结晶学与矿物学课件-04-晶体定向与结晶符号
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《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
矿物鉴定：晶体的定向
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空 间格子的三个不共面的行列方向是一致 的.
为什么?因为空间格子中三个不共面 的行列也是根据晶体的对称性,人为地画 出来的.而晶轴也是根据晶体的对称性,人 为地选出来的.晶体的内部对称与晶体的 宏观对称是一致的,所以 晶轴与三个行列 就是一致的.
在七个晶系中，需要选择三个晶轴作为晶 体定向的有：等轴、四方、正交、单斜和 三斜晶系。
三方和六方晶系，由于它们在对称上的特 殊性，需要选择由四个晶轴组成的坐标系 对晶体定向。四个晶轴的名称和顺序为X、 Y、U和Z，其中前三个晶轴位于同一水平 面内，各晶轴正端间的夹角为γ，γ＝ 120°。
选晶轴的原则:
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这些参数就构成了三个晶轴上 的轴单位和晶轴之间的夹角.
（1）选对称轴作晶轴； （2）若对称轴的个数不足，不足之
数，由对称面的法线来充任晶轴， （3）若没有对称轴和对称面，则选
三个晶棱充当晶轴。 在遵循上述原则的基础上尽量使晶
轴夹角为90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系选 择晶轴的具体方法也不同,
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
第四章 晶体的定向与结晶符号 一、晶体定向
在晶体中选择坐标轴和确定各轴上轴
单位的比值
晶体上Байду номын сангаас设置的坐标轴，称为结晶轴
晶轴正端之间的夹角称为轴角α、β、γ
三个晶轴上的轴单位，按X、Y、Z 轴的 顺序，依次标记为a、b、c。它们代表的 实际长度，理应是晶体的格子构造中与三 个晶轴相平行的三条行列上的结点间距
空间坐标系
轴率(或称轴单位比) 结晶轴上单位长度 的比值 a：b：c
第三章晶体定向和晶面符号
Ⅱ
三方、六方为四轴定向（XYZU）
＋U
＋Y
Z轴直立
＋X
2
晶面符号
用晶轴和轴单位来表示晶面所在的空间方位，称晶面 符号。应用最广是米氏符号。
2.1
整数定律（有理指数定律） 阿羽依指出：晶体上任何晶面在结晶轴上的截距系 数之比恒为简单的整数比。 说明两个问题： ⑴ 晶面在结晶轴上的截距就是晶轴结点的整数倍； ⑵ 晶体在生长过程中，是遵守布拉维法则的（实际 出现的晶面系密度较大的面网，面网密度 出现的可能性越大） 米氏符号（米勒尔）：
轴率：用投影法求出它们的比率a :b :c
1.2 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 晶轴的选择原则 选对称轴作晶轴； 若对称轴的个数不足，由对称面的发线来补充； 若没有对称面和对称轴，则选三个晶棱充当晶轴
1.3
Ⅰ
各晶系晶体的定向方法
三轴定向的有：等轴、四方、正交、单斜、三斜（前右上）
＋Z（c）
β α ＋Y（b) X（a)＋ γ
第三章 晶体的定向和晶面符号
晶体定向：设置坐标系
晶面符号：用数学符号表示方位
1 1.1 晶体定向 选择坐标轴和确定各轴上轴单位的比值。 晶轴和晶体几何常数 晶轴：于晶体上所设置的坐标轴。 轴角：每两个晶轴正端之间的夹角。 ＝Y∧Z ＝Z∧X ＝X∧Y
轴单位：按XYZ轴的顺序，标记为ab（晶面指数）来表示，晶面指数等于 该晶面在三个晶轴上的截距系数的倒数比。
用hkl表示分别与XYZ三个轴相对应。 例：
规律：平行——指数为零。负端相交——加“－”。 四轴：形式（hkil）且h+k+i＝0
3
晶面指数与晶面方位间的关系
几点结论：见符号，解含义，想方位
① 晶面中某个指数为零时，表示该晶面与相应的晶面平行 ② 同一个晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在相应 晶轴上的截距系数越小；在轴单位相等的情况下，还表示 截距的绝对长度越短，晶体本身与该结晶轴的夹角越大 ③ 同一晶面符号，如有两个指数的绝对值相等，这两个晶轴 的轴单位也相等，则晶面与这两个晶轴以等角度相交 ④ 在同一晶体中，如有两个这样的晶面，在它们的晶面符号 之间有两组对应的指数值均相等，仅有另一组对应指数不 相等，对于不等的那一组指数
晶体教程 第五章 晶体定向与结晶符号
第五章晶体定向和结晶符号只要在生长时有足够的自由空间，晶体必然会长成由许多晶面和晶棱包围的几何多面体。
在晶体上，所有的晶面、晶棱和角顶，它们的分布都是对称的。
但除此而外，晶面和晶棱之间还有另一方面的几何关系，表现在晶面和晶棱相截或平行时，都可以用确定的数学形式来表征彼此间的空间取向关系。
