高考数学重点难点3函数与方程思想大全
重点难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●重点难点磁场 1.（★★★★★）关于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为. 2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1）x＜–3或x＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有 当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数. ∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴∴0＜m＜ 故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在. ［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?高中数学函数与方程知识点总结 经典例题及解析 高考真题及答案
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有 1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?《方程的根与函数的零点》测试题
《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).
A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.
解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.
高数多元函数微分学教案 第五讲 隐函数的求导公式
第五讲 隐函数的求导公式 授课题目： §8.4 隐函数的求导公式 教学目的与要求： 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 教学重点与难点： 重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。 难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 讲授内容： 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有 y x F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F 【x , f (x )】≡0, 等式两边对x 求导得 0=???+??dx dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得 y x F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由
函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案
函数与方程 【考纲说明】 1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?方程的根与函数的零点说课稿
《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第五讲 函数与方程 2019年 1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4 ??-∞ ?? ? B ．7,3 ??-∞ ?? ? C ．5,2 ??-∞ ?? ? D ．8,3 ??-∞ ?? ? 2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且 ()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =，(2),01()1 ,122 k x x g x x +<≤?? =?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b <0 D ．a ＞-1，b >0 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0?=? >?，≤， ，， x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 2．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．1 2 D ．1
3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)
《方程的根与函数的零点》的助学案 高一（8）班 授课教师 学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定 学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x 轴交点个数？○ 1方程0322=--x x 与函数322 --=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 填下表？ 函数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数图象 函数与x 轴交点 f(x)=0的根 探究案： 探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点?函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。 练习：求函数x x y 43 -=的零点
是不是所有的二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=? 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 0 (2≠++=a c bx ax y 有几个零点 ?>0 ?=0 ?<0 探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象： ○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______， =)1(f _______,)2(-f ?)1(f _____0 （＜或＞）． ○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f ?)4(f ____0 （＜或＞）． 观察下面函数)(x f y =的图象 ○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f ?)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f ?)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f ?)(d f _____0（＜或＞）． ○4()a f ?()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？ ○5()()d f a f ? 0（＜或＞）。 思考：若函数)(x f y =满足()()0?n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？ 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 训练案
函数与方程
函数与方程 专题一：确定零点个数 例1：(x)2sin x x 1f π=-+的零点个数为 例2：设函数?????≥-<--=2),2(2 12,11)(x x f x x x f ，则方程01)(=-x xf 根的个数为 。 例 3.函数21,0()log ,0 x x f x x x +≤?=? >?,则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________. 例4.若函数()|21|f x x =-，则函数()()()ln g x f f x x =+在（0，1）上不同的零点个数为 ． 例5. 关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 。 专题二：已知零点个数求参数 例2、函数2|1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 变式1：若函数()22 241f x x a x a =++-的零点有且只有一个，则实数a =___________. 变式2：方程t xe x =||有3个根，确定t 的范围
变式3：关于x 的方程|x|=ax+1只有正根没有负根，求a 的取值范围 练习：（1）直线1y x =+与曲线2||194 y x x -=的公共点的个数是_______. （2）若关于x 的不等式||22 a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是 （3）若函数1log 2)(|3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. （4）已知f （x ）=|x 2－4|+x 2+kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点，则k 的取值范围是 . （5）：若关于x 的方程 2||1 x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
高考真题 函数与方程
函数与方程 2019年 1.（2019全国Ⅱ理12）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时， ()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8 ()9 f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4 ??-∞ ??? B ．7,3 ??-∞ ?? ? C ．5,2 ?? -∞ ?? ? D ．8,3 ??-∞ ?? ? 2.（2019江苏14）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期 为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈ 时，()f x =(2),01()1,122 k x x g x x +<≤?? =?-<≤??，其 中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 3.（2019浙江9）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),032x x f x x a x ax x 0 C ．a ＞-1，b <0 D ．a ＞-1，b >0 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)已知函数0()ln 0?=? >?，≤， ，， x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)- B ．[0,)+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[1,)+∞ 2．（2017新课标Ⅲ）已知函数2 1 1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =
方程的根与函数的零点课后习题高中数学高考
方程的根与函数的零点 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 4. 求证方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 . （2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 . 6. 已知关于x 的方程x 2 ＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围． 7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点. 8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示， 求证:b <0. 1.C 2.D
3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数. ∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<， (3)ln366ln30f =+-=>. ∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B. 4. 证明：设函数2()31 x x f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数. 而0(0)3210f =-=-<，115(1)3022 f =- =>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231x x x -=+在(0,1)内必有一个实数根. 点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231x x x -=+的实根个数. 5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点. ∴ (0)(1)1(21)0f f a =-?-<， 解得12 a > . （2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤， ∴ (64)(4)0m --?-≤，解得23 m ≤-. 所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-. 点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式 6. 解：令 2()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是 解得3514m - <<-。 7. 因为函数f (x )=|x 2 -2x -3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x -3|-a =0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x -3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f (x )=|x 2-2x -3|与函数f (x )=a 交点个数问题. 解：设f (x )=|x 2-2x -3|和f (x )=a 分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它 们交点的个数，即函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 的零点个数. (1)若函数有两个零点，则a =0或a >4. (2)若函数有三个零点，则a =4.
