利息理论实验
利息理论课件012 金融课件
-20
30
依题意知:
A0 100, A1 120, I 120 (100 20 30) 10 解法1:
假设收益率为i,则根据题意可以建立下述方程:
9
4
100(1+i)-20(1+i)12 30(1 i)12 120
解此方程可得精确的收益率i 10.54%
解法二:公式应用计算:
i A0
三、例题:如果期初投资20万元,可以在今后的5年内每年 末获得5万元的收入.假设投资者A所要求的年收益率为7%, 投资者B所要求的年收益率为8%.试通过净现值法和收益 率法分别分析投资者A和B的投资决策.
(1)该投资项目的净现值为(-20+5a5 ),若按投资者A所要求 的收益率7%计算,净现值为0.5万元,净现值大于0,所以投 资者A应该投资.若按投资者B所要求的利率8%计算,净现 值为-0.036万元,净现值略小于零,所以投资者B可能拒绝投 资.
分析:该题的资金净流入可列示如下:
时间: 0
1
2
净流入: -1000 2150 -1150
解: 假设收益率为i,则根据题意可 建立下述方程 : 1000 2150(1 i)1 1150(1 i)2 0 上述方程两边同时乘以(1+i)2,变形可得: 5[20(1+i)-21][10(1+i)-11]=0 20(1+i)-21=0 10(1+i)-11=0 i 5%或者i 10%
(2)如果令净现值等于零,即-20+5a5 =0,则可以计算出该项 目的收益率为7.93%,它大于投资者A所要求的收益率,而小 于投资者B所要求的收益率,所以可以得到与前面相同的结 论.
四、收益率惟一性的条件
利息理论
理论基础：定义：利息，从其形态上看，是货币所有者因为发出货币资金而从借款者手中获得的报酬；从另一方面看，它是借贷者使用货币资金必须支付的代价。
利息实质上是利润的一部分，是利润的特殊转化形式。
解释：1.因存款、放款而得到的本金以外的钱（区别于‘本金’）。
2.利息（interest）抽象点说就是指货币资金在向实体经济部门注入并回流时所带来的增值额。
利息讲得不那么抽象点来说一般就是指借款人(债务人)因使用借入货币或资本而支付给贷款人(债权人)的报酬。
又称子金，母金(本金)的对称。
利息的计算公式为：利息=本金×利率×存款期限（也就是时间）。
概念的界定：利息(Interest)是资金所有者由于借出资金而取得的报酬，它来自生产者使用该笔资金发挥营运职能而形成的利润的一部分。
是指货币资金在向实体经济部门注入并回流时所带来的增值额，其计算公式是：利息=本金×利率×时间x100%马克思政治经济学观点：马克思主义认为利息实质是利润的一部分，是剩余价值的转化形式。
货币本身并不能创造货币，不会自行增值，只有当职能资本家用货币购买到生产资料和劳动力，才能在生产过程中通过雇佣工人的劳动，创造出剩余价值。
而货币资本家凭借对资本的所有权，与职能资本家共同瓜分剩余价值。
因此，资本所有权与资本使用权的分离是利息产生的内在前提。
而由于再生产过程的特点，导致资金盈余和资金短缺者的共同存在，是利息产生的外在条件。
当货币被资本家占有，用来充当剥削雇佣工人的剩余价值的手段时，它就成为资本。
货币执行资本的职能，获得一种追加的使用价值，即生产平均利润的能力。
所有资本家追求剩余价值的利益驱使，利润又转化为平均利润。
平均利润分割成利息和企业主收入，分别归不同的资本家所占有。
因此，利息在本质上与利润一样，是剩余价值的转化形式，反映了借贷资本家和职能资本家共同剥削工人的关系。
西方经济学观点：实质利息理论是实际节制的报酬和实际资质利息理论在利息研究领域一直居于主导地位。
利息理论课件09 金融课件
i 1.036 1 0.49386% 假设每月末的付款金额为X ,则有 50000=Xa60 0.0049386 X 50000 a60 0.0049386 965(元)
二、方法二
n表示总的利息结转次数.
m表示每个利息结转周期包含的支付次数.
nm表示年金的支付次数.
