学案11函数与方程
学案11 函数与方程
自主梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使________成立的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．
(2)方程f (x )＝0有实根?函数y ＝f (x )的图象与____有交点?函数y ＝f (x )有________．
2．函数零点的判定
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y ＝f (x )在区间________内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得________，这个____也就是f (x )＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
2
Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a >0)的图象
与x 轴的交点 ________，
________
________ 无交点
零点个数 ________ ________ ________ 第一步，确定区间[a ，b ]，验证________________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a ，b )的中点c ； 第三步，计算______：
①若________，则c 就是函数的零点；
②若________，则令b ＝c [此时零点x 0∈(a ，c )]； ③若________，则令a ＝c [此时零点x 0∈(c ，b )]；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复第二、三、四步．
自我检测
1．(2010·福建)f (x )＝?
????
x 2＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x x >0的零点个数为
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( )
A ．至少有一个
B ．至多有一个
C ．有且只有一个
D ．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A．①②B．①③
C ．①④
D ．③④
4．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x
＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根所在的区间是 ( )
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定
5．(2011·福州模拟)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x
＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )
A ．f (x )＝4x －1
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
－1 D ．f (x )＝ln(x －0.5)
探究点一 函数零点的判断
例1 判断函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数．
变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是 ( )
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
探究点二 用二分法求方程的近似解
例2 求方程2x 3
＋3x －3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f (x )＝x 3
＋ln ? ????x ＋12的零点时，第一
次经计算f (0)<0，??
?
??21f >0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为
( )
A.? ????0，12 ??
? ??21f
B ．(0,1) f ? ??
??12 C.? ????12，1 ??
? ??43f
D.? ????0，12 ?
?
? ??41f
探究点三 利用函数的零点确定参数
例3 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2
＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
变式迁移3 若函数f (x )＝4x ＋a ·2x
＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．
1．全面认识深刻理解函数零点：
(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝0的实数x ；
(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标；
(3)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相切，则零点x 0通常称为不变号零点； (4)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相交，则零点x 0通常称为变号零点． 2．求函数y ＝f (x )的零点的方法：
(1)(代数法)求方程f (x )＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f (a )·f (b )<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不间断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点； (2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·天津)函数f (x )＝2x
＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
2．(2011·福州质检)已知函数f (x )＝log 2x －? ??
??13x
，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且
0 ) A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正 D ．不小于零 3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( ) 4．函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1、x 2，且x 1 5．(2011·厦门月考)设函数f (x )＝? ???? 4x －4， x ≤1 x 2－4x ＋3，x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x ) ＝f (x )－g (x )的零点个数是 ( ) 题号 1 2 3 4 5 答案 6．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 006x ＋log 2 006x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 7．(2011·深圳模拟)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________． 8．(2009·山东)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2 ＋x 2＋14 . 证明：存在x 0∈(0，1 2 )，使f (x 0)＝x 0. 10．(12分)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2 －p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围． 