第11课 函数与方程(提分宝典)

第11课 函数与方程

1．函数零点所在区间的判断

a ．零点存在性定理法判断函数零点所在区间

(1)(2019河南模拟，5分)已知单调函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，对于定义域内任意x, f [f (x )－log 2x ]＝3，则函数g (x )＝f (x )＋x －7的零点所在的区间为( )

A ．(1，2)

B ．(2，3)

C ．(3，4)

D ．(4，5) 答案：C

解析：因为对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 2x ]＝3，且f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，所以f (x )－log 2x 为定值．设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝log 2x ＋t .又由f (t )＝3，得log 2t ＋t ＝3，解得t ＝2，所以f (x )＝log 2x ＋2，所以g (x )＝log 2x ＋x －5，且g (x )是(0，＋∞)上的连续递增函数．又因为g (3)＝log 23－2＜log 24－2＝0，g (4)＝log 24－1＝1＞0，所以g (3)·g (4)＜0.根据零点存在性定理可得，函数g (x )的零点所在的区间为(3，4)．故选C.

b ．数形结合法判断函数零点所在区间

(2)(2019山东菏泽一模，5分)函数f (x )＝log 8x －1

3x 的一个零点所在的区间是( )

A ．(0，1)

B ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4) 答案：B

解析：(法一)令f (x )＝log 8x －13x ＝0，可得log 8x ＝1

3x

.

令g (x )＝log 8x ，h (x )＝1

3x ，则函数f (x )的零点即为g (x )，h (x )图像的交点的横坐标．在同

一平面直角坐标系中画出函数g (x )，h (x )在(0，＋∞)内的图像，如图所示．由图知g (x )，h (x )图像的交点的横坐标在(1，2)内，所以函数f (x )的零点所在区间为(1，2)．故选B.

(法二)因为y ＝log 8x 和y ＝－13x 均在(0，＋∞)上单调递增且连续，所以f (x )＝log 8x －1

3x 在

(0，＋∞)上单调递增且连续．又f (1)＝0－13＝－13＜0, f (2)＝log 82－16＝1

6＞0，所以f (1)·f (2)＜

0.由函数零点存在性定理可知，函数f (x )在(1，2)内存在零点．故选B.

2．函数零点个数的判断

a ．利用零点存在性定理法判断函数零点的个数

(3)(经典题，5分)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B

解析：∵y ＝2x 和y ＝x 3－2在(0，1)上都是增函数且连续，∴函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)上单调递增且连续．∵f (0)＝－1＜0, f (1)＝1>0，∴f (0)·f (1)＜0，∴函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内有唯一的零点，故选B.

b ．利用解方程法判断函数零点的个数

(4)(经典题，5分)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案：C

解析：令f (x )＝0，可得x ＝0或cos x 2＝0，∴x ＝0或x 2＝k π＋π

2，k ∈Z .∵x ∈[0，4]，∴x 2∈[0，

16]，∴k 可取的值有0，1，2，3，4，∴函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为6.

c ．利用数形结合法判断函数零点的个数

(5)(2018北京朝阳一模，5分)函数f (x )＝sin πx 2x 2＋1－1

2x 的零点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4 答案：C

解析：令f (x )＝sin

πx 2x 2＋1－12x

＝0，得sin πx 2＝x 2＋12x ＝12????x ＋1x ，分别作出函数y ＝sin πx 2和y ＝

1

2????x ＋1x 的图像，如图．由图可知，函数y ＝sin πx 2与y ＝12???

?x ＋1x 的图像有2个交点，故函数f (x )

有2个零点．

(6)(2018贵州期末，5分)已知偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，若当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝10-|x |在[－3，3]上根的个数为( )

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4 答案：C 解析：∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，当x ∈[0，1] 时，f (x )＝x 2，作出函数y ＝ f (x )和y ＝10-|x |在[－3，3]上的图像，如图．

由图知，两函数图像有6个交点，所以方程f (x )＝10-|x |在[－3，3]上根的个数为6.

3．有关函数零点求和的问题

(7)(2019山西模拟，5分)函数f (x )＝????

12|2x －1|

－sinπx 在区间(－2，3)上的零点分别记为x

＝x i (i ＝1，2，…，n )，则∑i ＝1

n

x i ＝( )

A.32

B.52

C.3

D.72

答案：D 解析：令f (x )＝???

