积分、微分习题

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微积分下册练习题(配套于李庶民主编的《简明微积分》(下册))

（4） � ��2 − �� 2 �� = __________________
0
2、求下列函数在给定点处的导数或者导数值。
0 �� 0 �� 0 �� 0
(−1)��
��
�� （5） � 2 sin �� _____________________ （6） � 4 __________________________ 2 �� + 2 1 1 （7） � (−1)�� _______________________ （8） � �� _________________________ �� 3 +1
(−1)�� (−1)�� （1） � ________________________ （2） � __________________________ ��2 �� （3） �
��=1 ��=1 ��=1 ��=0 ��=1
1 +∞
（4）�� = � （1） � �
1 +∞
3、判断下列反常积分的敛散性。 1 ��_____________ �� 2

微积分上册练习题(配套于李庶民主编的《简明微积分》(上册))

一、填空题1、求下列曲线绕指定的坐标轴旋转一周所成的旋转曲面的方程.（1）xOy坐标面上曲线xx2+4yy2=1，分别绕x轴，y轴旋转；（2）xOz坐标面上曲线xx2−4zz2=1，分别绕x轴，z轴旋转.2、（1）向量α→=（2,1，-2），b→=（1，λ，2）满足α→⊥b→，则数λ为.（2）向量α→=（2,1，-2），b→ =（1，1，2），则α→×b→= .（3）α→=（2,1，-2），b→=（1，1，2），则α→·b→= ，α→·α→= ，|α→+b→|=，（3α→-b→）·（α→-2b→）= .3、（1）过点（1,2,3）且与x−y+z=1垂直的直线方程为.（2）过点（1,2,3）且与x−y+z=1平行的平面方程为.（3）通过x轴和点（1,2,3）的平面方程为.（4）求平行于xOy平面且过点（1,2,3）的平面方程为.4、求下列极限.（1）ll ll ll xx→∞2+sin xx xx（2）ll ll ll xx→0xx2sin1xx（3）ll ll ll xx→∞xx−sin xx xx+cos xx（4）ll ll ll xx→∞arctan xx xx（5）ll ll ll xx→02xx sin12xx（6）ll ll ll xx→0xx cos1xx5、求下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的ξ.（1）f(x)=xx2在[0,2]上；（2）f(x)=1−xx2在[1,3]上；（3）f(x)=xx3在[-1,2]上；（4）f(x)=xx2+1在[1,2]上；6、设f(x)可导，且ll ll ll xx→0ff(1)−ff(1−xx)xx=1 ，则（1）ll ll ll xx→0ff(1)−ff(1+xx)xx=.（2）ll ll ll xx→0ff(1−xx)−ff(1+xx)xx=.（3）ll ll ll xx→0ff(1−2xx)−ff(1+xx)xx=.（4）ll ll ll xx→0ff(1−xx)−ff(1+3xx)xx=.7、（1）设z=xx4+yy3−4xx2yy2，则∂z∂x=，∂2z∂x2=，∂z∂y=，∂2z∂y2=，∂2z∂x∂y=.（2）设z=xx2+yy3−ln xxyy，则∂z∂x=，∂2z∂x2=，∂z∂y=，∂2z∂y2=，∂2z∂y∂x=.（3）设z=xy+yy3，则∂z∂x=，∂2z∂x2=，∂z∂y=，∂2z∂y2=，∂2z∂x∂y=.8、（1）曲线x=tt2，y=1+t，z=√tt在点（1,2,1）处的法平面方程为，切线方程为. （2）曲线x=tt2，y=1+2t，z=ln tt在t=1时的法平面方程为，切线方程为. （3）曲面xx2+2yy2+3zz2=12在点（1,2,1）处的切平面方程为，法线方程为. （4）曲面xx2+2yy2+3zz2=11上平行于平面x+y+z=1处的切平面方程为，法线方程为.9、（1）设u=f(x,y,z)，y=sin xx，z=xx2，f具有一阶连续偏导数，则du dx=.（2）设u=f(x,y)，y=cos xx，f具有一阶连续偏导数，则du dx=.（3）设z=f(u,v)，u=y sin xx，v=ee xxxx，f具有一阶连续偏导数，则∂z∂x= ,∂z∂y=.（4）设z=f(u,v)，u=xy，v=ln xx，f具有一阶连续偏导数，则∂z∂x= ,∂z∂y=.10、（1）设z=xx xx，则全微分dz=.