北京科技大学部分量子力学作业试题汇总共10页word资料

黑体辐射：假设恒星可按绝对黑体处理，估算恒星表面温度为多少时，恒星发出的辐射可使

其周围的氢电离。（维恩位移定律：3

max 2.910m K T λ-=??，氢原子第一电离能：13.6eV ）

Solution ：根据氢原子的玻尔理论，氢原子的电离能是13.6eV ，即：

1913.6 1.610E h J ν-==??

347

2.910

3.210K 0.910

T --?==??，即恒星表面温度为3万开尔文数量级时，可使其周围的氢原子电离。

波粒二象性：我们一般用X 射线衍射技术或电子衍射技术探测晶体的微观结构，已知晶体中相邻原子的间距为1埃（10

110

-?米）左右，（i ）求能够成功探测晶体结构X 射线的频率

是多少？（ii ）能够成功探测晶体结构高能电子的能量是多少？

解：若能成功探测晶体结构，则X 射线及电子物质波波长应也在1埃左右，10

110m λ-=?

光速：8

3.010/c m s =?，频率为：18

/ 3.010c Hz νλ==?， 普朗克常数：34

6.6310

h J s -=??，能量：52.010h J εν-==?

24/ 6.6310p h λ-==?，电子质量：319.110e m kg -=?，

电子速度：61

/7.010e v p m m s -==??，相对论效应可忽略。

电子能量：2

172.4101502e

p E J eV m -==?≈

薛定谔方程：质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能(,,)

V x y z 由下式给出：()()()0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others

∈∈∈??=?

∞??；（i ）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10分）；（ii ）假设有两个电子在立方盒子中运动，不

考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为12，是费米子）； （iii ）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；

解：（2.i ）定态薛定谔方程：()()2

2,,,,2x y z E x y z m

ψψ-

?=

分离变量：()()()(),,x y z X x Y y Z z ψ=，x y z E E E E =++ （2.ii ）电子是费米子，波函数应是反对称的：()()()11221212,;,,,A

S A z z z z r s r s r r s s ψ

φχ=

由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；

基态：2201112

32E E ma π==，基态波函数：

（2.iii ）玻色子可占据相同态，基态：22

01112

32E E ma

π==，基态波函数： 有限深势阱：粒子在如图深度为0V ，宽度为a 的有限深势阱中运动。

[1]（20分）求当阱口恰好有一个束缚态能级（即：00E V +

→-）的条件；

[2]（10分）不考虑归一化，定性地画出此时波函数的曲线。 解：【1】粒子位于阱内时，波函数为正弦或余弦型的，位于阱外时，由于我们考虑的是束缚态，所以是e 指数衰减型的（当x 趋于正负无穷时，波函数趋于零）。如果考虑阱口恰好有一个束缚态能级，相当于指数衰减因子是趋于零的，即阱外波函数趋于常数，0ψ'→。 由于我们考虑的是一维具有对称性的势阱，即：()()V x V x -=，波函数应具有确定的奇偶性，即：波函数应为奇函数或偶函数。（这里波函数未写成归一化形式） 边界条件：ψ连续，ψ'连续

即阱口恰好出现束缚能级的条件是：0,1,2,3......k a n n π==，即：22202

2n V ma π=。由于一

维有限深势阱中至少有一个束缚态，因此当2

202

2V ma

π<

时，势阱中只有一个束缚态（是偶

宇称的）。

【2】定性画出波函数曲线：

阱内为正弦或余弦曲线，阱外为直线，并使阱内阱外曲线平滑地连接起来。 δ势垒散射：

质量为m 的电子以动能0E V >由左向右入射到高度为0V （00V >）的台阶势上，在台阶势的跃起处考虑还存在

δ势：()x γδ，（0γ>）的散射，即电子所受势能为

0()()()V x V x x θγδ=+，这里0,0

()1,0

x x x θ

程及波函数导数ψ'在0x =两侧的跃变条件；（ii ）求电子在0x =处的透射系数out

in

j T j =

，和反射系数ref in

j R j =

；

解：（3.i ）定态薛定谔方程：2

2

02

()()2d V x x E m dx θγδψψ??-++= ???

； 化简为：()02

2()()m

E V x x ψθγδψ''=-

--，在0x =两侧邻域积分：,0dx ε

ε

ε-→?，

()02

2

22()()()()(0)m

m dx V x x E dx ε

ε

ε

εγ

ψψεψεθγδψψ-

-''''=--=

+-=

??，

即ψ'在0x =两侧不连续；

（3.ii ）在0x ≠的区域，定态薛定谔方程可分为0x <，0x >两个区域考虑： 其解可表示为：

(),0(),0ikx ikx ik x x e Ae x x Be x ψψ-'?=+??，求导：,0

,0

ikx ikx

ik x

ike ikAe x ik Be x ψψ-''?=-?? 根据0x =处的ψ连续，和ψ'跃变条件得到：

212A B m ik B ik ikA B γ+=???'=-+??，即：2121A B k m A B B k ik γ+=??'?-=-??