?

12|2x －1|

－sinπx ＝0，得???

?

12|2x －1|

＝sinπx .设g (x )＝???

?

12|2x －1|

，h (x )＝sinπx ，x ∈(－

2，3)，则g (x )的图像关于直线x ＝12对称，h (x )的图像也关于直线x ＝1

2对称，作出函数图像如

图：

由图可知两个图像有7个交点，其中有6个交点关于直线x ＝1

2两两对称，剩下的1个交

点横坐标为12.设7个交点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则x 4＝1

2，且

x 1＋x 7＝x 2＋x 6＝x 3＋x 5＝2x 4＝1，∴∑i ＝1

n

x i ＝3×1＋12＝7

2

.故选D.

4．函数零点的应用

(8)(2017全国Ⅲ，5分)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x -1＋e -x +1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12 B.13 C.1

2

D ．1

答案：C

解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x -1＋e -x +1)得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2-x -1＋e -(2-x )+1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1-x ＋e x -1)＝x 2－2x ＋a (e x -1＋e -x +1)，∴f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图像的对称轴．∵f (x )有唯一零点，∴f (x )的零点只能为1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1-1＋e -1+1)＝0，解得a ＝12

. (9)(2018全国Ⅰ，5分)已知函数f (x )＝?

????e x ， x ≤0，

ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个

零点，则a 的取值范围是( )

A ．[－1，0)

B ．[0，＋∞)

C ．[－1，＋∞)

D ．[1，＋∞) 答案：C

解析：因为函数g (x )＝f (x )＋x ＋a ＝0有两个零点，所以函数y ＝f (x )与函数y ＝－x －a 的图像有两个交点．如图，画出函数y ＝f (x )以及y ＝－x －a 的图像，可知当直线在y 轴上的截距小于等于1时满足题意，即－a ≤1，所以a ≥－1.故选C.

(10)(2016山东，5分)已知函数f (x )＝?

????||x ，x ≤m ，

x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ， 其中m >0，若存在实数b ，

使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．

答案：(3，＋∞)

解析：当m >0时，函数f (x )＝?

????|x |，x ≤m ，

x 2－2mx ＋4m ，x >m 的图像如图所示．

∵x >m 时， f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2>4m －m 2，∴要使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，m 需满足4m －m 2＜m ，即m 2>3m (m >0)，解得m >3，∴m 的取值范围是(3，＋∞)．

(11)(经典题，5分)已知f (x )＝?

????3||log 3x ，0

（x －4）（x －6），x >3，若f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，且

a <

b <

c <

d ，则abcd 的取值范围是________．

答案：(21，24)

解析：先画出函数f (x )＝?

????3|log 3x |，0

（x －4）（x －6），x >3的图像，如图所示．

∵a

(12)(2019浙江，4分)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝????

?x ，x ＜0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0，若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( ) A ．a ＜－1，b ＜0 B ．a ＜－1，b ＞0 C ．a ＞－1，b ＜0 D ．a ＞－1，b ＞0 答案：C

解析：设g (x )＝f (x )－ax －b .

(ⅰ)当x <0时，g (x )＝x －ax －b ＝(1－a )x －b ，则g (x )在(－∞，0)上最多有一个零点，零

点为x 0＝b

1－a

<0(a ≠1)．

(ⅱ)当x ≥0时，g (x )＝13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax －ax －b ＝13x 3－1

2(a ＋1)x 2－b ，g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x

＝x [x －(a ＋1)]．

当a ＋1≤0，即a ≤－1时，g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，此时g (x )最多有一个零点，不符合题意；

当a ＋1>0，即a >－1时，易得g (x )在[0，a ＋1)上单调递减，在[a ＋1，＋∞)上单调递增，此时g (x )最多有两个零点．

由(ⅰ)(ⅱ)可知，函数g (x )＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，相当于g (x )在(－∞，0)上有一个零点，在[0，＋∞)上有2个零点，如图：

所以?????b

1－a

<0，－b >0，a >－1，13（a ＋1）3

－12

（a ＋1）（a ＋1）2

－b <0，

解得?????b <0，－1－16（a ＋1）3

，

所以－1

6(a ＋1)3

随堂普查练11

1．(2018北京东城一模，5分)函数f (x )＝4

x －2x 的零点所在的区间是( )

A.????0，12

B.????12，1

C.????1，32

D.????32，2 答案：C

解析：∵y ＝4x 在(0，＋∞)上是减函数，y ＝2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝4x

－2x 在(0，

＋∞)上是减函数．∵f (1)＝41－21＝2>0, f ????32＝432

－23

2＝83

－22<0，∴f (x )的零点所在的区间

是???