为了表达这种关系，首先需要在晶体中建立起一个坐标系，这就是晶体定向。
所谓晶体定向，就是要在晶体上选择合理的三维坐标系，包括在晶体上选择坐标轴和确定各坐标轴的度量单位两项工作。
在此基础上，就可以进一步确定晶面符号和晶棱符号，用数学的方式来表示各个晶面或晶棱在晶体上的方向，并反映出它们彼此间的几何关系。
其中，平行于同一晶棱的若干晶面，特别称之为一个晶带。
而整数定律则是进行上述这些工作的依据。
在本章中，首先讨论晶体定向的原则，以便在晶体中建立起一个三维坐标系，在此基础上，分别叙述晶面符号和晶棱符号的构成。
最后，再讲述整数定律以及有关晶带的问题。
第一节结晶轴和晶体几何常数一、结晶轴的概念和选择原则⒈结晶轴的概念晶体中的坐标轴称结晶轴，简称晶轴。
晶轴是几根假想的直线，沿着与晶体对称有关的限定方向穿过理想晶体，相交在晶体中心。
⒉晶轴的选择原则晶轴的选择不是任意的。
首先，晶轴的选择要符合晶体自身的对称性，因此，要优先选择对称轴和对称面的法线方向。
若晶体无对称轴和对称面或其数目不够时，则选合适的晶棱方向，在选择晶棱做晶轴时，可以设想将其平移至晶体中心。
其次，在满足上述条件的前提下，应使晶轴尽可能互相垂直或近于垂直，并使轴单位尽可能相等，即使a=b=c α=β=γ=90°。
⒊晶轴的安置及名称三轴定向：除三方晶系、六方晶系以外的晶体，均采用X、Y、Z三轴定向。
X、Y、Z晶轴的安置是：Z轴直立，上端为正；X轴前后，前端为正；Y 轴左右，右端为正。
轴角：X、Y、Z晶轴正端之间的夹角为轴角。
分别用α（Y∧Z）、β（Z∧X）、γ（Y∧Z）表示，如图5-1。
第四章 晶体定向和晶面符号
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
5.单斜晶系
（4） 常 见 聚 形
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
五、各晶系晶体定向及常见单形符号
6.三斜晶系
⑴ 对称特点
无对称轴和对称面，共有2个对称型， 常见晶体多为C对称型。
⑵ 晶体定向
选三个近于相互垂直的晶棱方向为XYZ 轴。晶体常数特点为a≠b≠c， α≠β≠γ≠90°。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
4.晶体常数
晶体定向和晶面符号
各晶系的对称特点不同，因而选择晶轴 的方法及晶体常数的特点也不同。由于确定 晶轴和轴单位的方法和在晶体构造中划晶胞 的原则或确定平行六面体的原则一致，所以 各晶系晶体常数和格子参数完全吻合。
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
二、晶面符号
晶带定律（zone law）
任意两晶棱（晶带）相交必可决定一可能 晶面，而任意两晶面相交必可决定一可 能晶棱（晶带）
几何结晶学基础
第四章 晶体定向和晶面符号
四、晶带及晶带符号
2.晶带的表示方法—晶带符号 表示晶带的空间方位的符号称为晶带符号。 晶带符号是以晶带轴的符号来代表的，而 晶带轴的符号又与该晶带中晶棱的符号相 同，故晶带符号可以用晶棱符号代替。
几何结晶学基础
第四章
一、晶体定向
3.晶轴的摆法
晶体定向和晶面符号
x轴：前后放置，前端为正；
y轴：左右放置，右端为正；
z轴：上下放置，上端为正；
三方、六方晶系还要层增加u轴， u轴的前端为负，后端为正，x、y、 u的正端之间的交角为120定向
4.晶体常数
晶体的定向和晶面符号54页PPT
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
晶体的定向和晶面符号
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
晶体的定向和晶面符号
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
晶体定向和结晶符号
实验2. 晶体定向和结晶符号一、目的要求掌握不同晶系晶轴选择的原则，确定模型中单形的名称及其符号。
二、基本原理为了获得晶体形态的完整描述，需要确切地表示晶面在空间的相对位置。
在晶体学中，确定晶面在空间的位置是按晶体的对称特征选择坐标系，将晶体按对称特征放置于该坐标系中(晶体定向)，再以一种符号表示法表示出晶面在空间的位置。
晶体定向就是给晶体选择坐标轴(晶轴)和确定坐标轴上的轴单位。
在七个晶系中，有五个晶系（立方、四方、斜方、单斜、三斜）采用三轴定向，即选择交于晶体中心的三条直线，它们分别记为a、b、c轴(或X、Y、Z轴)。
相应b与c间轴角为α，a与c间轴角为β，a与b间轴角为γ。
三方、六方晶系一般采用四轴定向，即在ab平面上增加了一个d轴，使水平面三轴间正向的轴角形成120°，以满足该类晶系对称性的要求。
