函数与方程教案
函数与方程的基本概念教案
函数与方程的基本概念教案导入部分：本节课主要介绍函数与方程的基本概念，帮助学生对这两个数学概念有清晰的理解。
函数和方程在数学中起到了重要的作用，是许多数学领域的基础。
了解它们的定义和性质，对于学习和应用数学知识都具有重要的意义。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个变量与另一组变量之间的关系。
它将一个集合的元素映射到另一个集合上。
函数可以用符号表示，也可以用图像表达。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质- 单调性：函数的增减趋势。
- 奇偶性：函数关于原点的对称性。
- 周期性：函数具有的重复性质。
二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是等式的一种特殊形式，它表示两个表达式相等。
方程中的未知数可以是一个或多个，我们通过解方程来求解未知数的值。
2.2 方程的解解方程就是找到使得方程成立的未知数的值。
方程的解可以是一个或多个，也可能没有解。
求解方程的方法有代入法、加减消法、配方法等。
三、函数与方程的关系3.1 方程可以表示函数一个函数可以用方程的形式表示。
方程中的一个未知数作为自变量，方程的解作为函数的取值。
3.2 函数的图像可以帮助解方程函数的图像是函数的可视化表示，可以用来解方程。
当我们对函数的图像有一定的了解时，可以通过观察图像找到方程的解。
四、函数与方程的应用4.1 函数与数学建模函数与方程在数学建模中起着重要的作用。
通过建立数学模型，我们可以用函数和方程来描述和解决实际问题。
4.2 函数与图像的应用函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点。
在图像的基础上，我们可以进行函数的分析和应用。
五、巩固练习通过一些小题目和案例分析，帮助学生巩固所学的知识。
总结部分：本节课我们学习了函数与方程的基本概念。
函数是一种变量间的映射关系，可以用符号或图像表示，并具有一些特性，如单调性、奇偶性和周期性等。
方程是等式的一种形式，可以通过解方程求解未知数的值。
函数与方程之间存在密切的关系，方程可以表示函数，函数的图像可以帮助解方程。
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。
2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。
2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。
3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。
4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。
三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。
2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。
3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。
4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。
5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。
6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。
7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。
四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。
五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。
一次函数与一元一次方程教案
一次函数与一元一次方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解一次函数的概念，能够正确表示一次函数。
（2）掌握一元一次方程的解法，能够解简单的一元一次方程。
（3）能够将实际问题转化为一次函数和一元一次方程，并解决问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等方法，理解一次函数的性质。
（2）运用代数方法，解决一元一次方程的问题。
（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心。
（2）培养学生勇于探究、合作学习的精神。
（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 一次函数的概念和性质（1）介绍一次函数的定义。
（2）讲解一次函数的图像特征。
（3）引导学生探究一次函数的性质。
2. 一元一次方程的解法（1）介绍一元一次方程的定义。
（2）讲解一元一次方程的解法。
（3）引导学生运用一元一次方程解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）一次函数的概念和性质。
（2）一元一次方程的解法。
（3）运用一次函数和一元一次方程解决实际问题。
2. 教学难点：（1）一次函数的图像特征。
（2）一元一次方程的解法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和一元一次方程的性质和解法。
2. 通过实例分析，让学生理解一次函数和一元一次方程在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合的思想，帮助学生直观理解一次函数的图像特征。
五、教学准备1. 教学课件：一次函数和一元一次方程的相关知识点。
2. 实例素材：一些实际问题，用于引导学生运用一次函数和一元一次方程解决问题。
3. 练习题：针对一次函数和一元一次方程的知识点，设计一些练习题，用于巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入：通过生活实例，引导学生思考问题，引出一次函数和一元一次方程的概念。
2. 讲解：讲解一次函数的概念、性质、图像特征，以及一元一次方程的解法。
3. 探究：学生分组讨论，探究一次函数和一元一次方程的性质，尝试解决实际问题。
《2.9第九节 函数与方程》 教案
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【巩固】 4．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x>0 时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，则在 R 上，函数 f(x) 零点的个数为________．
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解析：函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝2 012x＋log2
)
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1 解析：选 A 注意到函数 f(x)＝ 5 x－log3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当 0<x1<x0 时，有 f(x1)>f(x0)，又 x0 是函数 f(x)的零点，因 此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正值，选 A.