?1，32 .

2．(2019北京朝阳四模，5分)已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －e -x －2(e 为自然对数的底数)的零点为x 0，则g [f (x 0)]＝( )

A.1

e －e －2 B ．－2 C ．e －1

e －2

D ．e 2－1

e

2－2

答案：B

解析：由g (x )＝e x －e -x －2易得函数g (x )为连续且递增的函数，又g (0)＝－2＜0，g (1)＝e

－1

e －2＞0，所以由函数零点存在性定理得x 0∈(0，1)．又

f (x 0)＝[x 0]＝0，所以

g [f (x 0)]＝g (0)＝－2.故选B.

3．(经典题，5分)函数f (x )＝sin(πcos x )在区间[0，2π]上的零点个数是______． 答案：5

解析：令sin(πcos x )＝0，得πcos x ＝k π(k ∈Z )，

∴cos x ＝k (k ∈Z )．∵x ∈[0，2π]，∴cos x ＝1，0，－1，

∴x 的值可以为0，π2，π，3

2

π，2π，

∴f (x )＝sin(πcos x )在区间[0，2π]上的零点个数为5.

4．(2018四川期中，5分)函数f (x )＝|tan x |，则函数y ＝f (x )＋log 4x －1的零点的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C

解析：令f (x )＋log 4x －1＝0得f (x )＝1－log 4x .作出y ＝f (x )和y ＝1－log 4x 的图像，如图．

由图可知y ＝f (x )和y ＝1－log 4x 的图像有3个交点，∴函数y ＝f (x )＋log 4x －1有3个零点．

5．(2019贵州凯里校级模拟，5分)函数f (x )＝(1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 20182018＋x 2019

2019)·cos2x

在区间[－3，4]上的零点的个数为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．8 答案：C

解析：设g (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…－x 20182018＋x 2019

2019，则g ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…－x 2017

＋x 2018.

当x ＝0时，g ′(x )＝1>0；当x ＝－1时，g ′(x )＝2019>0；当x ≠0且x ≠－1时，g ′(x )＝1＋x 2019

1＋x >0，

所以g ′(x )>0在(－3，4)上恒成立，所以函数g (x )在[－3，4]上单调递增且连续． 又g (－1)＝－12－13－14－…－1

2019<0，g (0)＝1>0，所以函数g (x )在(－1，0)上有一个零点，

所以函数g (x )在[－3，4]上有且只有一个零点．

易知y ＝cos2x 在区间[－3，4]上有±π4，±3π4，5π

4共五个零点，且与上述零点不重复，所以

函数f (x )＝??1＋x －x 22＋x 33－

??x 44＋…－x 20182018＋x 20192019·cos2x 在区间[－3，4]上的零点个数为1＋5＝6.故选C.

6．(2019北京海淀月考，5分)已知y ＝f (x ＋2)是奇函数，若函数g (x )＝f (x )－sin1

x －2有k 个

不同的零点，记为x 1，x 2，…，x k ，则x 1＋x 2＋…＋x k ＝( )

A ．0

B ．k

C ．2k

D ．4k 答案：C

解析：因为y ＝f (x ＋2)是奇函数，且将y ＝f (x ＋2)的图像向右平移两个单位长度得到函数y ＝f (x )的图像，所以函数y ＝f (x )的图像关于点(2，0)对称．设h (x )＝sin1

x －2，易知函数h (x )的图

像也关于点(2，0)对称，且点(2，0)不在h (x )的图像上．令g (x )＝f (x )－sin1x －2＝0，得f (x )＝

sin1

x －2＝h (x )，所以g (x )有k 个不同的零点等价于函数f (x )与h (x )的图像有k (k 为偶数)个不同的交点，且这些交点关于点(2，0)两两对称，所以x 1＋x 2＋…＋x k ＝4×k

2

＝2k .故选C.

7．(2018河南洛阳期末，5分)已知函数f (x )＝?