晶体放置的取向原则是要反映晶体的对称性，从晶体的外形上讲，对称轴、倒转轴、对称面的法线及晶棱是与晶体构造中的行列重合的，因此晶体与坐标轴的相对取向按对称轴、倒转轴、对称面的法线、晶棱的优先顺序作晶轴方向。
轴单位是晶轴上的单位长度。
由于所选定的晶轴都是格子构造中的行列方向，所以晶轴的轴单位就是该行列的结点间距。
a、b、c轴上的轴单位分别以a o、b o、c o表示，有时也直接用a、b、c表示，其间比率a：b：c称为轴率(或称轴单位比)。
轴率a：b：c和轴角α、β、γ合称为晶体几何常数。
在晶体定向的基础上，我们就可以确定晶体各种结晶几何参数在空间的位置。
表示这些参数在空间位置所用的符号称为结晶符号，结晶符号主要有晶面符号、晶向符号、单形符号和晶带符号。
表示晶面在空间位置的符号称为晶面符号。
晶面符号有几种，通常多采用米氏符号，又称米勒指数或晶面指数，是英国学者米勒(W．H．Miller)于1839年提出。
本实验通过在晶体模型上确定米勒指数和单形符号，达到掌握晶体定向和确切表示晶面族在空间的相对位置的方法。
第四章-1 定向与国际符号
•6．晶胞参数
（cell parameters）：
• 、、 和 a0、 b0、c0 之合称。
• 可表征晶胞
的形状及大小。
二、晶轴的选择原则
晶轴选择的基本原则：
1）必须符合晶体所固有的对称性；
2）应尽可能使所选晶轴彼此垂直、 轴角相等，即 尽可能使
= = = 90，a=b=c
具体地： ⑴ 优先选 Ln 或 Lin为晶轴；
全面符号（ 一般符号 ）、 国际符号、
圣佛利斯符号。
对称型 符号 种类
全面 符号
初学者
国 际 符 号
现代文献
圣佛利斯 符号
应用
早期文献
特点
只列出基础的 只表明 对称要素。 展示全部 对称要素 反映对称要素 对称要素 的组合 的空间分布方位
及其组合。
注： 1）对称型之全面符号的特点：
⑴ 全部对称要素一目了然，明白
对称要素符号，严格地按一定 顺序排列而构成的。
即 在某一方位上列出的对称要素 就是 在这个位代表的方向上出现 的对称要素。
具体地，在某一方向上列出： 1）对称轴（ Ln 或 Lin ），是指 平行 此方向的对称轴； 2）P ，是指 垂直此方向的 P ； 3）同时出现Ln和P，可在相应的位上， 把 平行于该方向的 Ln 的 轴次（ n ） 写成分数的分子，将垂直于该方向的 对称面（m）写成分母，即 n/m 。 e.g.： 2/m、4/m、6/m
＝＝＝90， a＝b＝c ＝＝＝90， a＝b≠c
等轴 四方
三方
、
六方
＝＝90， ＝120， a＝b≠c
＝＝＝90， a≠b≠c ＝＝90， ＞ 90， a≠b≠c ≠≠≠90， a≠b≠c
斜方 单斜 三斜
结晶学与矿物学-晶体的宏观对称性与晶体定向
L2
2 180o
L3
3 120o
L4
4
90o
L6
6
60o
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
• 4．旋转反伸轴(rotoinversion axis)（Lin） • 过晶体几何中心的一假想直线。
• 辅助几何要素：一根假想的直线
及此直线上的一个定点。
• 对称操作： 旋转＋反伸
• 特点：晶体围绕该直线旋转一定的角度， 并对该直线上的一个定点进行反伸， 可使晶体上的相同部分相互重合。
• 2）根据高次轴的有无及个数，
将晶体划分为3个晶族(crystal category)：
• ➊ 低级晶族(lower category)：无高次轴
• ➋ 中级晶族(intermediate category)： 只有1个高次轴
• ➌ 高级晶族(higher category)： 有多个(≥4个)高次轴
在进行对称操作时所凭借的一些 假想的几何要素——点、线、面。
晶体外形上可能存在的对称要素 主要有：P、C、Ln、Lin、Lsn。
1．对称面(symmetry plane)（P）
过晶体几何中心的一假想平面。 对称操作：对此平面的反映
特点：P将晶体平分为互成 镜像关系的2个相等部分。
2．对称中心(center of symmetry)（C）
•
Lin (Li4除外)与简单对称要素或其组合
的等效关系：
• Li1 ＝L1 ＋C ＝C ；
• Li2 ＝ L1 ＋ P⊥＝ P (P⊥Li2)；
• Li3 ＝L3 ＋C
(L3∥Li3)；
• Li6 ＝L3 ＋P⊥
(L3∥Li6，P⊥L3)
第四章：晶体定向与结晶符号
(1).晶面指数——在米氏符号中小 括号内数字称为晶面指数。如晶面符 号（321）中 的321即为晶面指数。 注意：晶面指数是一组无公约数的 整数。
(2).晶面指数特点——均为简单整 数（整数定律或有理数定律）。
4.晶面指数写法 ⑴.三轴定向的晶系 对三轴定向的晶系而言：晶面 指数按X、Y、Z轴的顺序排列。 如果能确定具体数字时，用阿 拉伯数字表示，如果不能确定具 体数字时，用h、k、l表示。 如:（110）（hkl）（hko）
即尽可能使： α=β=γ= 90° a=b=c。