（2）设z=ee xxxx+ln yy，则全微分dz=. （3）设y=ee xx+arctan xx，则全微分dy=. （4）设方程ee xxxx+arctan xx+yy2=5确定了隐函数y=y(x)，则全微分dy=.二、解答题1、求极限.（1）ll ll ll xx→1sin(xx−1)xx3−1（2）ll ll ll xx→0tan xx ln(1+3xx)（3）ll ll ll xx →0 ln (1+3xx sin xx )tan xx 2 （4）ll ll ll xx →3√xx+6−3xx−3（5）ll ll ll xx →0√1−xx−1xx （6）ll ll llxx →4 √2xx+1−3√xx−2−√2（7）ll ll ll (xx ,yy )→(0,0) 1−�xxxx+1xxxx （8）ll ll ll (xx ,yy )→(0,2)(1+xxyy )1xx （9） ll ll ll (xx ,yy )→(0,0) sin (xx 2+xx 2)ln (1+xx 2+xx 2) （10）ll ll llxx →0ee xx −ee −xx sin xx（11） ll ll ll xx →∞ (xx+2xx )2xx （12）ll ll llxx →0(1+xx 2)1xx（13） ll ll llxx →∞ (xx+1xx−1)xx （14）ll ll ll xx →0 (1+3sin xx )2xx （15）ll ll ll xx →ππ2(1−cos xx )2sec xx （16）ll ll ll xx →∞(xx−1xx )1sin 1xx2、（1）若函数f (x )=�xx −1， x ≥1aa −xx ， x <1 在（−∞，+∞）内连续，求α.（2）若函数f (x )=�ee xx ， xx <0xx +aa ， xx ≥0在（−∞，+∞）内连续，求α.（3）若函数f (x )=�ln (1+2xx )xx ， xx >02xx +kk ， xx ≤0 在（−∞，+∞）内连续，求k. （4）若函数f (x )=�1+cos xx ， xx >0kkee xx， xx ≤0在（−∞，+∞）内连续，求k.3、（1）求过点P （1,2,4）且与直线�xx −2yy +4zz −7=03xx +5yy −2zz +1=0 垂直的平面方程.（2）求过点P （1,2,1）且与直线�xx +yy =05yy +zz =0 垂直的平面方程.（3）求过点P （2,4,1）到直线L :xx+12=xx 2=zz−2−3的距离.（4）求过点P （3,-1,2）到直线�xx +yy −zz +1=02xx −yy +zz −4=0 的距离.4、求下列参数方程所确定函数的一阶导数dy dx和二阶偏导数d 2y dx 2.（1）、�xx =aa (sin tt +tt )yy =aa (1−cos tt )（2）、�xx =2−ttyy =22tt（3）、�xx=ln(1+tt2)yy=tt−arctan tt5、求函数的极值.（1）y=xx3−3xx2+7（2）y=2xx1+xx2（3）y=x−ln(1+xx)（4）y=x+√1−xx （5）z=xx3−4xx2+2xxyy−yy2（6）z=xx3+3xxyy2−15xx−12yy 6、下列函数中，f(u)可微分，求dy .（1）y=f(ee xx)ee ff(xx)（2）y=f(ln xx)ee ff(xx)（3）y=ln[ff(xx)]·ff(ln xx)（4）y=f(ee xx)ln[ff(xx)] 7、（1）设z=ee uu sin vv，u=xy，v=x+y，求∂z∂x和∂z∂y.（2）设z=uu2−vv2，u=ee xxxx，v=ln(xx+yy)，求∂z∂x和∂z∂y.（3）设z=uu vv，u=ln xxyy，v=cos xx，求∂z∂x和∂z∂y.（4）设z=uu2ln vv，u=ln xx，v=x+y，求∂z∂x和∂z∂y.8、求由下列方程所确定的隐函数的导数dy dx.（1）ee xxxx+xx−yy=2（2）arctan xx xx=12ln(xx2+yy2)（3）ee xxxx+yy3−5xx=0（4）xy=ee xx+xx（5）y sin xx=cos(xx−yy)（6）sin(xxyy)=xx+yy9、求下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的全微分dz .（1）z3=3xz+aa2（2）ee xx+xx sin(xx+zz)=1（3）ee zz−xyz=0（4）xx2+yy2+zz2=3xxyyzz 10、（1）某厂要用铁皮做成一个体积4ll3的无盖长方体水桶，问长、宽、高各取多少时，才能最省料？（2）求函数u=xyz在附加条件1xx+1xx+1zz=1aa，（x>0,y>0,z>0）下的极值。