年金支付周期(nm) 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m
e15 e10 2e5 2 0
(e5 1)(e10 2) 0
而e5 1意味着利息力为0,
e10 2
ln 2 0.06931
10
练习: 对于某个n值,已知an n 4, 10%,
计算
n
0 at
dt
( A)0.4
(B)4
(C)40
(D)400
(E)4000
解 :
利息结转周期(n)
1 n-1
n
1 期末付年金现值
a(m) n
1
1
(v m
m
2
vm
n 1
... v m
vn )
1
n 1
1 vm v m
m
1
1 vm
1 vn
1
m[(1 i) m 1]
1 vn i(m)
i i(m)
an
2 期末付年金终值
注意 : (1)i (1) i, d (1) d
付款 1 元的永续年金的现值可表示为: m
a(m)
lim
n
a(m) n
lim
n
d d (m)
an
1 d (m)
1
(3)a ( m )
(1
i) m
利息理论1
[
k −1
]i
n
A(n ) − A(0 ) = A(0 )(1 + i ) − 1
[
]
3.单利与复利的比较 A.设年有效利率不变，虽然单利与复利对 单 个度量 时期 会产生 同 样 的 结果 ， 但对较 长 时期，复利 比 单利 产生较大 的积累值， 而对较短时期来说，情况正好相反。
(1 + i )t (1 + it )
利息理论
知识回顾
• • • • 什么是利息 影响利息的因素 支付利息的方式 计算利息的方法
接下来考察一下不同支付方式和计息方法 下的利息和利息率。
a(t ) 表示时刻0时的1单位 定义2.1（积累函数） 货币到时刻 t时的积累值。 a(t ) 具有如下几点性质： （1） a(0) = 1 ； （2）通常是增函数。
− δ ( s )ds
t
− ∫0 δ ( s )ds − 0.09 t e e = (0 ≤ t < 5) 5 t δ δ ( s )ds s d s − − ( ) ∫0 ∫ 5 v(t ) = e = e −0.05−0.08t (5 ≤ t < 10) t − 5δ ( s )ds − 10 δ s ds − ( ) ∫5 ∫10 δ ( s )ds = e −0.15−0.07t (10 ≤ t ) e ∫0
ih =
e
∫t
h +t
δ ( s )ds
−1
h
δ ( s )ds ∫ 0 A(t ) = A(0)e
t
2.5积累因子和贴现因子
δ ( s ) ds ∫ 0 称 e 为积累因子。即原始投资1到时刻t
t
时的值为 e ∫ δ ( s )ds. 时刻t时的资本值为1，可知在时刻0时需投资 − ∫ δ ( s )ds 才能保证在时刻t时资本额为1．我们称 − ∫ δ ( s )ds e e 为贴现因子，以v(t ) 记之.
利息理论——第一章1.1
利息的基本概念
在给出利息的几种基本度量方式前，先引入几 个基本概念。 本金（Principal）：我们把每项业务开始时投资 的初始金额称为本金，常用P表示。 积累值（Accumulated Value）：把业务开始一 定时间后回收的资金总额称为该时刻的积累值 （或终值）。 显然，积累值与本金的差额就是这一时期的利息 金额。
积累函数
这里，我们假定，一旦给定了本金金额，则 在任何时刻的积累值均可确定，并假定在投 资期间不再加入或抽回本金。也就是说，该 投资在数额上的任何变化全部是由于利息的 影响而造成的。当然，以后将放松这一假设 而允许在投资旗舰加入或抽回本金。
很显然，在上述假设下，决定积累值的两个 最主要的因素就是本金金额和从投资日算起 的时间长度。理论上，时间长度可以用许多 不同的单位来度量。例如，日、周、月、季、 半年、一年等。用来度量时间的单位称为 “度量期”或“期”（可以等同于我们之前 讲过的计息期），最长用的期是年。以后各 章除非另外声明，均可认为一个度量期为一 年。
n
A(n 1)
A(n 1)
显然，(1.1.3)和(1.1.4a)式中的i记为i 更合适。
1
