要使函数f (x )=lo g 12 (-x 2 +4x+5)在区间(3m-2,m+2) 上单调递增,只需{3m -2≥2, m +2≤5,3m -2 解得4 3≤m<2.故选C. (2)当x ≥1时,f (x )=1+log 2x ≥1,当x<1时,f (x )=(a-1)x+4-2a 必须是增函数,且最大值大于或等于1,才能满足f (x )的值域为R ,可得{a -1>0, a -1+4-2a ≥1,解得a ∈(1,2]. 强化演练 1.B [解析] 因为a=log 23+log 2 √3=log 23√3=3 2log 23>1,b=log 29-log 2 √3=log 23√3=a ,c=log 32 2.A [解析] 当log c 2<0时,根据不等式的性质和对数的换底公式可得log 2c 0 3.C [解析] 由偶函数的定义可知,f (x )=f (-x )=f (|x|),又f (x )在[0,+∞)上是减函数,所以不等式f (lg x )>f (2)可化为|lg x|<2,即-2 100 4.D [解析] 由于a>0且a ≠1,所以u=ax-3为增函数,所以a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒为正,所以a-3>0,即a>3. 5.-14 [解析] 依题意得f (x )=12 log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2 +log 2x=log 2x+ 12 2 -14 ≥-1 4 ,当 log 2x=-1 2 ,即x=√22 时等号成立,所以函数f (x )的最小值为-1 4 . 对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=． 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数函数与对数函数 重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程(含不等式)的解法;数学思想方法的运用． 难点：幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质. 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则 ① m n m n a a a +=??② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ?④ 1 n a =2、 对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=(0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、 对数的运算法则 (1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ? ? ④ 1 log log a a M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N =??② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = (换底公式)? ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、 求: 82log 9 log 3 的值． 解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 233 2 lg lg lg = =?=?=. 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数与对数函数的图像和性质 指数函数 x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 2、 指数函数与对数函数的图像的应用 例2、 在下列一次函数b ax y +=(10< 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 一、 教学目标： 1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题． 二、教学重、难点： 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律： 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。 四、教学内容： 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N =log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 （5）log log a b b a ?= ； （6）log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质 注：对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 高一数学 对数与对数函数 一、 知识要点 1、 对数的概念 （1）、对数的概念： 一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 （2）、对数的运算性质： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= （3）、重要的公式 ①、负数与零没有对数； ②、01log =a ，1log =a a ③、对数恒等式N a N a =log （4）、对数的换底公式及推论： I 、对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) II 、两个常用的推论: ①、1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② 、b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 佛山学习前线教育培训中心 2、 对数函数 （1）、对数函数的定义 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数； 它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞ （2）、对数函数的图像与性质 log (01)a y x a a =>≠且的图象和性质 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2 .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数函数与对数函数（讲义） ? 知识点睛 1. 指数函数及对数函数的图象和性质： 2. 利用指数函数、对数函数比大小 （1）同底指数函数，利用单调性比较大小； （2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法； （3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论； （4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合． 3. 换底公式及常用变形： log log log c a c b b a =（a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0） 1 log log a b b a = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log log m n a a n b b m = （a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1） log a b a b =（a >0，且a ≠1；b >0） ? 精讲精练 1. 若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（ ） A ．b a c 111+= B ． b a c 122+= C ．b a c 221+= D ．b a c 212+= 2. 计算： （1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________； （2）设0()ln 0x e x g x x x ?=?>?≤（）， （）则1 (())2g g =_____________； （3）若2(3)6()log 6f x x f x x x + 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 对数函数及其性质（讲义） ?知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质： 0 1 3 log x 2 log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2 1 a ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1） y = log 3 (x - 2) ； （2） y = ； （3） y = ； （4） y = 1 + ． ln(x +1) 2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的 2 定义域是 ； （2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它 2 的定义域是 ； （3） 函数 f (x ) = log (x 2 + 6x +13) 的值域是 ． 2 3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可 能是（ ） A ． B ． C ． D ． 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 （1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 指数函数与对数函数经典讲义 指数函数与对数函数 重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程（含不等式）的解法;数学思想方法的运用． 难点:幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质． 一、 指数与对数的运算法则 1、 指数的运算法则 ① m n m n a a a +=? ② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ④ 1 n n a a =2、 对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=（0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、 对数的运算法则 （1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ④ 1 log log n a a M M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N = ② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = （换底公式） ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、 求： 82log 9 log 3 的值． 解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 2332 lg lg lg ==?=?=． 二、 指数函数与对数函数 1、 指数函数与对数函数的图像和性质 指数函数x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 指数函数 对数函数 一般形式 x y a = （0a >且1a ≠） log a y x = （0a >且1a ≠） 定义域 (),-∞+∞ ()0,+∞ 值域 ()0,+∞ (),-∞+∞ 图像 性质 （1）0y > （1）0x > （2）图像经过()0,1点 （2）图像经过()1,0点 指数函数 对数函数 性质 1a > 01a << 1a > 01a << 当0x >时， 1y > 当0x <时， 01y << 当1x >时， 0y > 当01x <<时， 0y < 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 2、 指数函数与对数函数的图像的应用 例2、 在下列一次函数b ax y +=（10< 01a << O x y 1 1a > 01 a << 高一数学必修一对数及对数函数知识点总 结 数学是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。以下是查字典数学网为大家整理的高一数学必修一对数及 对数函数知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 对数定义 如果a的x次方等于N(a>0，且a不等于1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 注： 1.以10为底的对数叫做常用对数，并记为lg。 2.称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数，并记为ln。 3.零没有对数。 4.在实数范围内，负数无对数。在复数范围内，负数是有对数的。 对数公式 0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。/p p其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定， 同样适用于对数函数。/p p对数函数性质/p p align=" center="" img="" /> 定义域求解：对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1} 值域：实数集R，显然对数函数无界。 定点：函数图像恒过定点(1，0)。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数; 奇偶性：非奇非偶函数 周期性：不是周期函数 对称性：无 最值：无 零点：x=1 注意：负数和0没有对数。 两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数， 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如)10(log ≠>=a a x y a 且的函数叫做对数函数. 说明：（1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的正常数； ③自变量为真数. 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。 2、由对数的定义容易知道对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 是指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称。 ②若函数)(x f y =上有一点),(b a ，则),(a b 必在其反函数图象上，反之若),(a b 在反函数图象上，则),(b a 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域R ∈x ，值域0>y ，容易得到对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为0>x ，值域为R ，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。 4 要 牢 记 x x x x y y y y )10 1 (,10,)21(,2====的反函 数 x y x y x y x y 10 12 12log ,lg ,log ,log ====的图象，并由此归纳出表中结论。 5、比较大小 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数1>a 为增；10<≠>a a a a ）. 当121>>a a 时，曲线1y 比2y 的图象（在第一象限内）上升得慢，即当>x 1时，21y y <；当10<对数函数知识点总结(供参考)
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