????x e x ，x ≥0，

－x e x

，x <0，方程[f (x )]2＋tf (x )＋1＝0(t ∈R )有四个实数根，则t 的取值范围是( )

A.????e ＋1

e ，＋∞ B.????－∞，－e －1

e C.???

?－e －1

e ，－2

D.?

???2，e ＋1e 答案：B

解析：当x ≥0时， f ′(x )＝e x ＋x e x >0恒成立， 所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．

当x ＜0时， f ′(x )＝－e x －x e x ＝－e x (x ＋1)． 由f ′(x )＝0，得x ＝－1.

当x ∈(－∞，－1)时， f ′(x )＞0, f (x )为增函数； 当x ∈(－1，0)时， f ′(x )＜0, f (x )为减函数． 又f (－1)＝1

e ，且当x <0时，

f (x )＝－x e x >0，

所以作出f (x )的图像，如图．

要使方程[f (x )]2＋tf (x )＋1＝0(t ∈R )有四个实数根，令f (x )＝m ，则方程m 2＋tm ＋1＝0应有两个不等实根m 1，m 2，且m 1∈????0，1e ，m 2∈???

?1

e ，＋∞∪{0}．

令g (m )＝m 2＋tm ＋1，则????

?g （0）＝1>0，g ????1e ＝????1e 2＋t e ＋1<0，

解得t ＜－e －1

e .所以t 的取值范围是????－∞，－e －1e .

8．(2018浙江，6分)已知λ∈R ，函数f (x )＝?

????x －4， x ≥λ，

x 2－4x ＋3， x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0

的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)

解析：当λ＝2时，由f (x )<0得????

?x －4<0，x ≥2或?

????x 2－4x ＋3<0，x <2，解得1

的解集是(1，4)．当λ≤1时，函数f (x )的图像如图1所示，此时函数f (x )有1个零点4，不符

合题意；

当1<λ≤3时，函数f (x )的图像如图2所示，此时函数f (x )有2个零点1和4，符合题意；

图2

当3<λ≤4时，函数f (x )的图像如图3所示，此时函数f (x )有3个零点1，3和4，不符合题意；

图3

当λ>4时，函数f (x )的图像如图4所示，此时函数f (x )有2个零点1和3，符合题意．

图4

综上，λ的取值范围是(1，3]∪(4，＋∞)．

9．(2019江苏，5分)设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0，2]时， f (x )＝1－（x －1）2，g (x )＝?????k （x ＋2），0＜x ≤1，－12

， 1＜x ≤2，其中k ＞0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ．

答案：???

?13，24

解析：当x ∈(0，2]时，y ＝f (x )＝1－（x －1）2，即(x －1)2＋y 2＝1，y ≥0，所以函数f (x )在(0，2]上的图像是以(1，0)为圆心，1为半径的圆的x 轴上方的部分．又因为f (x )为奇函数，周期为4，g (x )＝????

?k （x ＋2），0

图所示．要使f (x )＝g (x )在(0，9]上有8个实根，只需使f (x )与g (x )的图像在(0，9]上有8个交

点即可．

(ⅰ)当g (x )＝－1

2(1＋2t

(ⅱ)当g (x )＝k (x ＋2－2t )(2t

f (x )与

g (x )的图像在(0，1]内相切时，圆心(1，0)到直线kx －y ＋2k ＝0的距离为1，即|k ＋2k |

1＋k 2＝

1，解得k ＝

24；当g (x )＝k (x ＋2)(0

4

时， f (x )与g (x )的图像在(0，1]上有两个交点，则g (x )＝k (x ＋2－2t )(2t

与f (x )的图像有6个交点．综上，满足f (x )＝g (x )在(0，9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为????13，24.

课后提分练11 函数与方程

A 组(巩固提升)

1．(2018陕西商洛模拟，5分)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2

x 的零点所在的大致区间是( )

A ．(3，4)

B ．(2，e)

C ．(1，2)

D ．(0，1) 答案：C

解析：∵f (x )＝ln(x ＋1)－2

x 在(0，＋∞)上单调递增且连续，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3

－1>0，∴f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )的零点所在的大致区间是(1，2)．

2．(2018湖南期末，5分)关于x 的方程cos π

2x －lg|x |＝0的实根个数为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12 答案：C

解析：由cos π2x －lg|x |＝0得cos π2x ＝lg|x |.显然y ＝cos π

2x ，y ＝lg|x |都是偶函数，故只需讨论

x >0时的情况．画出x >0时两个函数的图像，如图．

结合图像可知x >0时有5个交点，故总共有10个交点，即方程的实根个数为10.