例3 某人到银行存入1 000元，第一年末他存折上的余额为 1 050元，第二年末他存折上的余额为1 100元，问：第一年、 第二年的实际利率分别是多少？ 解： 显然，A(0)=1 000，A(1)=1 050，A(2)=1 100 因此，I1=A(1) － A(0)=50(元) I2=A(2) － A(1)=50(元) I1 50 i1 5% A(0) 1000 I2 50 i2 4.762% A(1) 1050 故，第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%。
利息理论课件16 金融课件
变动偿还系列
n
L vk R K K 1
例题：某借款人年初贷款，利率为5%，贷款期限为10 年，首年还款额为2000元，第二年末为1900元，依次 类推，第10年末还款额为1100元，计算（1）贷款本金; （2）第5次还款中的本金部分和利息部分。
解：(1)贷款本金为：
L 1000a 100(Da) 1000(7.72173) 10010 7.72173
10
10
0.05
12278.27(元）
(2)R5 2000 (5 1)100 1600
B4P
1000a 6
100(Da) 6
I5
iB4P
1000(1
v6
)
100(6
a 6
)
1000(1 0.74622) 100(6 5.0757)
346.21(元）
P5 R5 I5 1600 346.21 1253.79(元）
V1( 4 )
2000a 5
(1.1)1
1 v5 2000
(1.1)1
7231.48(元）
这部分本金在第5年产生的利息为：
7231.48 0.1=723.15(元）
另一部分是第5年偿还的现值，这一部分在第5年内随时间推移而变化：
V2 ( 4 )
1000a 1t
这部分贷款余额在第5年内产生的利息为：
a (1.05)1 0.05 0.024 16
同理：第10年内还款额1元中的利息部分为：
a (1.05)1 0.05 0.024 15
第6年至第10年的利息支出额为：
（a a a a a ） (1.05)1 0.05 0.024 5
19181716源自155－v14 a
利息理论
例1-2：单利、复利计息投资差异
• 假设年实际利率等于5%，初始时刻本金为100 元，投资期限为5年，分别用单利和复利来计 算这笔投资在各个年末的积累值、各年的利 息和实际利率。
i
单利
初始 1 2 3 4 5
At
复利 单利
100.00 100.00 0.00 105.00 105.00 5.00 110.00 110.25 5.00 115.00 115.76 5.00 120.00 121.55 5.00 125.00 127.63 5.00
• • •
贴现：
应该将来支付的金额提前到现在支付的经济行为叫贴现。
贴现额：
贴现时应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。
贴现与利息的区别与联系：
分析视点不同，利息是本金基础上的增加额，贴现是累积额基础上的减 少额。 但是，在同时段内，贴现额与利息额的数值是相等的。 同时段的贴现额 = 同时段的利息额
贴现率表示单位货币在单位时间内的贴现额。 称为折现因子，且 v 1 d
贴现率与利息率之间的关系
1 i d 1 1 i 1 i d i 1 d
i
1
1 i d
(1 i ) 1 i d 1 i 1 i 1 (1 d ) d i 1 d 1 dm 的递减函数
2 0.05975 4 6 8 10
m 12
0.06125
0.0595
0.061
0.05925
0.06075
0.059
0.0605
0.05875
0.06025
0.0585
2
4
6
8
10
m
12
i (m)
• 如果 1 年内贴现 1 次，贴现率用 d 表示，
2021年利息理论课件(15)01-pptx
课堂练习：某贷款为期35年，分期均衡偿还，每 年末还款一次，第8次还款中的利息部分为135元， 第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还 款中的利息部分。
A.70
B.71
C.72
D.73
E.74
解 : p(1− v35−8+1) = 135(1)