（2）确定晶体常数
晶体常数 轴角 轴角是指晶轴 正端的夹角。通 常用α、β、γ表 示。
α（y∧z） γ（x∧y） β（z∧x）
β x
z α γ y
晶体常数 轴长
晶轴与空间格子中的行列相 对应，行列上结点的间距称为轴 单位（轴长）。 轴单位是结晶轴长度计量的 单位。即：a、b、c。
3.各晶系晶轴选择的原则及 晶体常数特征
（1）等轴晶系
（2）四方晶系
（3）三方晶系及六方晶系
（4）斜方晶系
（5）单斜晶系
（6）三斜晶系
二 结晶符号
1.晶面符号的概念
晶面符号——表征晶面空间方位 的符号。
晶面符号有多种形式，通常采用的是米 氏符号（英国的米勒于1839年创立） 。
2.米氏符号的表示方法 晶面在三个（或四个）结 晶轴上的截距系数的倒数比， 并去掉比例符号，用小括号括 之来表示。
⑵四轴定向的晶系
对四轴定向的晶体而言： 晶面指数按X、Y、U、Z轴顺
序排列，一般写作（hkil）。
注意:
①米氏符号中某个数为0时，表 示该晶面与相应的晶轴平行。 ②同一米氏符号中，晶面指数越 大，表示晶面在相应结晶轴上的截 距系数越小。
(2).晶面指数特点——均为简单整 数（整数定律或有理数定律）。
4.晶面指数写法 ⑴.三轴定向的晶系 对三轴定向的晶系而言：晶面 指数按X、Y、Z轴的顺序排列。 如果能确定具体数字时，用阿 拉伯数字表示，如果不能确定具 体数字时，用h、k、l表示。 如:（110）（hkl）（hko）
即尽可能使： α=β=γ= 90° a=b=c。
（2）确定晶体常数
晶体常数 轴角 轴角是指晶轴 正端的夹角。通 常用α、β、γ表 示。
α（y∧z） γ（x∧y） β（z∧x）
β x
z α γ y
晶体常数 轴长
晶轴与空间格子中的行列相 对应，行列上结点的间距称为轴 单位（轴长）。 轴单位是结晶轴长度计量的 单位。即：a、b、c。
3.各晶系晶轴选择的原则及 晶体常数特征
（1）等轴晶系
（2）四方晶系
（3）三方晶系及六方晶系
（4）斜方晶系
（5）单斜晶系
（6）三斜晶系
二 结晶符号
1.晶面符号的概念
晶面符号——表征晶面空间方位 的符号。
晶面符号有多种形式，通常采用的是米 氏符号（英国的米勒于1839年创立） 。
2.米氏符号的表示方法 晶面在三个（或四个）结 晶轴上的截距系数的倒数比， 并去掉比例符号，用小括号括 之来表示。
⑵四轴定向的晶系
对四轴定向的晶体而言： 晶面指数按X、Y、U、Z轴顺
序排列，一般写作（hkil）。
注意:
①米氏符号中某个数为0时，表 示该晶面与相应的晶轴平行。 ②同一米氏符号中，晶面指数越 大，表示晶面在相应结晶轴上的截 距系数越小。
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5-6. 晶带符号和晶带定律
晶带定律 (zone law)
任意晶棱（晶带）相交必可决定一可能晶面，而任意两个晶面 相交必可决定一个可能晶棱（晶带）。
任一属于[r s t]晶带的晶面(h k l)，必定有： hr+ks+lt=0---晶带方程
简单的证明
过坐标原点而平行于(h k l)平面的方程为： hx+ky+lz=0
米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面在晶体 上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值
等于该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比。
如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内, 表达
为(h k l), 便构成了晶面的米氏符号。
c
h:k:l ＝ a/OX:b/OY:c/OZ
Z
晶轴有正负方向
晶面指数(米氏指数): 取h : k : l的最简单整数比, 此时 的h, k, l就称为晶面指数;
14
第五章 晶体定向及结晶符号
5-3. 晶面符号
c Z
OY b
晶面符号的确定:
X
a
晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴a轴、b轴、c轴
上的截距依次为OX、OY、OZ, 已知轴率为a∶b∶c，则
切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
应用一： 求含晶面(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)的晶带[r s t]
h1r+k1s+1lt=0 h2r+k2s+l2t=0
28
第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
h1
k1
l1
h1
k1
l1
h2
k2
l2
h2
k2
l2
求有晶面（100）和（010）决定的晶带
0 10
01 0
0 01