11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2 ，3a >2c >2b ，求 证： (1)a >0且－3 4 ； (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点； (3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<57 4 . 答案自主梳理 1．(1)f(x)＝0 (2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0c 3.(x1,0) (x2,0) (x1,0) 两个一个无 4.f(a)·f(b)<0 f(c) ①f(c)＝0 ②f(a)·f(c)<0 ③f(c)·f(b)<0 自我检测 1．C [当x≤0时，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 所以已知函数有两个零点．] 2．B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧． 解方法一设f(x)＝ln x＋2x－6， ∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数， ∴f(x)也是增函数． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数， ∴函数在(1,3)上存在唯一零点． 方法二在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点． 变式迁移1 B [由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右 边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．]例2解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程； ②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)·f(b)<0； ③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度 的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一． A 级 基础通关 一、选择题 1．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 1 2 B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12 x D ．y ＝1 x 解析：易知y ＝2－x 与y ＝log 12x ，在(0，＋∞)上是减函数，由幂函数性 质，y ＝1 x 在(0，＋∞)上递减，y ＝x 1 2在(0，＋∞)上递增． 答案：A 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ＞0时，f (x )＝2x ＋2x －4，则f (x )的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故f (0)＝0. 由于f ? ?? ?? 12·f (2)＜0， 而函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故当x ＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知， 当x ＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点． 答案：B 3．(2019·山东省实验中学联考)设实数a 、b 、c 满足a ＝2－log 23，b ＝a －1 3 ，c ＝ln a ，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C． a＜c＜b D．b＜c＜a 解析：因为a＝2－log23＝2log23－1＝1 3. 所以c＝ln a＝ln 1 3＜0，b＝? ? ? ? ?1 3 － 1 3＝3 1 3＞1. 因此b＞a＞c. 答案：A 4．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log a|x|的 图象大致是( ) 解析：由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a＞1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝log a|x|的图象关于y轴对称．因此y＝log a|x|的图象大致为选项B. 答案：B 5．(2019·衡水质检)若函数f(x)＝|log a x|－3－x(a＞0，a≠1)的两个零点是m，n，则() A．mn＝1 B．mn＞1 C．mn＜1 D．无法判断 解析：令f(x)＝0， 得|log a x|＝1 3x， 则y＝|log a x|与y＝1 3x的图象有2个交点， 不妨设a＞1，m＜n，作出两函数的图象(如图)． 第八讲《函数与方程》 【学习目标】理解零点与方程实数解的关系，掌握函数的概念，性质，图像和方法的综合问题，熟悉导数与零点的结合，方程，不等式，数列与函数结合的问题。【基础知识回顾】： 1、 2.用二分法求方程近似解的一般步骤： 【基础知识自测】 1、已知不间断函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且)()(b f a f ?<0，则方程0)(=x f 在区间??b a ,上 （ ） （A ） 至少有一实根 （ B ） 至多有一实根 （C ）没有实根 （ D ）必有唯一的实根 2、函数x x f x 2ln )(- =的零点所在的大致区间是（ ） （A ） （1，2） （ B ） （2，3） （ C ） （e,3） （ D ）(e,+∞) 4、若函数)(x f 的图像与函数)(x g 的图像有且只有一个交点，则必有（ ） （A ）、函数)(x f y =有且只有一个零点 （B ）、函数)(x g y =有且只有一个零点 C 、函数)()(x g x f y +=有且只有一个零点 D 、函数)()(x g x f y -=有且只有一个零点 5、已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示，令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解得叙述正确的是 ① 有三个实根 ② 当x>1时，恰有一实根 ③当0 重庆市高考数学一轮专题：第11讲函数与方程B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）已知函数f（x）=ln（x+1）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x00.50.531250.56250.6250.751 f（x）﹣1.307﹣0.084﹣0.0090.0660.2150.512 1.099 由二分法，方程ln（x+1）+2x﹣m=0的近似解（精确度0.05）可能是（） A . 0.625 B . ﹣0.009 C . 0.5625 D . 0.066 2. （2分） (2019高二上·南宁月考) 设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f(x)- g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的解，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）． A . B . C . D . 3. （2分）函数的零点所在的区间是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2018高二下·辽源月考) 若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是（） A . [－2,2] B . [0,2] C . [－2,0] D . (－∞，－2)∪(2，＋∞) 5. （2分） x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（） A . 