高中数学恒成立问题的一般解法
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高中数学恒成立问题的一般解法
高三数学复习中，我们经常会遇到恒成立问题，恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质、图象，渗透着换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的分析问题、解决问题的能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在分析题目过程中，特别要注意与能成立问题的区别，以防导致解题错误。常见恒成立问题大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。当然，这几种类型在方法的运用上面都有异曲同工之处，一般主要用变量分离，数形结合，函数最值，根的分布的思想方法进行处理即可解决问题。
一、一次函数型（注意改换主元的方法运用）
例1、 对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+p ·x+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数，即改换主元。可将p 视作自变量，则上述问题可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.
评析：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）及它的单调性可得
ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0
)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩
⎨⎧<<0)(0)(n f m f
例2、 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.