2013届高三数学复习资料 综合法、分析法与反证法

2013届高三数学复习资料 综合法、分析法与反证法
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必
要条件．
【答案】 B
2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
【解析】 ∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，
而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.
【答案】 A
3．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.
【答案】 C
4．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( )
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊂α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
【解析】 对于平面α和共面的直线m、n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”，
选C.
【答案】 C

5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2

【解析】 a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
【答案】 C
6．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4a－122＋1≤1；若“4ab≤1”，取a
＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必
要条件，故选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b＝a＋b2，则两边
均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立一个等式可以是
________．

【解析】 ∵a※b＝a＋b2，b※a＝b＋a2，
∴a※b＋c＝b※a＋c.
【答案】 a※b＋c＝b※a＋c
8．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．
【解析】 ∵aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.
【答案】 a≥0，b≥0且a≠b
9．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值
范围为________．
【解析】 由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，
由单调性知f(1)·f(－1)＜0，
∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0，

∴－1＜a＜－13.

【答案】 －1＜a＜－13
三、解答题(共46分)
10．(15分)在△ABC中，∠A、∠B、 ∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的
倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.
【证明】 假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是
△ABC的最大边，即b＞a，b＞c.

∴1a＞1b，1c＞1b.相加得1a＋1c＞1b＋1b＝2b，

与1a＋1c＝2b矛盾．
故∠B≥90°不成立．
11．(15分)已知a＞0，1b－1a＞1, 求证：1＋a＞11－b.

【证明】 证法一：由已知1b－1a＞1及a＞0，可知b＞0，
要证1＋a＞11－b，
可证1＋a·1－b＞1，
即证1＋a－b－ab＞1，这只需证a－b－ab＞0，即a－bab＞1，即1b－1a＞1，
而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．
证法二：1b－1a＞1及a＞0，可知1＞b＞0，

∵1b－1a＞1，
∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.
由a＞0,1－b＞0，得1＋a·1－b＞1，即1＋a＞11－b.
12．(16分)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
【解析】 (1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，
即a12(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等差数列．