－
－
＝e2>0，所以 f(0)· f(1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．
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1 3．已知函数 f(x)＝ 5 x－log3x，若 x0 是函数 y＝f(x)的零点，且 0<x1<x0，则 f(x1)的值( A．恒为正值 C．恒为负值 B．等于 0 D．不大于 0
第九节
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 方程的根与函数零点的关系 2. 函数零点的判断方法 知识点 3. 二分法的概念 4. 用二分法求函数零点问题 5. 函数零点个数问题 6. 函数与方程的综合问题 教学目标 教学重点 教学难点
函数与方程
适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 . 函数的零点及二分法 函数的零点及二分法
高中三年级数学课教案：函数与方程
高中三年级数学课教案：函数与方程函数与方程一、引言数学是学生中较为普遍的一门课程，在高中阶段，数学课程的难度逐渐加深。
而在高中三年级的数学课程中，函数与方程是重要的内容之一。
本教案将围绕函数与方程展开，通过合理的课堂设计，帮助学生掌握相关概念和解题方法。
二、函数与方程的概念1. 函数的定义函数是一个数学对象，它将一个或多个给定的数映射到另一个数上。
函数由定义域、值域和映射规则组成。
2. 方程的定义方程是一个等式，它表达了两个表达式之间的平衡关系。
方程中通常含有未知数，我们需要找到未知数的值使得等式成立。
三、函数与方程的关系1. 函数与方程的异同函数与方程都是数学对象，二者的主要区别在于函数是一种特殊的方程，它具有映射关系。
而方程更加广义，它可以没有映射关系。
2. 函数与方程的联系方程可以表示为函数的形式，而函数可以通过解方程得到具体的值。
函数和方程的联系有助于我们更好地理解和应用数学知识。
四、函数与方程的实际应用1. 函数的实际应用函数在实际生活中有广泛的应用，如物理领域的速度函数、经济学中的供求函数等。
通过掌握函数的性质和变化规律，我们可以更好地解释和分析实际问题。
2. 方程的实际应用方程在解决实际问题中起着重要的作用，如在物理学中用方程描述物体的运动状态，在经济学中用方程描述市场的供求平衡。
通过掌握方程的求解方法，我们可以解决许多实际问题。
五、函数与方程的解题方法1. 函数的解题方法函数的解题方法主要包括图像法、符号法和推导法。
通过综合运用这些方法，我们可以求得函数的性质、图像以及解析式。
2. 方程的解题方法方程的解题方法主要包括平衡法、代入法、消元法等。
不同类型的方程需要采用不同的解题方法，我们需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
六、函数与方程的拓展应用1. 函数与方程的图像描述通过绘制函数和方程的图像，可以更直观地了解其性质和变化规律。
同学们可以通过练习绘图，提高对函数和方程的理解。
高中数学函数与方程教案
word1 / 1 函数与方程1．教学目标〔1〕能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．〔2〕能够借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的实质．〔3〕体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．2．编写意图与教学建议〔1〕二次函数与一元二次方程ⅰ〕教材通过观察函数图象，给出二次函数与一元二次方程的关系。
在判断一元二次方程的实根个数时，应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向，说明判别式的符号与方程根的个数的关系．ⅱ〕方程实根分布问题，这里仅限于掌握：①利用一元二次方程根的判别式判别根的个数；②通过图象了解，假设f(x)=ax2+bx+c,且f(p)f(q)＜0 〔p ＜ｑ〕,那么方程f(x)=0必有一根x0∈(p ，q)。
ⅲ〕通过二次函数的零点与方程根的关系，结合图象得出一般性结论：ⅳ〕P75例2，进一步表达了数形结合的思想。
本例及思考应结合图象，让学生理解并得出如下结论： ①函数f 〔x 〕在[a ，b]上图象连续，假设f 〔a 〕f 〔b 〕〈0，那么函数f 〔x 〕在区间〔a ，b 〕上存在零点，但零点个数不唯一。
反之不成立。
②函数f 〔x 〕在[a ，b]上图象连续且为单调函数，假设f 〔a 〕．f 〔b 〕〈0，那么函数f 〔x 〕在区间〔a ，b 〕上有且仅有一个零点。
〔2〕用二分法求方程的近似解ⅰ)用二分法求方程的近似解，主要是找一个区间(m ，n)，使f(m)＞0，f(n)＜0，然后通过取区间的中点p ＝m ＋n 2，判断f(p)的符号，以决定取区间(m ，p)还是区间(p ，n)(如果f(p)＝0，那么p 就是方程的根)，逐步缩小区间的“长度〞，直到区间的两个端点的近似值相同〔符合精确度要求〕．ⅱ)二分法求方程近似解的方法表达了一个对方程的根逐渐“逼近〞的思想。
其理论依据是：函数f 〔x 〕在[a ，b]上图象连续，假设f 〔a 〕f 〔b 〕〈0，那么函数f 〔x 〕在区间〔a ，b 〕上存在零点。
高中数学人教A版必修1教案-3.1_函数与方程_教学设计_教案_3
教学准备1. 教学目标一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。
知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。
过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。
