第6讲 函数与方程 学案

第6讲 函数与方程 学案
【考点简介】
函数与方程是数学中非常重要的思想方法之一，它从不同的角度研究问题并且经常在二者之间合理转化，能够很好的考查学生的数学思维，因此，也是自主招生考试中常常出现的问题．本节就三次方程的韦达定理及函数与方程中的重点题型加以讲解，须深入体会其中的数学含义．
【知识拓展】
一、方程的根与函数的零点：
1、对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点；
2、方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点；
3、零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且_______________，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =．
二、二分法：通过每次把f (x )的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法．
三、三次方程的韦达定理：设三次方程32
0(0)ax bx cx d a +++=≠的三个根分别是123,,x x x ，则有： 123122313123
________________________
_______________x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
这个定理的证明并不困难，只要把式子32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---展开，比较x 的
同次项系数即可．
四、整系数多项式的根：若既约分数q p
（即(,)1,0,,p q p p q Z =≠∈）为整系数多项式 1110n n n n a x a x a x a --++++的根，则0|,|n p a q a ．
【典例精讲】
例1、（复旦）设三次方程3
0x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 ． （1）
12-± （B
）12± （C
12i ± （D
）12
i
例2、（复旦千分考）设,(,)a b ∈-∞+∞，0b ≠，,,αβγ是三次方程30x ax b ++=的3个根，则总以
1
11111,,αββγγα
+++为根的三次方程是（ ） （A ）232220a x abx b x a ++-= （B ）2322
20b x abx a x b ++-=
（C ）232220a x ab x bx a ++-= （D ）232220b x a bx ax b ++-=
例3、（交大）32
0x ax bx c +++=的三根分别为,,a b c ，并且,,a b c 是不全为零的有理数，求,,a b c 的值．
例4、（“华约”）请证明：方程0!
!33!212=+++++n x x x x n
在n 为偶数的时候没有实数根，在n 为奇数的时候，有且仅有一个实数根．
例5、（北约）已知2013个实数122013,,...,a a a 满足122013...0a a a +++=，
12232012201320131|2||2|...|2||2|a a a a a a a a -=-==-=-，求证：122013...0a a a ====．
例6、3=的实数根．
例7、（交大）求方程2x x =
+++n 重根）的解．
例8、（交大）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根．问：(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．
例9、（交大）设9k ≥，解关于x 的方程32229270x kx k x k ++++=.
例10、（北约）已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+．
例11、（清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++，使()0f x =．
例12、（年复旦）定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2(
)40151
x f x f x x ++=--， 则(2004)_____f =
【巩固练习】
1、 （“卓越联盟”）若关于x 的方程2||4
x kx x =+，有四个不同实数解，则k 的取值范围为（ ） A 、(0,1) B 、1(,1)4 C 、 1(,)4
+∞ D 、 (1,)+∞ 2、（复旦）已知关于x 的方程26(2)|3|920x x a x a -+--+-=有两个不同的实数根，则系数a 的取值
范围是（ ）
A 、0a >或2a =-
B 、0a <
C 、2a =或0a >
D 、2a =-
3、（交大）设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数是 ．
4、（交大）已知1a ≤≤||x =的相异实根的个数是 ．
5、,x y R =
∈，则(,)x y = ．
6、（交大）,,a b c R ∈，0abc ≠，b c ≠，
2()()()0a b c x b c a x c a b -+-+-=有两个相等根，求证：111
,,a b c 成等差数列．
7、（“北约”）求1210272611=+-++
+-+x x x x 的实数根的个数．
8、（复旦）方程230x x e -=的实根是（ ）
（A ）不存在 （B ）有一个 （C ）有两个 （D ）有三个
9、函数116log y x =与它的反函数的交点个数为 （ ）
（B ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
10、关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是 （ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
11、（交大）当()f x x =时，x 的取值称为不动点．证明：若(())f f x 有唯一不动点，则()f x 也有唯一不动点．
12、(上海交大）函数()|lg |f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==
⎪⎝⎭． （1）求,a b 满足的关系；
（2）证明：存在这样的b ，使34b <<．
13、（复旦）方程2(815)/(2)|3|1x x x x -+--=有（ ）解．
A 、一个
B 、 两个
C 、 三个
D 、四个
14、（复旦）当不等式2tan 4220a a -++≤关于x 有有限个解时，a 的取值是（ ）．
A 、全体实数
B 、 一个唯一的实数
C 、 两个不同的实数
D 、 无法确定
15、（复旦）已知|53||54|7x x ++-=，则x 的范围是 ．
16、（交大）三次多项式()f x 满足(3)2(1)f f =，且有两个相等的实根2，则第三个根为 ．
17、（复旦）解方程3log 2a x x x
a =，x =
18、武大）若关于x 的方程242
630x x a a a +⋅-⋅+-=在[0,2]x ∈上有解，则实数a 的取值范围是
19、年五校联考）设θ是三次多项式3()310f x x x =-+的一个根，且222θθα+-=
．若()h x 是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=，则(0)h =（ ）
A 、-2
B 、2
C 、12-
D 、12
20、（交大）设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：
（1）方程()0f x =总有相同的实根；
（2）存在0x ，恒有0()0f x ≠．
21、（复旦）参数a 取何值时，
21log log (2)1log 2log 2log 2a x a x a x a x --+=： （1）有解？
（2）仅有一解？
22、（南开）方程3210x px qx +++=有3个实根，且0,0p q >>．求证：9pq ≥．
23、（复旦）试构造函数(),()f x g x ，其定义域为(0,1)，值域为[0,1]．
（1）对于任意[0,1]a ∈，()f x a =只有一解；
（2）对于任意[0,1]a ∈，()g x a =有无穷多个解．
24、设1x 与2x 分别是实系数方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个根，且1212,0,0x x x x ≠≠≠ ，求证：方程
202
a x bx c ++=有仅有一根介于1x 和2x 之间.
【本章小结】。