高中数学同步讲义必修二——第一章 1.3.2 球的体积和表面积

1.3.2 球的体积和表面积

学习目标 1.掌握球的表面积和体积公式.2.能解决与球有关的组合体的计算问题．

知识点 球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)； 2．球的体积公式V ＝4

3

πR 3.

1．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )

2．两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( × ) 3．球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．( √ )

类型一 球的体积和表面积

例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500

3

π，求它的表面积．

解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝256

3

π.

(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500

3π，解得R ＝5，

所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.

反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．

跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3

D.8∶27

(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． 答案 (1)B (2)3

2

解析 (1)由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.

(2)设大球的半径为R ，由题意得 43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32. 类型二 球的截面及切接问题 命题角度1 球的截面问题

例2 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )

A.500π3 cm 3

B.866π

3 cm 3

C.1 372π3 cm 3

D.2 048π3

cm 3

答案 A

解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝1

2

×8＝4(cm)．

设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42， ∴R ＝5.

∴V 球＝43π×53＝500

3

π(cm 3)．

反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.

跟踪训练2 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________． 答案 12π

解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 命题角度2 与球有关的切、接问题

例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3 B.2π3 C.3π2 D.π

6 答案 A

解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3

.

(2)长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为______． 答案 9π

解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ， 则?????

ab ＝

3，bc ＝5，

ac ＝

15，

解得?????

a ＝3，

b ＝1，

c ＝5，

∴外接球半径为

a 2＋

b 2＋

c 22＝32

，∴外接球表面积为4π×????322＝9π. 反思与感悟 (1)正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a

2，过在一个平面

上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切

球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝2

2

a ，如图②. (3)长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝

1

2

a 2＋

b 2＋

c 2，如图③.

(4)正方体的外接球

正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球

正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝

62

a . 跟踪训练3 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3

D ．1∶9

(2)表面积为43

3的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )

A.23

π B.13π C.23

π D.223

π

答案 (1)C (2)A

解析 (1)设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为1

2，外接球的直径为

正方体的体对角线， ∴外接球的半径为

32

， ∴其体积比为43π×????123∶43π×

???

?323＝1∶3 3.

(2)如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a .

∵正四面体的表面积为43

3，

∴4×

34a 2＝433

， 解得a ＝233，

∴正方体的棱长是

63

， 又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R ， ∴2R ＝6

3

×3， ∴R ＝

22

， ∴球的体积为43π·????2

23＝23π，

故选A.

1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12

答案 A

解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝4

3πR 3，所以R ＝3.

2．一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π3 答案 D

解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝4

3πR 3

＝323

π. 3．如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )

A ．4 cm

B ．3 cm

C ．2 cm

D ．1 cm

答案 B

解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，

∴3×4

3πr 3＝πr 2(6r －6)，

解得r ＝3，故选B.

4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

答案 B

解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以

R 1－R 2＝2.

5．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍． 答案 3 3

解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为1

2，外接球的直径为正

方体的体对角线， ∴外接球的半径为

32

. ∴外接球的体积为43π×???

?3

23，内切球的体积为43π×????123，

∴外接球的体积是内切球的体积的33倍．

1．球的体积和表面积公式 设球的半径为R (1)体积公式：V ＝4

3πR 3.

(2)表面积公式：S ＝4πR 2.

2．用一个平面截球所得截面的特征 (1)用一个平面去截球，截面是圆面． (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．

(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 以及截面的半径r ，有下面的关系r ＝R 2－d 2.

3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：

解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．

一、选择题

1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

答案 A

解析 设两球的半径分别为R ，r (R ＞r )，

则由题意得?????

43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，

解得?????

R ＝2，

r ＝1，

∴R －r ＝1.

2．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )

A.32，32

B.43，1

C.3

2，1 D.43，43

答案 A

解析 设球的半径为R ，

则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， ∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4

3πR 3，

则V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32

， S 圆柱S 圆＝6πR 24πR 2＝3

2

. 3．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm ，那么该棱柱的表面积为( ) A ．(2＋42) cm 2 B ．(8＋162) cm 2 C ．(4＋82) cm 2 D ．(16＋322) cm 2 答案 B

解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm ，球的直径为正四棱柱的体对角线，

∴正四棱柱的体对角线为4 cm ，正四棱柱的底面对角线长为2 2 cm ， ∴正四棱柱的高为

16－8＝2 2 cm ，

∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×22＝8＋16 2 (cm 2)，故选B.