微积分微分方程总结及练习题

* 1
1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
由
1 4a ， 2
3
2
例5
解
1 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x ). 2 r 2 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
* * 设原方程的特解为 y* y1 y2 . * * (1) 设 y ax b, 则 ( y1 ) a , ( y1 ) 0,
r1 x r2 x
2
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
y(1) 1,
由
5 (C1 2C 2 )e 1, 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C 1 e 6 , e 3 解得 1 5 C 1 1 , 2 C1 2C 2 , 2 e e 6
所以原方程满足初始条件的特解为
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
* 2 x
[ax3 ( 3a b) x 2 2bx]e x , 则(y )
*
[ax3 (6a b) x 2 (6a 4b) x 2b]e x , (y )
*
, ( y* ) 代入原方程比较系数得将 y ,(y )

大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。

填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。

求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级：姓名：学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。

证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级：姓名: 学号：5。

函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ；（3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。

微积分试题及答案(3)

微积分试题及答案第三章中值定理与导数应用一、填空题1、=→x x x ln lim 0__________。

2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。

3、函数()43384x x x f -+=的极大值是____________。

4、曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的。

5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________。

6、曲线xxe y 3-=的拐点坐标是_________。

7、若()x f 在含0x 的()b a ,（其中b a <）内恒有二阶负的导数，且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值。

8、123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。

9、________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x 。

10、_________)tan 11(lim 20=-→xx x x 。

11、曲线2x e y -=的上凸区间是___________。

12、函数1--=x e y x的单调增区间是___________。

二、单项选择1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2)(lim xxx f x （）（Ａ）不存在；（Ｂ）0 ；（Ｃ）-1 ；（Ｄ）-2。

2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （）（Ａ）单调增凹的；（Ｂ）单调减凹的；（Ｃ）单调增凸的；（Ｄ）单调减凸的。

3、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（）（Ａ）取得极大值；（Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ；（Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

文科微积分复习题(含解答)

一．微积分极限计算1. 22100lim 32500n n n n →∞+=-_______ =+∞→n n n2)11(lim __________ 30)1(cos sin lim x x x x -→=________ 11lim(1)x x x +→∞+=________ 2. 计算下列极限111393lim(1)n n →∞++++ 0111lim x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 3．．当x →∞时，下面说法正确的是 ( )A ．x 1是22x 的低阶无穷小 B. x 1是22x 的高阶无穷小 C. x 1和22x 是同阶无穷小 D. x 1和22x是等价无穷小求导与微分1. 函数xxe x f xcos )(=的微分()df x =_________。