14 B . 7 C . 18 D . 13 6. （2分）设,用二分法求方程在内近似解的过程中得 则方程的根落在区间（） A . (1,1.25) B . (1.25,1.5) C . (1.5,2) D . 不能确定 7. （2分）关于用二分法求近似解的精确度的说法，正确的是（） A . 越大，零点的精确度越高 B . 越大，零点的精确度越低 函数与方程 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[] ,a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[] ,a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[] ,a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[] ,a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则 重复第二、三、四步。 （20-40分钟） 类型一求函数的零点 例1：求函数y ＝x －1的零点： 第11讲函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使的实数x叫作函数y=f (x)(x∈D)的零点. (2)等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与有交点?函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y= ax2+bx+ c(a>0) 的图像 与x轴的交 无交点 点 零点个数 常用结论 1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点. 题组一常识题 1.[教材改编]函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是. 2.[教材改编]如果函数f(x)=e x-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= . 3.[教材改编]函数f(x)=x3-2x2+x的零点是. 4.[教材改编]若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是. 题组二常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零). 5.函数f(x)=x+1 的零点个数是. x 6.函数f(x)=x2-3x的零点是. 7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是. 8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是. 探究点一函数零点所在区间的判断 例1 (1)函数f(x)=e x-x-2在下列哪个区间上必有零点 () A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= . (2)已知函数f(x)=lg x+5 4 [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断. 变式题[2018·南昌模拟]函数f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的区间为() x2 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 答案部分 1．C 【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根， 即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示， x y –1–2123 –1 –2 1 23O 由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ． 2．C 【解析】令()0f x =，则方程1 12()2x x a e e x x --++=-+有唯一解， 设2 ()2h x x x =-+，1 1()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点， 又1111 1()2x x x x g x e e e e --+--=+=+ ≥，当且仅当1x =时取得最小值2． 而2 ()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1， ()()ag x h x =有唯一的交点，则1 2 a = ．选C ． 3．B 【解析】当01m <≤时， 1 1m ≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，(1)1g m =+， 所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，1 01m <<，函数2 ()(1)y f x mx ==-，在 1[0, ]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1 [0,]m 无交点， 要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2 (1)1m m -+≥，解得3m ≥． 选B ． 铁山兰教育五星级私人教师教案 教材梳理 知识点一零点与方程根 1.函数的零点: 如果函数在实数处的值等于零，即， 则叫做这个函数的零点. 归纳: 方程有实数根函数的图象与轴有交点 函数有零点． 2.求函数的零点 ①(代数法)求方程的实数根； ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点． 3.二次函数零点的判定 二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表: 4.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时（不是二重零点）,函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立. 5.二次函数的零点的应用 ①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质. 引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数. 6.零点存在性的探索 (1)观察二次函数的图象: ①在区间上有零点__________;_______， _______, ______0（＜或＞＝） ②在区间上有零点__________;_______0（＜或＞＝）． (2)观察下面函数的图象 ①在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）． ②在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）． ③在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）． 提出问题: ①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ ②怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？ 7.零点存在定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 知识点二用二分法求方程的近似解 1.二分法定义: 对于在区间上连续不断,且满足的函数,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法. 2.