4．一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3

B.208π3 cm 3

C.500π3 cm 3

D.4163π3

cm 3

答案 C

解析 如图，根据题意，

OO 1＝4 cm ，O 1A ＝3 cm ， ∴OA ＝R ＝

OO 21＋O 1A 2

＝5(cm)，

故球的体积V ＝43πR 3＝500π

3

(cm 3)．故选C.

5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A ．4π(r ＋R )2 B ．4πr 2R 2 C ．4πRr D ．π(R ＋r )2

答案 C

解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，CE ＝R －r ，DC ＝R ＋

r .由勾股定理得4r 21＝(R ＋r )2－(R －r )2，解得r 1＝Rr .故球的表面积为S 球＝4πr 2

1＝4πRr .

方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高．由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1＝Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .

6．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( ) A ．S 正方体>S 球 B ．S 正方体

答案 A

解析 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝4

3πR 3＝a 3，

∴a ＝3

V ，R ＝

3

3V 4π

，

∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3

216V 2.

7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( ) A.32π3 B ．4π C ．2π D.43π 答案 D

解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1. 故球的体积为V ＝43πR 3＝43π.

二、填空题

8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．

答案 3∶1∶2

解析 设球的半径为R ，则 V 柱＝πR 2·2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2·2R ＝2

3πR 3，

V 球＝4

3

πR 3，

故V 柱∶V 锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶4

3

πR 3＝3∶1∶2.

9．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了5

3 cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2.

答案 100π

解析 设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×5

3，解得r ＝5，

∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．

10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．

答案

3π4

解析 由题意得，该圆柱底面圆周半径r ＝12－????122＝32.

∴该圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π??

?

?322

×1＝3π4.

11．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为________． 答案 3∶2???

?或3

2

解析 如图，△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O ， 由题意知AD ＝3OE ，则OA ＝2OE ， 设OE ＝r ，则OA ＝2r ，AD ＝3r ， 在Rt △AEO 中，sin ∠EAO ＝1

2，

又∵0°<∠EAO <90°，∴∠EAO ＝30°. 在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝BD 3r ＝3

3

，BD ＝3r . 则AB ＝

AD 2＋BD 2＝

(3r )2＋(3r )2＝23r ，

圆锥的侧面积为π×BD ×AB ＝6πr 2， 球的表面积为4πr 2，

∴所求的比值为6πr 2∶4πr 2＝3∶2.

12．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AC ＝3，AB ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________． 答案

13

2

解析 可将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形到长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1中如图所示，

则BC 1为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的直径， ∴BC 1＝

32＋42＋122＝13，

∴球O 的半径为13

2.

三、解答题

13．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥的内切球的体积．

解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .

设⊙O 的半径为R ，由题意， 得4

3

πR 3＝972π， 所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18. 已知CD ＝16，所以ED ＝2.

连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，

所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA ＝122， 因为AB ⊥CD ，

所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，

所以AD ＝42，S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，

因为△ABC 的周长为2×(122＋42)＝32

2， 所以S △ABC ＝12r ·322＝1

2×82×16，解得r ＝4，

所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝256

3π.

四、探究与拓展

14．已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________． 答案 9π

解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，

得?????

xy ＝

3，yz ＝5，

zx ＝

15，

解得?????

x ＝3，

y ＝1，

z ＝ 5.

所以球的半径R ＝12AB ＝

1

2x 2＋y 2＋z 2＝3

2

，

所以S 球＝4πR 2＝9π.

15．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个项点，求这三个球的表面积之比．

解 设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a

2，2a ＝2R 2，

R 2＝

22a ，3a ＝2R 3，R 3＝3

2

a ，所以R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶ 3. 所以S 1∶S 2∶S 3＝R 21∶R 22∶R 2

3＝1∶2∶3.

即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.