3．1 函数与方程教学设计教案

教学准备

1. 教学目标

1.知识与技能

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

②培养学生的观察能力．

③培养学生的抽象概括能力．

2.过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．

②让学生归纳整理本节所学知识．

2．过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．

②让学生归纳整理本节所学知识．

3.情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

2. 教学重点/难点

重点：零点的概念及存在性的判定．

难点：零点的确定．

3. 教学用具

投影仪等.

4. 标签

数学，函数的应用

教学过程

(一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？

2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

（用投影仪给出）

①方程与函数

②方程与函数

③方程与函数

1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

（二）互动交流研讨新知

函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数x叫做函数

的零点．

函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x 轴交点的横坐标．

即：

方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数

有零点．

函数零点的求法：

求函数的零点：

①（代数法）求方程的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

①代数法；

②几何法．

2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

二次函数的零点：

二次函数

（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

3．零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数的图象：

①在区间上有零点______；

_______，_______,

·_____0（＜或＞＝）．

②在区间上有零点______；

·____0（＜或＞＝）．

（Ⅱ）观察下面函数的图象

①在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

②在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

③在区间上______(有/无)零点；

·_____0（＜或＞＝）．

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

（三）、巩固深化，发展思维

1．学生在教师指导下完成下列例题

例1．求函数f(x)=㏑x＋2x －6的零点个数。

问题：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数，并画出它的大致图象．

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

2．P97页练习第二题的（1）、（2）小题

（四）、归纳整理，整体认识

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

（五）、布置作业

P88页练习第2题的（3）、（4）小题。

课堂小结

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

课后习题

作业

P88页练习第2题的（3）、（4）小题。

板书

略

指数函数教案

指数函数第一课时教案一．教学目标 1. 知识与技能 ①掌握指数函数的概念，图像和性质； ②能由指数函数图像归纳出指数函数的性质； ③指数函数性质的简单应用； ④培养学生作图与读图的能力。 2. 过程与方法师生之间，学生与学生之间合作与交流，逐步使学生学会共同学习。 3. 情感态度与价值观 ①通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的学习兴趣，体会指数函数是一种重要的函数模型，并且由广泛的用途，逐步培养学生的应用意识。 ②在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段。二．教学重点 1. 指数函数的概念的理解； 2. 指数函数的图像和性质。三．教学难点底数a 对函数值变化的影响。四．教学过程 1. 以生活实例引入新课材料一：一把一米长的尺子第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之间的关系。（学生思考，老师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中的有效信息，并简单板书。）材料二：(细胞分裂问题)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？（方法同上）从问题的解决回到数学问题：比较关系式：x y )2 1 (=，x y 2=有何异同？（学生讨论，老师及时总结得到如下结论）在x y ) 2 1(=和x y 2=中，每给一个x 的值都有唯一的一个y 值和它对应，因此关系式 x y )2 1 (=和x y 2=都是y 关于x 的函数，且函数形式相同，解析式的右边都是指数形式，且自变量都在指数位置上。由此引出函数模型x a y = 2. 讲解新课 ⑴．指数函数的概念一般的，形如x a y =的函数叫做指数函数。（其中x 是自变量，a 称为指数函数的底。） ⑵.指数函数概念理解和辨析 ①函数2 x y =与x y 2=有什么区别？

【新教材】新人教A版必修一函数与方程教案

2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案 1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系方程f(x）＝0有实数根?函数y＝f(x）的图象与x轴有交点?函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理) 如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系 Δ>0Δ＝0Δ〈0 二次函数y＝ax2＋bx ＋c（a〉0)的图象与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点零点个数210 概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点? 提示不能．题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×）（2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√）（4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x)

指数函数及其性质教案

指数函数及其性质教案课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质教学目标知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点重点：指数函数的概念和图像难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质教学流程设计（一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念（1）规定底数大于零且不等于1的理由：如果=0，如果等等时，在实数范围内实数值不存在如果是一个常量，对它就没有研究的必要（2）形式上的严格性指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数（二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像

高一数学函数与方程教案

本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫。 2.学情分析学生在学习了上小节的内容后，对方程的根的存在性有了一定的了解。在使用计算器上也不会有任何问题。主要的困难在于对这种算法的理解以及对教材中归纳的使用二分法求方程近似解一般步骤和精确度的理解。因此在教学上可设置生动的情境（比如价格竞猜）引入，来帮助学生理解二分法的实质。同时应放慢教学速度，用3课时把这些内容讲清楚。具体课时分布如下：

中学课堂教学设计表

教学手段通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．教学过程设计（详细过程）【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，我们还要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）；（2）. 学生活动：回答，思考解法。教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。教师活动：用屏幕显示函数的图象。学生活动：观察图像，思考作答。教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写的实数根和函数图象与x轴的交点。学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。

高三数学一轮复习教案：函数与方程必修一

必修Ⅰ—08 函数与方程１、函数的零点与方程的根：一般地，对于函数 ()f x ，如果存在实数c ，当x c =时，()0f c =，那么把x c = 叫做函数()f x 的零点.解方程()0f x =，即得()f x 的所有零点. ２、二分法的基本思想：（１）先找到a b 、，使(),()f a f b 异号，说明在区间()a b 、内一定有零点，然后求()2 a b f +. （２）假设()0,()0,f a f b a b <><，如果()2a b f +=0，该点就是零点；如果()2 a b f +<0，则在区间(,)2a b b +内有零点，如果()2a b f +>0，则在区间(,)2 a b a +内有零点，（３）按上述方法再求该区间中点的函数值，这样就可以不断接近零点.通过每次把()f x 的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法. ３、函数的零点存在性：如果函数()f x 在区间(,)a b 上是连续不间断的，且()()0f a f b ?<，则函数()f x 在区间(,)a b 上存在实数c ，当x c =时， ()0f c =， x c =称为函数()f x 在区间(,)a b 上的一个零点.它只能判定函数在区间上有零点，但不能判定具体个数. 例1、已知函数 2()log f x x =，问方程()0f x =在区间1,44??????上有没有实数根，为什么？例2、用二分法求函数 3()3f x x =-的一个正实数零点（精确到0．１）.

例3、若函数2()f x x ax b =++的两零点为—２和３，则方程(2)0f x -=的解是 . 例4、已知二次函数2()f x ax bx c =++.若,a b c >>且(1)0f =，试证明()f x 必有两个零点.

2019高中数学必修1教案§3.1.1方程的根与函数的零点

第三章函数的应用一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系. 2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想. 3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 . 4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识. 二、编写意图和教学建议 1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）. 2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法. 3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率. 4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养. 5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 . 三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时. 3.1 函数与方程 3课时 3.2函数模型及其应用 4课时实习作业 1课时

高中数学必修一函数与方程教学设计(3)

函数与方程教学设计（3）一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。二、教学目标解析 1．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。

指数函数教学设计

指数函数教学设计 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

《指数函数》教学设计三、目标分析１．知识技能目标掌握指数函数的概念、图象和性质。２．过程与方法目标通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。难点： 1、对于1>a 和10<0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。