二分法步骤: 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： (1)确定区间,验证,给定精度； (2)求区间的中点； (3)计算： ①若，则就是函数的零点； ②若，则令（此时零点）； ③若，则令（此时零点）； (4)判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）； 否则重复步骤 知识点三函数的模型及其应用 (1)几类不同增长的函数模型 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 (2)函数模型及其应用 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①收集数据； 3.1 函数与方程 互动课堂 疏导引导 ３．１．１方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数y=f(x)(x ∈D)，把使f(x)=0的实数 x 叫做函数y=f(x)(x ∈D)的零点． 2.函数零点的意义 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数y=f(x)有零点． ３．函数零点存在的条件 如果函数f(x)在区间［a, b ］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c ∈(a ，b)使得f(x)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根. 4．函数零点的求法 求函数y=f(x)的零点： （1）代数法：求方程f(x)=0的解； （2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点． 5.函数零点的意义 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标． 即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x 轴有交点函数y=f(x)有零点． ●案例1函数f(x)=lnx- x 2 的零点所在的大致区间是( ) A. (1, 2) B. (2, 3) C. ( e 1 , 1)和（3,4） D. (e, +∞) 【探究】 从已知的区间（a, b ），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0. ∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0， ∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A 不对. 又f(3)=ln3- 3 2 >0， ∴f(2)·f （3）<0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点. 【答案】 B 【溯源】 这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a, b ］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx- x 2 的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b ］使f(a)f(b)<0. ●案例2 二次函数y=ax 2 +bx+c 中，a ·c<0，则函数的零点个数是( ) A. 1 B. 2 高三新数学第一轮复习教案（讲座6） 函数与方程 一．课标要求： 1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 （1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．要点精讲 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0)()( 函数与方程 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 掌握函数的零点和二分法的定义． 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数 ()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方 法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。 3.1.1 《方程的根与函数的零点》导学案 【学习目标】 1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系； 2．掌握零点存在的判定条件． 【重点难点】 重点: 零点的概念及存在性的判定． [来源:学|科|]．零点的确定: 难点【知识链接】 （预习教材P~ P，找出疑惑之处）88862+bx+c=0 (a0)复习1：一元二次方程的解法．ax?一二次方程的根的判别式= ．?当0，方程有两根，为；?x?1,2当0，方程有一根，为；?x?0 当0，方程无实数．? 22+bx+c (=axa0)的图象之间有什么关系？2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y复习ax?? 判别式一元二次方程二次函数图象 0??0??0? 【学习过程】 ※学习探究 探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题： 22的图象与x轴有，函数个交点，坐标①方程的解为3?2y?xx?0?x?2?3x 为． 22的图象与x轴有，函数个交点，坐标②方程的解为1?2xy?x?0xx?2?1? 为．:ZXXK]来源[22个交点，坐标轴 有，函数的图象与x的解为③方程3x?y?x?20x??2x?3 ．为 根据以上结论，可以得到：220)(a??bx?c?00)axbx??c?0(a?y?ax的图象与的根就是相应二次函数一元二次方程．x轴交点的 吗？你能将结论进一步推广到)x?f(y ．零点叫做函数的实数：对于函数新知，我们把使x的（zero point）0f(x)?)((?yfx)y?fx ：反思轴交点的横坐标，三者有的实数根、函数的图象与的零点、方程函数x0?xf())yx)(f?yx(?f 什么关系？ 2.9 函数与方程 一．【目标要求】 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念： 对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有点?函数)(x f y =有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()(<或恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()( 第8讲 函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 3．二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象 与x 轴 的交点 (x 1，0)，(x 2，0) (x 1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( ) (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在b 2 －4ac <0时没有零点．( ) (4)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化] 1．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致范围是( ) 第二讲 函数与方程 A: 题型一 判断给定函数有无零点以及零点个数的确定 1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点： （1）f (x )=x 2-3x -18,x ∈［1，8］； （2）f (x )=x 3-x -1,x ∈［-1，2］； （3）f (x )=log 2(x +2)-x ,x ∈［1，3］. 