0 01
30
求出晶面符号为：（100）
第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
应用三： 已知晶面(hkl)和(mnp)在同一晶带，求位于此 晶带中两个晶面之中的另一个晶面。
可以导出：第三个晶面的晶面指数应该为： （h+m k+n l+p)
31
第五章 晶体定向及结晶符号
5.7.对称型(点群)的国际符号
国际符号是一套简明的、国际通用的符号，它表明了对称要 素的组合和方位。
最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m…… 了解不同位之间的关系 32种点群的国际符号
参见教材: P36 表4-4 P38 图4-5
32
第五章 晶体定向及结晶符号
5.7. 对称型(点群)的国际符号 参见教材: P42 表5-2
33
第四章 晶体的宏观对称
5.7 对称型符号
习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号mLnmPC(n-
21
第五章 晶体定向及结晶符号
5-5. 晶棱符号
棱符号是用简单的数字符号形式，来表达晶棱 或其他直线(如结晶轴等)在晶体上之方向的一种 结晶学符号
晶棱符号只涉及方向, 不涉及具体位置 表达为[r s t], r : s : t = OX/a : OY/b : OZ/c 晶棱符号与晶面符号之间的关系
1
第五章 晶体定向及结晶符号
5-1. 晶体定向的概念
晶体定向(crystal orientating):
在晶体中选定一个三维的坐标系，并将晶体按相应的空 间取向关系作好安置
几个基本术语:
结晶轴 (crystallographic axis): X、Y、Z, 或 a、b、c 轴角 (interaxial angle):α=bΛc，β=cΛa，γ=aΛb 轴单位 (axial unit distance)：a, b, c 轴率 (axial ratios): a:b:c 晶体几何常数 (crystal constants): a:b:c, α,β,γ
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直c轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即a轴、b轴以及d轴(U轴) 共有12个点群: 晶格常数为: α=β= 90°, γ=120°, a = b ≠ c c轴直立，b轴左右水平，a轴前后水平偏左30°
该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分别为:
p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c
其倒数比: 1/p:1/q:1/r = h : k : l
晶面指数(米氏指数): 取h : k : l的最简单整数比, 此时 的h, k, l就称为晶面指数;
15
第五章 晶体定向及结晶符号
5-3. 晶面符号
5-2. 2 各晶系的定向法则
三斜晶系的定向:
共有2个点群: 1, -1 晶格常数为: α ≠ β ≠ γ ≠ 90 °, a ≠ b ≠ c 适当的晶棱为a, b, c轴 大致上c轴直立，b轴左右，a轴前后
9
第五章 晶体定向及结晶符号
5-2. 2 各晶系的定向法则
三方和六方晶系的四轴定向:
参见教材P44－表4－1
4
第五章 晶体定向及结晶符号
5-2. 2 各晶系的定向法则
等轴晶系的定向:
Z
Y X
共有5个点群: 23, 432, m3, -43m, m3m 晶格常数为: α=β=γ=90°, a = b = c 三个互相垂直的L4, Li4或L2为a, b, c轴 c轴直立，b轴左右水平，a轴前后水平
如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐 标轴，则晶体上任意二晶面在三个坐标轴上 所截截距的比值之比为一简单整数比
19
第五章 晶体定向及结晶符号
5-4. 整数定律
bo
y
ao
(010)
对于实际晶体
而言，h:k:l
不仅可以化为
整数比，而且 可以化为简单 的整数比。
x
20
第五章 晶体定向及结晶符号
5-4. 整数定律 小结 :
结晶学与矿物学
第五章 晶体定向及结晶符号 crystal orientating & crystallographic symbols
5-1. 晶体定向的概念 5-2. 晶体定向的原则 5-3. 晶面符号 5-4. 整数定律 5-5. 晶棱符号 5-6. 晶带定律和晶带符号 5-7. 对称型的国际符号
MF/c
[u v w] = [u v w]
此例：[u v w] = [1 2 3]
23
第五章 晶体定向及结晶符号
5-5. 晶棱符号
24
第五章 晶体定向及结晶符号
5-5. 晶棱符号
四轴定向时的晶棱符号