p(1− v35−22+1) = 108(2)
= 128322.58 − 62887.74
= 65434.84(元)
(2)未来法
B5p0
=
100000 a120
.a70
= 65434.84
例题：若借款人每年还款1000元，共20次。在第 5次还款时，他决定将手头多余的2000元也作为 偿还款，然后将剩余贷款期调整为12年，若利率 为9%，计算调整后每年的还款额。
a24
18.9139
丙购买这一收回债务的权利的价格为：
528.71 a16 =528.7113.055=6902.31(元) 后4年甲的偿款总额为：
16 528.71=8459.36(元)
丙所得利息为：
8459.36 − 6902.31=1557.05(元)
乙在出卖收款权时的贷款余额为： 528.71 a16 =7178.67(元) 甲在头两年还款总额为：8 528.71=4229.68(元) 其中还款本金为：10000 − 7178.67=2821.33(元) 因此，头两年还款中的利息为： 4229.68 − 2821.33=1408.35(元) 乙在出售债权时损失： 7178.67 − 6902.31=276.36(元) 乙所得利息为： 1408.35-276.36=1131.99(元)
款额为1，则贷款额为：an / sk
保险精算 利息理论解析
1.1实际利率和实际贴现率
习题：1. 已知：A(t)=2t+ t +5 ，求: （ 1 ） I 3, （ 2 ） i 4
解：
（1）I3=A(3)-A(2)=2+ 3 2 （2）i4=I4/A(3)=0.178
1.1实际利率和实际贴现率
2.若A(3)=100，in=0.01n，求：I5=? 解： I5/A(4)=i5=0.05 I5=0.05A(4) [A(4)-A(3)]/A(3)=i4=0.04， A(3)=100 A(4)=104 因此，I5=0.05A(4)=5.2
(2)当0 t 1 时, 有1 it (1 i )t 当t=1 时, 有1 it (1 i )t 当t 1 时, 有1 it (1 i )t
a (t )
复利 单利
(0,1)
(1.1+i) t
1
■
单利与复利的比较 从积累函数看 1、单个度量期（t=1）: 1+it=(1+i)t 结果相同 2、较长时期（t>1）: (1+i)t>1+it 复利产生更大积累值 3、较短时期（t<1）: (1+i)t<1+it 单利产生更大积累值
1、利息理论
吴睿
学习目标
认识利息 掌握计息方法
实际利率和实际贴现率 名义利率和名义贴现率 利息强度
利息 I (interest) 借贷关系中借 款人 （borrower) 为取得资金使 用权而支付给 贷款人的 （lender）报 酬(不必为货币，不一
定同类)
本质
资本经过一定时间的投资活动 后产生的价值增值 利息可以理解为租金的一种形 式
计算式 本利和 A(t)=P+P × i+ P(1+i) ×i+P(1+i) (1+i) × i+……
利息理论2
定义1：i
(m)
称为m( m ≥ 1)换算名义利率或挂牌利 率。
利率换算（计息） 即在标准的度量期内依 利率换算（计息） m次， i(m) . 每个换算期内的实际利 率为 m
例：i ( 4 ) = 4% 季换算名义利率）表 示： （季换算名义利率）
每个季度结算一次利息 ，且每个季度的实际利 率为1%
对于等价的利率 i和贴现率 d有如下的关系式
d (1) i = 1− d
i ( 2) d = 1+ i
(1)与 练：求 (1)与年利率6%等价的年贴现率 5.66% (2)与 6%等 (2)与年贴现率6%等价的年利率 6.38%
例：若现有面额为 100 元的零息债券在到期前 一年的 同时， 时刻价值为 95元，同时，短期一年储 蓄利率为 5.25％。 如何进行投资选择？ 如何进行投资选择？
存一年的定期
10000(1+2.25%) = 225元
存一个一年定期更合算。 存一个一年定期更合算。
定义 2：m( m ≥ 1)个度量期中支付一次利 息， i
( 1 ) m
挂牌利率。 表示此时的名义利率或 挂牌利率。
( 1 ) m
每个换算期内的实际利 率为i
例： i
1 ( ) 2
× m.