2. 求2sin ()sin cos nx f x x nx e=+的导函数(n 是一个常数)。

3. 求sin ()y nx n =是常数的三阶导函数。

导数及其应用1. 求函数32()2 3.57f x x x x =-+-的单调区间，极值.2.求y x =+[-5，1]上的最大值。

3．证明方程310x x +-=只有一个正根。

4. 某工厂要生产一批容积为V 的无盖圆桶，求最省料的形状。

5. 一扇形面积为25cm 2，欲使其周长最小，问半径r 及圆心角θ应为多少？不定积分计算下列不定积分1.()223x x dx +⎰⎰x d x 2s i n 2. 4(23)dx x -⎰ 23(1)xdxx +⎰ 222(34)x x dx +⎰ 3.xxe dx ⎰s i n c o s x xx d x⎰ 4()2cos sin x x xdx +⎰)x xe dx +⎰ln x dx ⎛⎫+⎪⎭⎰. ()2sincos x x xdx +⎰定积分计算下列定积分1.(sin )x x dx π+⎰2(cos 2)x x dx π+⎰dx x x ⎰20cos sin π22 1)x e dx ⎰2.4 0tan xdx π⎰dxx e x x ⎰+102)sin (3π⎰41dx xe x110 0(21)x dx -⎰22x xe dx -⎰3.1ln ex xdx ⎰4.证明(10分) （1）当()f x 为奇函数时，()0aa f x dx -=⎰;（2）当()f x 为偶函数时，0()2()a aa f x dx f x dx -=⎰⎰.(a 为一不等于零的数)5.计算积分2343sin 1x xe x e dx x -⎛⎫+⎪ ⎪+⎝⎭⎰。

(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

微积分练习题

一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的（2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点（4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小（7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为（7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积向量积一、试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量．四、已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是，其圆心坐标是，圆的半径为．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为，在xoz 面上的投影为，在面上的投影为．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示．（Ａ）、椭圆柱面（Ｂ）、椭圆曲线（Ｃ）、两个平行平面（Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是．（Ａ）、平行xoz 坐标面。

微积分复习题集带参考答案(3)

微积分习题集带参考答案一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→等于（）A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x=-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim()1x n xf x f x nx →∞-=+设（，则的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线是的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求 5、计算 6、21lim(cos )x x x +→计算五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim()x x f x A f A x +→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x x xdx='=+-++=3、解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x x xx x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e ex xxx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M xf A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即2、证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x xx f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．答案：21（2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是．答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数的单调增加区间是．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）．A ．x sinB ．x eC ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。

微积分(下)复习题及答案

一、选择题1.若()()F x f x '=，C 是任意常数，则下列等式中错误的是（ C ）A.()()F x C f x C '+=+B.()()F x C f x C '+=+C.()()f x C dx F x C +=+⎰ D.()()()b a f x dx F b F a =-⎰2.10=⎰( A ) A.6π B.3π C.2π D.π 3.302x ax e dx +∞-=⎰，则a =（ C ）A.1B.12C.13D.16 4.00x y →→= ( B ) A .0 B .12C .1D .1- 5.已知()22,f x y x y x y +-=+，则()1sin ,cos f θθ'=( )A.2sin θB.2cos θC.sin 2θD.1注：题目有误，由题意得到()()221,,2f x y x y =+故有：()1sin ,cos sin .f θθθ'= 二、填空题1.101dx x =+⎰22π- 2.220sin lim x x x tdt x→=⎰ 12- 3.由2,y x =0x =和1y =所围图形围绕x 轴旋转得到的旋转体体积为45π4.z = 的定义域为(){},1x y x y +>5. 设y z x =，则dz =1ln y y yx dx x xdy -+ 三、解答题1.计算22143x dx x x +-+⎰. 解：()()22212415434313x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+--⎰⎰⎰ 2251153ln 43ln 43ln 23121x x x dx x x C x x x -⎛⎫=-++-=-+++ ⎪---⎝⎭⎰ 或者用待定系数法：设()()22121,431313x x A B x x x x x x ++==+-+----对应解出：37,.22A B =-= 故有：221317137ln 1ln 343212322x dx dx dx x x C x x x x +=-+=--+-+-+--⎰⎰⎰ 2. 计算()2xt x f x e dt -=⎰在[)0,+∞上的单调区间。

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A. B. C. D.
A. B.-2X C. D. 3X
A. X+1 B. X-1 C. D.
A. B. Y=X
C. D.