解（1）方法一 因为f(1)=-20＜0,f(8)=22＞0， 所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)=x 2-3x-18，x ∈［1，8］存在零点. 方法二 令x 2-3x-18=0,解得x=-3或6, 所以函数f(x)=x 2-3x-18,x ∈［1，8］存在零点. （2）∵f （-1）=-1＜0,f(2)=5＞0, ∴f （x ）=x 3-x-1，x ∈［-1，2］存在零点. （3）∵f （1）=log 2（1+2）-1＞log 22-1=0. f(3)=log 2(3+2)-3＜log 28-3=0.∴f （1）·f （3）＜0 故f(x)=log 2(x+2)-x 在x ∈［1，3］上存在零点. 2.求下列函数的零点： (1)y =x 3-7x +6;(2)y =x +x 2-3. 解（1）∵x 3-7x+6=(x 3-x)-(6x-6) =x(x 2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x 2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3) 解x 3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0 可得x 1=-3,x 2=1,x 3=2. ∴函数y=x 3-7x+6的零点为-3,1,2. (2)∵x+.) 2)(1(23322 x x x x x x x --=+-=- 解x+,032=-x 即x x x )2)(1(--=0,可得x=1或x=2. ∴函数y=x+x 2-3的零点为1，2. （3）32)(2+--=x x x f ；（4）1)(4-=x x f （5）322--=x x y （6）x x y 1 - =（7）72)(+=x x f （8）2223+--=x x x y （9）6423++-=x x x y 2.（1）求函数x x x x f 23)(23+-=的零点的个数； 答案1 （2）求函数x x x f 64)(3-=的零点的个数； （3）求函数x x x f 4 )(- =的零点的个数； （4）求方程02424=--x x 在区间[-1，3]内至少有几个实数解； （5）求函数123+--=x x x y 在[0，2]上的零点的个数； 第6讲 函数与方程 学案 【考点简介】 函数与方程是数学中非常重要的思想方法之一，它从不同的角度研究问题并且经常在二者之间合理转化，能够很好的考查学生的数学思维，因此，也是自主招生考试中常常出现的问题．本节就三次方程的韦达定理及函数与方程中的重点题型加以讲解，须深入体会其中的数学含义． 【知识拓展】 一、方程的根与函数的零点： 1、对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点； 2、方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点； 3、零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且_______________，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =． 二、二分法：通过每次把f (x )的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法． 三、三次方程的韦达定理：设三次方程32 0(0)ax bx cx d a +++=≠的三个根分别是123,,x x x ，则有： 123122313123 ________________________ _______________x x x x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 这个定理的证明并不困难，只要把式子32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---展开，比较x 的 同次项系数即可． 四、整系数多项式的根：若既约分数q p （即(,)1,0,,p q p p q Z =≠∈）为整系数多项式 1110n n n n a x a x a x a --++++的根，则0|,|n p a q a ． 【典例精讲】 例1、（复旦）设三次方程3 0x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 ． （1） 12-± （B ）12± （C 12i ± （D ）12 i 例2、（复旦千分考）设,(,)a b ∈-∞+∞，0b ≠，,,αβγ是三次方程30x ax b ++=的3个根，则总以 第9讲 函数与方程（2） 考点1函数的零点 考法1函数零点的概念 1.把函数()y f x =的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.也可说成是使函数值为零的自变量的值. 函数的零点是一个实数，而不是点，例如函数1y x =+的零点为1-，不是(1,0)-. 因此，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根.2()23f x x x =--的零点就是方程2230x x --=的两个实根. 2.并不是每一个函数都有零点，如函数2()1f x x =+没有零点. 3.若函数有零点，零点一定在定义域内. 考法2存在性定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()f a ()0f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使 ()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 函数在区间[,]a b 上有零点必须满足两个条件：①连续；②()()0f a f b ?<. 1.函数1()f x x =，易知(1)(1)0f f -?<，但1()f x x =在(1,1)-内没有零点. 2.函数()y f x =在区间(2,2)-内没有零点. 1.（2011·全国课标卷·文科）在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为 C A.1(,0)4- B.1(0,)4 C.11(,)42 D.13(,)24 考法3唯一性定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上连续且单调，如果有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有且仅有一个零点. 1.（2014·北京卷·文科）已知函数26()log f x x x = -，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,)+∞ 考点2判断函数的零点方法 考法1解对应的方程 1.求函数)1lg()(-=x x f 的零点． 2.求函数32()89f x x x x =--的零点. 考法2图像法 1.（2013·江西卷·理科）若a b c <<，则函数()()()()()f x x a x b x b x c =--+--+ ()()x c x a --两个零点分别位于区间 A A.(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C.(,)b c 和(,)c +∞内 D.(,)a -∞和(,)c +∞内 2.（2010·天津卷·理科）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 B A.(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2) 3.（2010·浙江卷·文科）已知0x 是函数1()21f x x =+-的一个零点，若10(1,)x x ∈ ，20(,)x x ∈+∞，则 B A.1()0f x <，2()0f x < B.1()0f x <，2()0f x > C.1()0f x >，2()0f x < D.1()0f x >，2()0f x > 4.设0x 是函数21()()log 3 x f x x =-的零点，若00a x <<,则()f a 的值满足 A.()0f a = B.()0f a < C.()0f a > D.