2. 教学重点/难点二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想3. 教学用具4. 标签教学过程（2）下面的这些方程:、、能用我们以前的方法求解吗？2.展示学习目标3.复习回顾上节课的知识要点（1）方程的根与函数零点之间的等价关系的根可以转化为函数零点存在性定理4.两个生活情境问题（1）找假币：有八枚硬币，其中有一枚硬币是假币，假币的质量要比真币的质量小。
可以使用天平作为工具，要想把这枚假币找出来，最少可以称量几次？如何操作？（2）猜价格：播放中央电视台经济频道《购物街》节目中“猜价格”的视频片段。
思考：两个生活情境你有什么启发？5.（1）通过两个生活实例，结合零点存在定理，可以发现：我们可以用“取中点”的方法来逐步缩小零点所在的区间，从而把函数的零点逼近出来。
小组合作探究，利用这个思想方法，借助计算器，逐步缩小函数的零点所在的区间。
（2）计算何时终止？提出“精确度”的概念。
（3）讨论探究：为什么只要区间长度，就可以把区间内的任何一个数作为零点的近似值。
（4）展示探究结果6.给出二分法的定义和二分法的操作步骤，并用口诀的方式帮助学生记忆二分法的操作步骤：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断。
7.分别从二分法的概念，二分法的操作步骤两个方面给出两类题型：8.当堂完成下面的题目9.（1）提问：这节课你有什么收获？（2）课件展示本节课的知识框架，并对本节课的重点内容和难点内容加以强调。
19.2.3一次函数与方程、不等式(教案)方案
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与一元一次方程、不等式的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的表达式，它描述了两个变量之间的线性关系。一元一次方程和不等式则是解决实际问题时常用的数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过一次函数图像来求解一元一次方程和不等式，以及它如何帮助我们解决实际问题。
举例解释：
-对于难点一，教师可以通过具体的图像和方程例子，如y=3x-4与方程3x-4=0，引导学生观察图像上与x轴交点的坐标，从而理解该点即为方程的解。
-对于难点二，教师可以设计一些具有实际背景的题目，如“小明买苹果，每千克x元，买y千克需要花费多少钱？”并指导学生如何从中提取数学信息，建立一次函数模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数、方程和不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在新课讲授中，我注意到学生们对于案例分析部分较为感兴趣，能够积极参与讨论。但在重点难点解析部分，部分学生仍存在理解困难，尤其是在将实际问题抽象为数学模型方面。为此，我调整了教学方法，通过更多具体的例子和引导性问题，帮助学生逐步建立起一次函数、方程和不等式之间的联系。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利，但成果展示时，部分小组的表达能力较弱，需要我在以后的教学中加强对学生表达能力的培养。同时，我也发现有些小组在讨论过程中过于依赖我，缺乏独立思考的能力，这一点我将在以后的教学中加以引导和改进。
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第四章：函数应用
§1：函数与方程
教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。
其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。
教学目标：1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。
2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。
重点难点：根据二次函数图像与x 轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。
复习引入：
同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。
在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。
现在来看几个方程：①ax+b=0(a ≠0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－a
b .②ax 2+bx+c=0(a ≠0) 这是一个一元二次方程，在对一元二次方程求解时我们会先用判别式△=b 2－4a
c 来判断方程是否有实解。
当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x 1≠x 2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x 1=x 2;当△＜0时，
一元二次方程没有实数根。
当方程有实数根时，我们可以通过求根公
式求出一元二次方程的根：x=a
ac b b 242-±-。
③x 5+4x 3+3x 2+2x+1=0
我们知道这是一个一元五次方程，对于这样一个高次方程大家会不会求解？能不能知道这个方程是否有解？下面我们就来学习怎样判断一个给定方程的解是否存在的问题？
（写标题）1.1利用函数性质判定方程解的存在
一、例1：给出三个方程：x2-2x-3=0； x2-2x+1=0 ；x2-2x+3=0 分析：这三个都是简单的一元二次方程，我们可以通过判别式△来判断方程是否有解，若有解，也能很容易的求出。
解：①△＞0 x
1=3，x
2
=-1；对应函数：f(x) = x2-2x-3
②△=0 x
1= x
2
=1；对应函数：f(x) = x2-2x+1
③△＜0 无实解；对应函数：f(x) = x2-2x+3