3．(2018北京西城二模，5分)已知函数f (x )＝????

?a ＋2x

，x ≤1，12x ＋a ，x >1， 其中a ∈R .如果函数f (x )

恰有两个零点，那么a 的取值范围是 ．

答案：?

???－2，－1

2 解析：令g (x )＝????

?2x

，x ≤1，12x ，x >1，则f (x )＝g (x )＋a .令f (x )＝0，得g (x )＝－a .作出g (x )的图像，

如图．

函数f (x )恰有两个零点?函数g (x )的图像与直线y ＝－a 有两个交点．由图可知1

2<－a ≤2，

解得－2≤a <－1

2

.故a 的取值范围是????－2，－12 .

4．(经典题，5分)函数f (x )的定义域为[－1，1]，图像如图11－1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2，2]，图像如图11－1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )

图11－1 A ．14 B ．12 C ．10

D ．8 答案：A

解析：由题图1可知，若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1.

由题图2可知，当g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；当g (x )＝0时，x ＝－1.5或x ＝1.5或x ＝0；当g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，∴m ＝7.

由题图2可知，若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0.

由题图1可知， f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5各有2个实数根；f (x )＝0有3个实数根，∴n ＝7.故m ＋n ＝14.

5．(2019安徽模拟，5分)设函数f (x )＝?

????e x ＋1，x ≥0，

|x 2＋2x |，x <0，则函数g (x )＝f (x )－3x －1的零点

个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：C

解析：(法一)由题知f (x )＝????

?e x

＋1，x ≥0，－x 2－2x ，－2

令g (x )＝f (x )－3x －1＝0，可得f (x )＝3x ＋1，则函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y

＝3x ＋1图像的交点个数．如图，作出函数y ＝f (x )与y ＝3x ＋1的图像，易知两个函数图像共

有3个交点，则函数g (x )的零点个数为3.

(法二)(ⅰ)当x ≥0时，g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3.令g ′(x )>0，可得x >ln3；令g ′(x )<0，可得0≤x 0，g (ln9)＝9－3ln9＝3×(3－ln9)>0，所以当x ≥0时，g (x )有两个零点．

(ⅱ)当x <0时，易知g (x )＝?

????－x 2－5x －1，－2

x 2－x －1，x ≤－2只有一个零点．综上，g (x )的零点个

数为3.故选C.

6．(经典题，5分)已知函数f (x )＝||2x －2＋b 的两个零点分别为x 1，x 2(x 1>x 2)，下列结论正确的是( )

A ．1

B ．1

C ．x 1>1，x 1＋x 2<2

D ．x 1>1，x 1＋x 2<1 答案：A 解析：函数f (x )＝|2x －2|＋b 有两个零点，即函数y ＝|2x －2|与y ＝－b 的图像有两个交点，交点的横坐标就是x 1，x 2(x 1>x 2)．在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝－b 的图像，

如图所示，由图像可知1

x －2＋22

x －2＝0，即4＝21

x ＋22

x ，

∴21

2

+x x <4，∴x 1＋x 2<2.

7．(2019湖北模拟，5分)已知函数f (x )＝ax ＋sin x cos x (a ＞0)恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，若tan(x 1＋x 2－x 3)＝t (x 1＋x 2－x 3)，则t ＝( )

A.12

B ．－12

C ．1

D ．－1

答案：C

解析：函数f (x )＝ax ＋sin x cos x (a ＞0)恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，即函数y ＝－ax 与y ＝1

2sin2x 的图像恰有三个不同的交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，如图．

由图知直线y ＝－ax 与y ＝1

2sin2x 的图像相切，切点横坐标在区间(－π，π)内，且x 2＝0，

x 1＝－x 3，即x 1＋x 2－x 3＝2x 1，所以tan(x 1＋x 2－x 3)＝t (x 1＋x 2－x 3)等价于tan2x 1＝2tx 1.①

由直线y ＝－ax 与y ＝1

2sin2x 的图像在x ＝x 1处相切，可得?????－a ＝cos2x 1，－ax 1＝12sin2x 1，整理得tan2x 1＝2x 1②.

