高三理数一轮讲义：9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知 识 梳 理

1.直线与圆的位置关系

设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由???（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0

消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.

方法

位置关系

几何法 代数法 相交 d 0 相切 d ＝r Δ＝0 相离

d >r

Δ<0

2.圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d ＞R ＋r

d ＝R ＋r

R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r

d ＜R －r

代数特征 无实数解 一组实数解

两组实数解

一组实数解 无实数解

公切线条数

4

3

2

1

[微点提醒]

圆的切线方程常用结论

(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.

(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. (3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()

(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()

2.(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.

3.(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.

4.(2019·大连双基测试)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为()

A.±3

B.±

3

3 C.±

3

2 D.±1

5.(2019·西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为()

A.(－3，3)

B.[－3，3]

C.(－

3

3，

3

3) D.??

?

?

?

?

－

3

3，

3

3

6.(2019·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()

A.21

B.19

C.9

D.－11

考点一直线与圆的位置关系

【例1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是() A.相切 B.相交

C.相离

D.不确定

(2)(2019·湖南六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，点A (0，－2)，B (a ，2)，从点A 观察点B ，要使视线不被⊙O 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.(－∞，－433)∪(43

3，＋∞)

C.(－∞，－233)∪(23

3，＋∞)

D.(－433，433)

规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

【训练1】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A.相离 B.相切

C.相交

D.以上都有可能

考点二 圆的切线、弦长问题 多维探究

角度1 圆的弦长问题

【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.

角度2 圆的切线问题

【例2－2】 过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34

B.y ＝－1

2

C.y＝－

3

2 D.y＝－

1

4

角度3与弦长有关的最值和范围问题

【例2－3】(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－

2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()

A.[2，6]

B.[4，8]

C.[2，32]

D.[22，32]

规律方法 1.弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.

2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x －x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程；当斜率不存在时，要加以验证.

【训练2】(1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.

(2)(2019·合肥测试)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.

考点三圆与圆的位置关系

【例3】(2019·郑州调研)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到.

【训练3】 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切

B.相交

C.外切

D.相离

(2)(2019·安阳模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过点P (a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( ) A.? ??

??0，14 B.? ?

???0，14 C.? ?

???－∞，14

D.? ?

?

??－∞，14

[思维升华]

1.解决直线与圆的位置关系的问题，要熟练运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯.

2.求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的方程相减即可.而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用.

[易错防范]

1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算.

2.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()

A.2x＋y－5＝0

B.2x＋y－7＝0

C.x－2y－5＝0

D.x－2y－7＝0

2.(2019·佛山调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()

A.{1，－1，3，－3}

B.{5，－5，3，－3}

C.{1，－1}

D.{3，－3}

3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.(2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()

A.6或－ 6

B.5或－ 5

C. 6

D. 5

5.(2019·武汉二模)直线l ：kx －y ＋k ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝8交于A ，B 两点，且|AB |＝42，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，是|MN |等于( ) A.2 2 B.4

C.4 2

D.8

二、填空题

6.若A 为圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，B 为圆C 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，则线段AB 长度的最大值是________.

7.已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________________.

8.已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴.过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________.

三、解答题

9.已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上. (1)求圆C 的方程；

(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.

10.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；

(2)若OM →·ON

→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 能力提升题组

(建议用时：20分钟)

11.(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( ) A.3

B.4

C.2 3

D.8

12.(2018·合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )

A.3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0

B.3x ＋4y －12＝0或x ＝0

C.4x －3y ＋9＝0或x ＝0

D.3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0

13.(2019·福州模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆C ：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0相交于A ，B 两点，且|AB →|＝15，则CA →·CB →＝________.

14.已知⊙H 被直线x －y －1＝0，x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分，且截x 轴所得线段的长为2.

(1)求⊙H 的方程；

(2)若存在过点P (a ，0)的直线与⊙H 相交于M ，N 两点，且|PM |＝|MN |，求实数a 的取值范围.