浙江省2016年10月学业水平考试数学试题(含答案)
浙江省2016年10月学业水平考试数学试题
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合
题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.已知集合}6543{,,,
=A ,}{a B =,若}6{=B A ,则=a ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D.6
2.直线1-=x y 的倾斜角是( ) A.
6π B. 4π C. 2π D.
4
3π
3.函数)3ln()(-=x x f 的定义域为( )
A. }3|{->x x
B. }0>|{x x
C. }3|{>x x
D. }3|{≥x x
4.若点),(43-P 在角α的终边上,则=cos α
( )
A.
53- B. 53 C. 5
4- D. 54
5.在平面直角坐标系xOy 中,动点P 的坐标满足方程4)3()1(2
2
=-+-y x ,则点P 的轨迹经过( )
A. 第一、二象限
B. 第二、三象限
C. 第三、四象限
D. 第一、四象限
6.不等式组?
??≤+->+-020
63y x y x ,表示的平面区域(阴影部分)是( )
7.在空间中,下列命题正确的是( )
A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 经过一个点和一条直线有且只有一个平面
C. 经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个
D. 经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个
8.已知向量,则“b a //”是“||||||b a b a -=-”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 9.函数x x f 2sin 21)(2
-=是( )
A.偶函数且最小正周期为
2π B.奇函数且最小正周期为2
π
C.偶函数且最小正周期为π
D.奇函数且最小正周期为π
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈.若448,S 20,a ==则8a =( ) A. 12 B. 14 C. 16 D.18 11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则几何体的体积是( )
A.
3 B. 3
C.
3 D. 3
12.设向量(2,2),b (4,),c (,),,.a x y x y x y R =-==∈若b a ⊥, 则|c |的最小值是( )
A.
B. C. 2 D. 13.如图,设AB 为圆锥PO 的底面直径,PA 为母线,点C 在底面圆周
上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P AC B --大小的正切值是( )
A.
B. C.
D.
14.设函数2()x
f x e ??= ???,()3x
e g x ??
= ???
,其中e 为自然对数的底数,则
( )
A.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≥
B.存在正实数x 使得()()f x g x >
C.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≤
D.存在正实数x 使得()()f x g x <
15.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F ,.以1F 为圆心,12||F F 为半径的
圆与双曲线在第一、二象限内依次交于,A B 两点.若12|F B|=3|F A|,则该双曲线的离心率是 ( ) A.
54 B. 43 C. 3
2
D. 2 16.函数()f x 按照下列方式定义:当2x ≤时,2
()2f x x x =-+;当2x >时,1
()(2)2
f x f x =-. 方程1
()5
f x =
的所有实数根之和是( ) A. 8 B. 13 C. 18 D.25 17.设实数,,c a b 满足:1,c 1a b >>>,则下列不等式中不成立...
的是( )
A.
b a b
c a
a b ac +<<+ B. 1a bc b a b ac +<<+
C. 1a bc c c b ac +<<+
D. a bc
b ac
+<<+
18.如图,在四面体ABCD 中,2==CD AB ,3==BD AD ,
4,AC BC ==点,,,E F G H 分别在棱AD ,BD ,BC ,AC
上,若直线,AB CD 都平行于EFGH ,则四边形EFGH 面积的最大值是( )
A.
1
2
B. 2
C. 1
D. 2
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.已知抛物线px y 22
=过点)2,1(A ,则=p ,抛物线方程是 . .
20.设数列{}n a 的前项和为)(*
∈N n S n .若12,111+==+n n S a a ,则=5S .
21.在ABC ?中,2,3,2=?==AC AB AC AB 。若点P 满足PC BP 2=,则=?BC AP . 22.设函数)(2
1
3)(R a ax x x f ∈++
+=
. 若其定义域内不存在...
实数x ,使得0)(≤x f ,则a 的取值范围是 。
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23. (本题10分)在ABC ?中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知C C cos 32sin =,其中C 为锐角.