由①②可知t ＝1.故选C.

8．(2019湖南模拟，5分)已知函数f (x )＝|sin x |

x ＋1－m 在区间(－1，＋∞)上有两个不同的零

点θ1与θ2(θ1＜θ2)，则下列结论正确的是( )

A ．tan ????π4－θ1＝θ1θ1＋2

B ．tan ????π4－θ1＝θ1＋1θ1

C ．tan ????θ2－π4＝θ2θ2＋2

D ．tan ????θ2－π4＝θ2－1θ2

答案：C

解析：令f (x )＝0，可得|sin x |＝m (x ＋1)，x ∈(－1，＋∞)，则函数f (x )的零点即为函数y ＝|sin x |和y ＝m (x ＋1)图像交点的横坐标．分别作出y ＝|sin x |，y ＝m (x ＋1)在(－1，＋∞)上的图像．由图像可知，若f (x )在(－1，＋∞)上有两个不同的零点，则m >0，且直线y ＝m (x ＋1)与y ＝|sin x |的图像在????0，π2内相切，切点为(θ2，sin θ2)????0<θ2<π2.当x ∈????0，π2时，y ＝|sin x |＝sin x ，则y ′＝cos x ，所以cos θ2＝m ＝sin θ2θ2＋1，所以tan θ2＝sin θ2

cos θ2＝θ2＋1，所以tan ????θ2－π4＝tan θ2－11＋tan θ2＝θ2

θ2＋2

.故选C.

9．(2018福建南平期末，5分)已知函数f (x )的定义域为R, f (x )＝????????

?23x －1，－1≤x <0，

log 2（x ＋1），0≤x <3，对于任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝f (x －1)，若在区间[－5，3]内函数g (x )＝f (x )－mx ＋2m 恰有三个

不同的零点，则实数m 的取值范围是( )

A.????－16

，－1

14 B.????－16，－1

14 C.????－16

，－1

7

D.????－16

，－17 答案：A

解析：∵f (x ＋3)＝f (x －1)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期为4的周期函数．若在区间[－5，3]内函数g (x )＝f (x )－mx ＋2m 恰有三个不同的零点，则函数y ＝f (x )和y ＝m (x －2)的图像在[－5，3]上有三个不同的交点．画出函数y ＝f (x )在[－5，3]上的图像，如图所示．

由A ????－1，12，M (2，0)，B ????－5，12得k AM ＝－16，k BM ＝－114.结合图像得－16≤m <－114，故选A.

10．(2019浙江杭州校级模拟，4分)已知函数f (x )＝A sin π

2x ，g (x )＝k (x －2)，k ＞0，h (x )

＝f (x )－g (x )．若当A ＝1时，函数h (x )的所有零点之和为6，则当A ＝2时，函数h (x )的所有零点之和为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12 答案：C

解析：函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像交点的横坐标．易知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像均过点(2，0)，且均关于点(2，0)对称，∴函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像的交点关于点(2，0)两两对称或恰为点(2，0)．又∵当A ＝1时，h (x )所有零点之和为6，∴当A ＝1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像有3个公共点，其中有两个公共点恰为切点．由图像可知f (5)1

3

.

当A ＝2时，由图像可知f (5)>g (5)，f (－1)2＝f (x )max ，g (－4)＝－6k <－2＝f (x )min ，∴h (x )有5个零点，从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 3＝2，x 1＋ x 5＝x 2＋ x 4＝4，∴x 1＋ x 2＋x 2＋ x 4＋ x 5＝10.故选C.

11．(经典题，5分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a

①f (0)·f (1)>0；②f (0)·f (1)<0；③f (0)·f (3)>0；④f (0)·f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④

答案：C 解析：由题意可知f (x )有3个零点，设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ＝x (x －3)2，则f (x )＝g (x )－abc ，g ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －3)(x －1)，令g ′(x )＝0，得x ＝3或1，所以g (x )在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，画出函数g (x )的图像，要使f (x )有3个零点，需将g (x )的图像向下平移至如图所示位置．由图像可知， f (0)·f (1)<0且f (0)·f (3)>0.故②③正确．

B 组(冲刺满分)

12．(2018安徽一模，5分)已知函数f (x )＝e x

x －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，

则实数k 的取值范围是( )

A ．(0，2)

B.????0，e

2

4 C ．(0，e) D ．(0，＋∞) 答案：B

解析：∵函数f (x )＝e x x －kx 有且只有一个零点，∴方程e x

x －kx ＝0只有一根，又∵x ≠0，

∴k ＝e x

x

2.