以[r s m t]的形式表达
Z
U
90O
Y
X
25
第五章 晶体定向及结晶符号
5-6. 晶带符号和晶带定律
因(h k l)晶面属于[r s t]晶带, 故直线[r s t]上的任一点均满足平面 方程, 即用r, s, t替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程
27
第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
晶带定律的应用
1 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号 2 求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号 3 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 4 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体上一
OY b
晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交 X
考察若干模型晶体定向及结晶符号
5-3. 晶面符号
17
18
第五章 晶体定向及结晶符号
5-4. 整数定律
整数定律 (law of whole numbers) 有理指数定律 (law of rational indices) 阿羽依定律 (law of Hauy) 晶面在晶轴上的结距系数之比为简单整数比
晶带 (zone)
彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合
晶带轴 (zone axis)
用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面， 也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向
晶带符号 (zone symbol)
在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示
26
第五章 晶体定向及结晶符号
Z
-X -y
y X
2.在遵循上述原则的基础上使结晶轴夹角为
-Z
90°或尽量接近90 °
3
第五章 晶体定向及结晶符号
5-2. 1 各晶系的定向法则
晶体的三轴定向: 选择三个坐标轴: X, Y, Z 或者 a, b, c
晶体的四轴定向: 就是布拉维定向(Bravais’ orientation), 适用于六方 晶系和三方晶系的晶体。它与三轴定向的不同是, 除选择一个直立结晶轴外，还选择三个水平结晶 轴。
1 00 0 10
10 0 010
求出晶带符号为： [001]
29
第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
应用二： 求晶带 [rst] 和 (uvw) 决定的晶面 (hkl)
hr+ks+1t=0
hu+kv+lw=0
r st
rs
t
uvw uv w
如：求由晶带[010]和[001]决定的晶面
5-3. 晶面符号
晶面符号的确定:
晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴a轴、b轴、c轴 上的截距依次为OX、OY、OZ, 已知轴率为a∶b∶c，则 该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分别为: p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比: 1/p:1/q:1/r = h : k : l
6
第五章 晶体定向及结晶符号
晶带定律 (zone law)
任意晶棱（晶带）相交必可决定一可能晶面，而任意两个晶面 相交必可决定一个可能晶棱（晶带）。
任一属于[r s t]晶带的晶面(h k l)，必定有： hr+ks+lt=0---晶带方程
简单的证明
过坐标原点而平行于(h k l)平面的方程为： hx+ky+lz=0
米氏指数(Miller indices)是指：用来表达晶面在晶体 上之方向的一组无公约数的整数，它们的具体数值
等于该晶面在结晶轴上所截截距系数的倒数比。
如果将米氏指数按顺序连写，并置于园括号内, 表达
为(h k l), 便构成了晶面的米氏符号。
c
h:k:l ＝ a/OX:b/OY:c/OZ
Z
晶轴有正负方向
晶面指数(米氏指数): 取h : k : l的最简单整数比, 此时 的h, k, l就称为晶面指数;
14
第五章 晶体定向及结晶符号
5-3. 晶面符号
c Z
OY b
晶面符号的确定:
X
a
晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴a轴、b轴、c轴