图像：
提问：观察求出的三个方程的根与对应函数的图像有什么关系？
总结：①一元二次方程的根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。
②一元二次方程根的个数与对应函数图像与x轴交点的个数相
等。
对于函数图像与x轴的交点，我们来学习一个新的数学名词——函数零点。
二、函数零点
1．概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个
函数的零点。
说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。
②零点是一个实数，并不是一个点。
③函数的零点就是相应方程的根。
④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。
学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。
因此得到判断零点的方法。
2．判断零点的方法：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。
可得出：方程f(x)=0的实
根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。
那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？
观察例1中第一个方程的对应图像：f(x) = x2-2x-3
从图像上看，我们知道函数f(x) = x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。
且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0; f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0,f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x) = x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x) = x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。
因此可以得到以下结论：
3.零点存在性定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲
线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b ）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b ）内至少有一个实数解。
零点存在性定理是用来判断一个方程是否存在解的，因此，现在我们可以来判断上课开始的那个一元五次方程是否存在解了？ x 5+4x 3+3x 2+2x+1=0
解：考虑f(x) = x 5+4x 3+3x 2+2x+1
试探：当x=0时，f(0)=1＞0；当x=1时，f(1)=1+4+3+2+1=11＞0；
当x=-1时，f(-1)=-1-4+3-2+1=-3＜0 ∴f(0)×f(-1)＜0 则函数f(x) = x 5+4x 3+3x 2+2x+1在区间（-1,0）内至少有一个零点，即方程在（-1,0）内至少有一个实数解。
三、 举例：
例2：已知函数f(x) =3x -x 2，问：方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解？
分析：问方程在区间内有没有实数解，意味着什么?即要判断相应函
数在这个区间[-1,0]内有没有零点，由零点存在性定理，我们只需验证f(0)×f(-1)是否小于0。
解：∵f(-1)=31 -（- 1）2=31-1=-3
2＜0, f(0)= 30-（0）2=1＞0，f(0)×f(-1)＜0
而函数f(x) =3x -x 2的图像是连续曲线，∴f(x) 在区间[-1,0]内有零点，即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解。
例3：判定方程（x -2）（x -5）=1有两个相异的实数解，且一个大于
5，一个小于2。
分析：转化判断函数f(x) =（x-2）（x-5）-1在区间（-∞，2）和(5, +∞) 内各有一个零点。
解：考虑函数f(x) =（x-2）（x-5）-1，有f(2) =（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5) =（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点a，使f(a)＞0；在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。
所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。
四、零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，
函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间
（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数
解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。
那改为f(a)×f(b)
＞0时，
问题：如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)＞0，那么函数y=f(x) 在区间（a,b）内是
否有零点?可能有几个零点？
解：零点个数可以是任意自然数。
可讨论在区间[-3,3]上函数零点个数，来画图进行观察。