A. B. C. D.
A. B. C. 0 D.
A. B.
C. D.
A. B. C. D.
A. B.
C. D.
积分
1.的导函数是，则有一个原函数为().
A. B. C. D.

2.( ).
A. B. C. D.
3.下列各对函数中，是同一函数的原函数的是( ).

A. B.

C. D.
4. ( ).

A. B. C. D.
5( ).
A. B.
C. D.
6.设，则( ).
A. B.
C. D.
7.( ).

A. B.
C. D.
8.设，则( ).
A.2 B. C. D.
9下列等式中，正确的结果是( ).

A. B.
C. D.

10.( )
A. B. C. D.

1.( ).
A. B.
C. D.
2.( ).

A. B.
C. D.
3.( ).

A. B.
C. D.
4.( ).
A. B.
C. D.

5.( ).
A. B.
C. D.
6.( ).
A. B.
C. D.
7.( ).
A. B.
C. D.
8.( ).

A. B. C. D.
9.( ).
A. B. C. D.
10.( ).
A. B. C. D.

1.设，且，则( )
A. B.
C. D.
2.( ).
A. B. C. D.
3.估计积分值为( )
A. B. C. D.
4.( ). A. B. C. D.

5.设，求( ).
A.0 B.6 C.4 D.2

6.( ) A. B. C. D.
7.比较定积分与的大小( ).
A. B. C. D.

8.( ). A. B. C. D.
9.( ). A. B. C. D.
10.( ). A. B.1 C.2 D.
1.( ). A. B. C. D.
2.( ) A.2 B.-2 C.0 D.1

3.( ) A. B. C. D.
4.( ). A. B.1 C. D.
5.( ) A.1 B. C. D.
6.已知，则( ).
A.1 B.-2 C.2 D.-1

7.( ). A.e B.2 C. D.1
8.( ) A. B. C. D.
9.( )
A. B. C. D.

10.( ). A. B. C. D.
1.是函数的( ).
A.极大值点 B.驻点 C.间断点 D.极小值点

2.( ) A. B. C. D.
3.设，则单调减少的区间是
A. B. C. D.
4.要建造一个体积为V的有盖圆柱形油罐，问底半径r为（）时，才能最省材料？

A. B. C. D.
5.( ). A. B.1 C.0 D.
6.若广义积分收敛，则必有( ) A.P=1 B.P<1 C.P=2 D.P>1
7.函数的单调增区间是( ).

A. B. C. D.
8.函数在处取得极大值，则( ).

A. B.或不存在 C. D.
9.函数的极小值点是( ). A.0 B.2 C. D.1
10.若，则在处( ).
A.不取极值 B.取极大值 C.无法判定能否取极值 D.取极小值

1.由曲线y=sinx，y=cosx在上所围图形的面积为( ). A. B. C. D.
2.曲线y=lnx，y=lna，y=lnb，（03.曲线与直线x=4、y=0所围图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积( )
A. B. C. D. D. (上)

4.由心形线所围成图形的面积( ).
A. B. C. D.
5.抛物线及直线所围成的图形绕轴旋转一周得一旋转体的体积( ).

A. B. C. D.
6.计算曲线从到一段的弧长( ).
A. B. C. D.
7.
A. B. C. D.
8.由双曲线xy=1与直线y=x及y=2围成的平面图形的面积( )

A. B. C. D.

9.A. 6 B. 8 C. 3 D. 4
10.一条线密度为5kg/m均匀的链子长4m，平放在地上，求将其一端提高到离地面6m时所需做的功( ).
A.649J B.714J C.526J D.784J