上的截距依次为OX、OY、OZ, 已知轴率为a∶b∶c，则
切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
应用一： 求含晶面(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)的晶带[r s t]
h1r+k1s+1lt=0 h2r+k2s+l2t=0
28
第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
h1
k1
l1
h1
k1
l1
h2
k2
l2
h2
k2
l2
求有晶面（100）和（010）决定的晶带
0 10
01 0
0 01
0 01
30
求出晶面符号为：（100）
第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
应用三： 已知晶面(hkl)和(mnp)在同一晶带，求位于此 晶带中两个晶面之中的另一个晶面。
可以导出：第三个晶面的晶面指数应该为： （h+m k+n l+p)
31
第五章 晶体定向及结晶符号
5.7.对称型(点群)的国际符号
国际符号是一套简明的、国际通用的符号，它表明了对称要 素的组合和方位。
最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m…… 了解不同位之间的关系 32种点群的国际符号
参见教材: P36 表4-4 P38 图4-5
32
第五章 晶体定向及结晶符号
5.7. 对称型(点群)的国际符号 参见教材: P42 表5-2
33
第四章 晶体的宏观对称
5.7 对称型符号
习惯符号 按一定的顺序表示出晶体所有对称要素的符号mLnmPC(n-
21
第五章 晶体定向及结晶符号
5-5. 晶棱符号
棱符号是用简单的数字符号形式，来表达晶棱 或其他直线(如结晶轴等)在晶体上之方向的一种 结晶学符号
晶棱符号只涉及方向, 不涉及具体位置 表达为[r s t], r : s : t = OX/a : OY/b : OZ/c 晶棱符号与晶面符号之间的关系
1
第五章 晶体定向及结晶符号
5-1. 晶体定向的概念
晶体定向(crystal orientating):
在晶体中选定一个三维的坐标系，并将晶体按相应的空 间取向关系作好安置
几个基本术语:
结晶轴 (crystallographic axis): X、Y、Z, 或 a、b、c 轴角 (interaxial angle):α=bΛc，β=cΛa，γ=aΛb 轴单位 (axial unit distance)：a, b, c 轴率 (axial ratios): a:b:c 晶体几何常数 (crystal constants): a:b:c, α,β,γ
选择唯一的高次轴作为直立结晶轴c轴，在垂直c轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即a轴、b轴以及d轴(U轴) 共有12个点群: 晶格常数为: α=β= 90°, γ=120°, a = b ≠ c c轴直立，b轴左右水平，a轴前后水平偏左30°
该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分别为:
p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c
其倒数比: 1/p:1/q:1/r = h : k : l
晶面指数(米氏指数): 取h : k : l的最简单整数比, 此时 的h, k, l就称为晶面指数;
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-3. 晶面符号
5-2. 2 各晶系的定向法则
三斜晶系的定向:
共有2个点群: 1, -1 晶格常数为: α ≠ β ≠ γ ≠ 90 °, a ≠ b ≠ c 适当的晶棱为a, b, c轴 大致上c轴直立，b轴左右，a轴前后
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-2. 2 各晶系的定向法则
三方和六方晶系的四轴定向:
参见教材P44－表4－1
4
第五章 晶体定向及结晶符号
5-2. 2 各晶系的定向法则
等轴晶系的定向:
Z
Y X
共有5个点群: 23, 432, m3, -43m, m3m 晶格常数为: α=β=γ=90°, a = b = c 三个互相垂直的L4, Li4或L2为a, b, c轴 c轴直立，b轴左右水平，a轴前后水平
如果以平行于三根不共面晶棱的直线作为坐 标轴，则晶体上任意二晶面在三个坐标轴上 所截截距的比值之比为一简单整数比
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-4. 整数定律
bo
y
ao
(010)
对于实际晶体
而言，h:k:l