符号不确定 考点3函数零点的应用 考法1判断函数零点的个数及所在的区间 函数与方程 1、 掌握函数的零点和二分法的定义． 2、 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)?f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)?f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ； 第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)?f （x 1）＜0，则令1b x =； 若f(x 1)?f （b ）＜0，则令1a x = 第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则 重复第二、 三、四步。 类型一求函数的零点 例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1 练习1：求函数y ＝x 3 －x 2 －4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2. 练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．7 2 C ．－72 D ．－7 答案：C 类型二 零点个数的判断 例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数 解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2 －7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个 练习1：二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) 第8讲 函数与方程 【高考会这样考】 1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数． 2．利用函数零点求解参数的取值范围． 3．利用二分法求方程的近似解． 【复习指导】 (1)准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x 轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值，根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用． 基础梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)零点的分布 根的分布(m ＜n ＜p 为常数) 图象 满足条件 x 1＜x 2＜m ????? Δ＞0 －b 2a ＜m f (m )＞0 m ＜x 1＜x 2 ????? Δ＞0－b 2a ＞m f (m )＞0 x 1＜m ＜x 2 f (m )＜0 m ＜x 1＜x 2＜n ????? Δ＞0 m ＜－b 2a ＜n f (m )＞0f (n )＞0 m ＜x 1＜ n ＜x 2＜p ??? f (m )＞0 f (n )＜0f (p )＞0 只有一根在 (m ，n )之间 ? ???? Δ＝0m ＜－b 2a ＜n 或 f (m )·f (n ) ＜0 3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )＜0，给定精确度ε；②求区间(a ，b )的中点c ；③计算f (c )； (ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点； (ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))． ④判断是否达到精确度ε.即：若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复 高考数学一轮复习学案：2.8 函数与方程（含 答案） 2.8函数与方程函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点方程实根的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择.填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1函数的零点1函数零点的定义对于函数yfxxD，把使fx0的实数x叫做函数yfxxD 的零点2三个等价关系方程fx0有实数根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点3函数零点的判定零点存在性定理如果函数yfx在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 fafb0的图象与零点的关系000的图象与x轴的交点x1,0， x2,0x1,0无交点零点个数210知识拓展有关函数零点的结论1若连续不断的函数fx在定义域上是单调函数，则fx至多有一个零点2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1函数的零点就是函数的图象与x轴的交点2函数yfx 在区间a，b内有零点函数图象连续不断，则fafb0，所以fx在R 上单调递增，又f11e30，因此函数fx有且只有一个零点4P92A组T4函数fx12x12x的零点个数为________答案1解析作函数y112x 和y212x的图象如图所示，由图象知函数fx有1个零点题组三易错自纠5已知函数fxxxx0，gxxex，hxxlnx的零点分别为x1，x2，x3，则Ax11时，由fx1log2x0，解得x12，又因为x1，所以此时方程无解综上函数fx只有1个零点7函数fxax12a在区间1,1上存在一个零点，则实数a的取值范围是________答案13，1解析函数fx的图象为直线，由题意可得f1f10的零点个数是________答案2解析当x0时，令x220，解得x2正根舍去，所以在，0上有一个零点；当x0时，fx21x0恒成立，所以fx在0，上是增函数又因为f22ln20，所以fx在0，上有一个零点，综上，函数fx的零点个数为 2.2函数fx4cos2x2cos2x2sinx|lnx1|的零点个数为________答案2解析fx21cosxsinx2sinx|lnx1|sin2x|lnx1|，x1，函数fx 的零点个数即为函数y1sin2xx1与y2|lnx1|x1的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则fx有两个零点思维升华函数零点个数的判断方法1直接求零点；2利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；3利用函数图象的交点个数判断跟踪训练1已知函数fxx22x，x0，|lgx|，x0，则函数gxf1x1的零点个数为A1B2C3D4答案C解析gxf1x11x221x1，1x0，|lg1x|1，1x0x24x2，x1，|lg1x|1，x0，解得a高考理科数学复习学案 第2讲 基本初等函数、函数与方程
第8讲 函数与方程
重庆市高考数学一轮专题：第11讲 函数与方程B卷
第六讲 函数与方程
(通用版)202x版高考数学大一轮复习 第11讲 函数与方程学案 理 新人教A版
高考理科数学专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案
教师专用教案-第八讲--函数与方程
(新)高中数学第三章函数的应用3_1函数与方程互动课堂学案新人教A版必修11
第06讲 函数与方程
北师版高数必修一第13讲：函数与方程(教师版)
新导学案高中数学人教版必修一311 方程的根与函数的零点
2.9 函数与方程—讲义
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-8-第8讲-函数与方程
第二讲函数与方程(答案)
第6讲 函数与方程 学案
数学必修1—9.函数与方程
第12讲 函数与方程
【高考精品复习】第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第8讲 函数与方程
高考数学一轮复习学案：2.8 函数与方程(含答案)