= 3% 每两年换算名义利率 ）表示： （ 表示：
−12
12
3、 、
i d 1 + = 1 − 4 12 0.06 −3 (4) ⇒ i = 4 1 − − 1 = 6.0605% 12
(12)
金融机构最新人民币贷款基准利率调整表 金融机构最新人民币贷款基准利率调整表 贷款 单位:年利率%
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实验1：单利和复利的比较
实验目的：通过实际数据，比较相同时间内单利计息方式和复利计息方式的异
同点
实验内容：设年利率为10%，（1）分别给出1年内（按月）单利和复利下的累
积值和10年内（按年）单利和复利方式下的累积值。
画出两种情况下的累积函
数图形，并对图形加以说明。
解：比较两种方式下的累计值
（1）按月计算累积值
其中按月实际利率i=10%/12=0.0083
在单利方式下，有
a(t)=1+0.0083t , t≥0；
在复利方式下，有
a(t)=(1+0.0083)^t , t≥0
t/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a(t)(单利方式) 1.0083 1.0167 1.0250 1.0333 1.0417 1.0500 1.0583 1.0667 1.0750 1.0833 1.0917 1.1000 a(t)(复利方式) 1.0083 1.0167 1.0252 1.0338 1.0424 1.0511 1.0598 1.0686 1.0775 1.0865 1.0956 1.1047
（2）按年计算累积值
其中i=10%=0.1
t/年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a(t)(单利方式) 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 a(t)(复利方式) 1.1000 1.2100 1.3310 1.4641 1.6105 1.7716 1.9487 2.1436 2.3579 2.5937
分析：
实验2：单贴现，复贴现和连续贴现的比较
实验目的：通过实际数据，比较在相同的时间内单贴现，复贴现和连续贴现异同点
实验内容：自行选择利率和时间，画出单贴现，复贴现和连续贴现的图形，并对图形加以说明。
解： 令d=9% =0.09 贴现期限为10年
单贴现函数： dt t a -=-1)(1
（d t 10≤
≤） 复贴现函数： t
d t a )1()(1-=- （d t 10≤≤）
连续复贴现函数：dt
e t a --=)(1 （d
t 10≤≤）
由此可得到的三种方式下的贴现值如表：
t/年 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
单贴现 1.0000 0.9100 0.8200 0.7300 0.6400 0.5500 0.4600 0.3700 0.2800 0.1900 0.1000 复贴现 1.0000 0.9100 0.8281 0.7536 0.6857 0.6240 0.5679 0.5168 0.4703 0.4279 0.3894 连续复贴现
1.0000 0.9145 0.8363 0.7648 0.6994 0.6396 0.5849 0.5349 0.4891 0.4473 0.4090
分析：
实验3：用newtong-raphson 方法计算年金中的利率
实验内容：P62 例2.20给出具体的迭代过程和数据
例：已知当前投入90000元，随后的5年中每年底收回22000元，试计算年实利率。
析：设 a 为现值，n 为期限，i 为年实利率，则i 满足的现值方程为：
()i
i a n
-+-=11
首先考虑将a i n ⌝看作i 的函数进行泰勒展开，记a i n ⌝=a （i ），经过简单的
推导有a （0）=n ，)0('a =-2
)1(+n n ,)0(''a =
3
)
2)(1(++n n n ,
故若取一次项近似有
)(i a ≈i n n n 2
)
1(+- 可以将这个近似结果取为下面进一步地迭代初值：
0i =
)
1()
(2+-n n a n
然后由Newton-Raphson 方法进行迭代：
1+k i =k i -
k n k i a
i n -++-⌝)
1(i n )1(a
- a ，k=1，2，… 最后终止迭代过程可以选择类似于k k k i i i ⨯≤-+001.01
解：设i 为年实际利率，则有
=a 2200090000≈4.09091，0i =0.
用Newton-Raphson 方法进行迭代：
则%085.75≈i
且当5≥k 时，首次满足k k k i i i ⨯≤-+001.01，所以迭代最终停止与
%085.75≈i ，即年实际利率%085.75≈≈i i
实验4：计算年金以期末年金为例
实验内容：根据P60公式（2.2.19）用c 语言编程要求输入P 、K 、I 、N 输出R
例2.19 已知总的房款金额为500000元，首次付款比例为30%，年利率为8%。
分别对下列的还款方式求每月底的还款金额：
（1）分5年付清； （2）分8年付清； （3）分10年付清。