不仅可以化为
整数比，而且 可以化为简单 的整数比。
x
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-4. 整数定律 小结 :
结晶学与矿物学
第五章 晶体定向及结晶符号 crystal orientating & crystallographic symbols
5-1. 晶体定向的概念 5-2. 晶体定向的原则 5-3. 晶面符号 5-4. 整数定律 5-5. 晶棱符号 5-6. 晶带定律和晶带符号 5-7. 对称型的国际符号
MF/c
[u v w] = [u v w]
此例：[u v w] = [1 2 3]
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-5. 晶棱符号
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-5. 晶棱符号
四轴定向时的晶棱符号
以[r s m t]的形式表达
Z
U
90O
Y
X
25
第五章 晶体定向及结晶符号
5-6. 晶带符号和晶带定律
因(h k l)晶面属于[r s t]晶带, 故直线[r s t]上的任一点均满足平面 方程, 即用r, s, t替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程
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第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
晶带定律的应用
1 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号 2 求同时属于某二已知晶带的该晶面之晶面符号 3 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 4 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体上一
OY b
晶面可与晶轴垂直, 平行或斜交 X
考察若干模型晶体定向及结晶符号
5-3. 晶面符号
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第五章 晶体定向及结晶符号
5-4. 整数定律
整数定律 (law of whole numbers) 有理指数定律 (law of rational indices) 阿羽依定律 (law of Hauy) 晶面在晶轴上的结距系数之比为简单整数比
晶带 (zone)
彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合
晶带轴 (zone axis)
用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面， 也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向
晶带符号 (zone symbol)
在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示
26
第五章 晶体定向及结晶符号
Z
-X -y
y X
2.在遵循上述原则的基础上使结晶轴夹角为
-Z
90°或尽量接近90 °
3
第五章 晶体定向及结晶符号
5-2. 1 各晶系的定向法则
晶体的三轴定向: 选择三个坐标轴: X, Y, Z 或者 a, b, c
晶体的四轴定向: 就是布拉维定向(Bravais’ orientation), 适用于六方 晶系和三方晶系的晶体。它与三轴定向的不同是, 除选择一个直立结晶轴外，还选择三个水平结晶 轴。
1 00 0 10
10 0 010
求出晶带符号为： [001]
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第五章 晶体定向及结晶符号
5.6. 晶带符号和晶带定律
应用二： 求晶带 [rst] 和 (uvw) 决定的晶面 (hkl)
hr+ks+1t=0
hu+kv+lw=0
r st
rs
t
uvw uv w
如：求由晶带[010]和[001]决定的晶面
5-3. 晶面符号
晶面符号的确定:
晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴a轴、b轴、c轴 上的截距依次为OX、OY、OZ, 已知轴率为a∶b∶c，则 该晶面在晶轴上的截距系数p, q, r分别为: p = OX/a, q = OY/b, r = OZ/c 其倒数比: 1/p:1/q:1/r = h : k : l
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第五章 晶体定向及结晶符号