消去A ：2221k m i B k k

γ'?

?

=+

+ ??

?

，即：()1

22

11k k B m i k

γ'=++

所以：()()()1

2

211

2222

11111k k k k k k m i

k A m m i i k k

γγγ'''--=-=

++++ 根据粒子流密度公式：**2i j m x x ψψψψ????=-- ?????

，22

,,in re out

k k k j j A j B m m m '=== 反射系数：()()()()()()2

2

2

11222

222

21

122

221111k k k k re k in k k k m m i

j k k R A m j m i k

k γγ

γγ''''??

-+-- ?

??===

=??

++++ ?

??

透射系数：()()

2

2

2

12

21out in k k

k j k k

T B j k

m k γ''

'=

==??++ ???

可以验证：()()()()2

2

1

22221

22111k k k k m k k k

R T m k γγ'''??-++ ???+==??++ ?

??

算符运算：在坐标表象中位置算符：?x

x =，动量算符：?x p i x

?

=?。 [1]（10分）计算：[]??,?x x

p = [2]（10分）利用[]??,x x p 的结果，计算角动量算符对易关系：??,?x y L L ??=?

?

，??,?y z

L L ??=?

?

，??,?z x L

L ??=??

[3]（10分）利用??,x y L L ????，??,y z L L ????，??,z x L L ????的结果，计算2,?z L L ??=????

（2222????x y z L L L L =++） 解：【1】 []??,x x p i =；【2】 ???,x y z L L i L ??=?

?

，???,y z x L L i L ??=?

?

，???,z x y L L L ??=?

?

；【3】

2,0z L L ??=????

角动量：已知角动量本征值问题：()

2

2

,1,L l m l l l m =+，,,z L l m m l m =，定义：

x y L L iL +=+，x y L L iL -=-，L +可解释为升算符，使z L 本征值增加，

L -可解释为降算

符，使z L 本征值减少

。（i ）L +和L -是否为厄密算符；（ii ）计算

?,,?l m L L l m ++=?,,?l m L L l m -

-=（iii ）计算：,?L l m +=,?L l m -= 解：()()?

22

x y

x y z z L L L iL L iL L L L ++=-+=--，

()()()()()

?2

2

2

2

,,1111l m L L l m l l m m l l m m l m l m --??=

+-+=++-=

+-+??????因此：()(,,L l m l m m +=

-，()(,,L l m l m m -=

+

角动量：对于()

2

,z L L 的共同本征态,l m ，（i ）计算?x L =，?y L =，2

?x L =，2?

y L =；（ii 1

,2

x y L L ??≥

??。 Solution ：()

2

2

,1,L l m l l l m =

+

，,,z L l m m l m =

因此：0x y L L ==

因此：2

2

x y L L =；利用：()

2

2

2

2

2

1x y z L L L L

l l ++==+

类似地：

()

2

2y

y L L ?=

这里：()221l l l m m +>≥≥，因此：()22210l l m m l m l m +--=-+-≥

m l =±1

,2

x y L L ??≥

?? 角动量：角动量为1（1l =），()

2??,z

L L 的共同本征函数是： [1]（15分）求()

2??,x

L L 的共同本征函数，并把它们表示为111011,,Y Y Y -的线性叠加。 [2]（15分）对于10Y ，求力学量?x

L 的可能测量值及相应概率。 解：【1】作如下坐标变换：{}{},,,,,x y z y z x r r →→，则x 轴相当于z 轴，因此：

选取适当的相位因子后，()

2??,x

L L 的共同本征函数可重新写为： 【2】根据上问结果，)

101111Y φφ-=-，因此力学量?x

L 的可能测量值是±，概率均为50%。

线性谐振子：一维线性谐振子的哈密顿：222

22

p m x H m ω=+，x 与p 满足对易关系：[],x p i

=；引入算符：,Q x P p

=

=

，线性变换：)),

a Q iP a Q iP +=

+=-。计算

：

(i)

对

易

关

系

：

[],?Q P =,?a a +??=??,?a a a +??=??,?a a a ++

??=??

；(ii)将H 用,a a +表示，并求出基态能及能级的一般表达形式。

解：（1）[],Q P i =,1a a +??=??[,]a a a a +=,a a a a +++

??=-??

（2）2221222p m x H a a m ωω+??=+=+ ???，12n E n ω?

?=+ ??

?，0,1,2...n = 线性谐振子：22

222

p m x

H m ω=+。使用占有数表象，哈密顿可写为：()

?12H a a ω=+。

这里?a

是湮灭算符，?

?a 是产生算符： [1]（10分）把位置算符?x

，动量算符?p 表示为产生算符?

?a ，湮灭算符?a 的形式；