设g (x )＝e x

x 2，则g ′(x )＝e x （x －2）x 3

.令g ′(x )＝0，解得x ＝2，当x >2或x <0时，g ′(x )>0，函

数g (x )单调递增；

当0

4，且当

x <0时，g (x )∈(0，＋∞)，画出函数g (x )的图像如图，∴要使k ＝e x

x 2只有一根，由图像可知，

实数k 的取值范围是???

?0，e 2

4.

13．(2018湖南湖北八市联考，5分)已知函数f (x )＝?

????|ln x |，0

f （4－x ），2

m 有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4(x 1

2≥k ＋11恒成立，则实数k 的最小值为( )

A.98 B ．2－32 C.2516 D.3－12 答案：B

解析：函数f (x )＝?

????|ln x |，0

由图像知－ln x 1＝ln x 2，ln(4－x 3)＝－ln(4－x 4)，即x 1x 2＝1，(4－x 3)(4－x 4)＝1，∴x 1＋x 2≥2x 1x 2＝2，x 3x 4－1＝4(x 3＋x 4)－16.又0

＝2对称，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4×2＝8，∴x 3＋x 4＝8－(x 1＋x 2)．∵kx 3x 4＋x 21＋x 2

2≥k ＋11恒成

立，∴k ≥11－x 21－x 22x 3x 4－1恒成立，∴k ≥? ????11－x 21－x 22x 3x 4－1max

.

∵11－x 21－x 2

2x 3x 4－1＝11－（x 1＋x 2）2＋2x 1x 24（x 3＋x 4）－16

＝13－（x 1＋x 2）24[8－（x 1＋x 2）]－16＝13－（x 1＋x 2）216－4（x 1＋x 2） ＝14×（x 1＋x 2）2－16＋3（x 1＋x 2）－4

＝1

4????（x 1＋x 2）＋4＋3（x 1＋x 2）－4 ＝14????（x 1＋x 2）－4＋3（x 1＋x 2）－4＋8 ≤14×(8－23)＝2－32， 当且仅当(x 1＋x 2)－4＝3（x 1＋x 2）－4

，即x 1＋x 2＝4－3时等号成立，∴k ≥2－3

2.故选

B.

14．(2018长沙模拟，8分)已知函数f (x )＝||

x x ＋1

，函数g (x )＝f (x )－kx 2恰有四个零点，求

实数k 的取值范围．

答案：(4，＋∞)

解：令g (x )＝f (x )－kx 2＝0，则|x |

x ＋1

＝kx 2.

①由方程|x |

x ＋1＝kx 2，可以看出x ＝0恒为方程的解．(1分)

②当x <0且x ≠－1时，方程

|x |

x ＋1

＝kx 2，即kx 2＋kx ＋1＝0. 当k ＝0时，方程kx 2＋kx ＋1＝0无解；

当k ≠0且Δ＝k 2－4k ≥0，即k <0或k ≥4时，方程kx 2＋kx ＋1＝0有解，设方程kx 2＋kx ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝1

k ，∴k >4时，方程kx 2＋kx ＋1＝0有两个不

等的负根；k ＝4时，方程kx 2＋kx ＋1＝0有两个相等的负根；k <0时，方程kx 2＋kx ＋1＝0有一个负根．(4分)

③当x >0时，方程|x |

x ＋1

＝kx 2，即kx 2＋kx －1＝0.

当k ＝0时，方程kx 2＋kx －1＝0无解；

当k ≠0且Δ＝k 2＋4k ≥0，即k >0或k ≤－4时，方程kx 2＋kx －1＝0有解，

设方程kx 2＋kx －1＝0的两根为x 3，x 4，则x 3＋x 4＝－1，x 3·x 4＝－1

k ，∴k ≤－4时，方程

kx 2＋kx －1＝0没有正根；k >0时，方程kx 2＋kx －1＝0有一个正根．(7分)

综上可知，当k ∈(4，＋∞)时，方程f (x )＝kx 2有两个不等负根，一个零根，一个正根，即函数g (x )＝f (x )－kx 2恰有四个零点．(8分)