(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若4,1==b a ,求边c 的长。
24.(本题10分)设1F ,2F 为椭圆
22
143
x y +=的左、右焦点,动点P 的坐标为(1,)m -,过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点.
(Ⅰ)求1F ,2F 的坐标;(Ⅱ)若直线2,,PA PF PB 的斜率之和为0,求m 的所有整数值.
25.(本题11分)设函数2
)1(1
)(a x x f --=
的定义域为D ,其中1 (1)当3-=a 时,写出函数)(x f 的单调区间(不要求证明); (2)若对于任意的D x ]2,0[∈,均有2 )(kx x f ≥成立,求实数k 的取值范围. 浙江省2016年10月普通高校招生选考科目考试数学试题答案 一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分。) 。19. 2, 1-=x 20. 121 21. 4 22.3 2 0≤≤a 三、解答题(本大题共3小题,共31分。) 23.解:(Ⅰ)由C C cos 32sin = 得C C C cos 3cos sin 2=,因为C 为锐角,0cos ≠C , 从而23sin = C 。故角C 的大小3 π。 (Ⅱ)由4,1==b a ,根据余弦定理得133 cos 2222=-+=π ab b a c ,故边c 的长是13。 24.解:(Ⅰ)1F (1,0)-,2F (1,0) (Ⅱ)(i )当直线AB 的斜率不存在时,由对称性可知0m =. (ii )当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的斜率为k ,1122(,),(,)A x y B x y . 由题意得121, 1.x x ≠-≠- 直线PA 的斜率为 1111()11y m kx k m x x --+=++;直线2PF 的斜率为2m -; 直线PB 的斜率为 2222() 11 y m kx k m x x --+=++. 由题意得 1212()()()0121 kx k m kx k m m x x -+-++-+=++. 化简整理得1212(4)3()(45)0.(*)k m x x m x x k m --+-+= 将直线AB 的方程(1)y k x =-代入椭圆方程,化简整理得 2222(43)84120k x k x k +-+-=. 由韦达定理得221212228412 ,.4343 k k x x x x k k -+= =++ 代入(*)并化简整理得216200k m k m ++=.从而2 20.161 k m k =-+ 当0k =时,0m =;当0k ≠时, 220||5 ||.1612 k m k = ≤=+ 故m 的所有整数值是2,1,0,1,2.-- 25.解:(Ⅰ)单调递增区间是]1,(-∞,单调递减区间是),1[+∞. (Ⅱ)当0=x 时,不等式2 )(kx x f ≥成立; 当0≠x 时,2 )(kx x f ≥等价于2 ])1([1 a x x k --≤ . 设? ? ?≤<+-≤<---=--=21)],1([1 0)],1([)1()(x a x x x a x x a x x x h (i )当1-≤a 时,)(x h 在]2,0(上单调递增,所以)2()(0h x h ≤<,即)1(2)(0a x h -≤<. 故2 )1(41 a k -≤ . (ii )当01<<-a 时,)(x h 在]21, 0(a -上单调递增,在]1,2 1[a -上单调递减,在]2,1[上单调递增. 因为)2 1(4)1(22)2(2a h a a h -=-> -=,所以)2()(0h x h ≤<,即)1(2)(0a x h -≤<. 故2 )1(41 a k -≤ . (iii )当10<≤a 时,)x (h 在]21, 0(a -上单调递增,在)a 1,2 a 1[--上单调递减,在]1,a 1(-上单调递减,在)1,1[a +上单调递增,在]2,1(a +上单调递增, 所以)}2 1( ),2(max{)()1(a h h x h h -≤≤且0)(≠x h . 因为)2 1(4)1(22)2(2a h a a h -=-> -=,所以a x h a 22)(-≤≤-且0)(≠x h . 当3 2 0< ≤a 时,因为a a ->-22,所以2 )1(41a k -≤; 当 132<≤a 时,因为a a -≤-22,所以21 a k ≤. 综上所述,当32 a k ≤ www.zxsx.co m