数独游戏的解法

第三章：数独游戏的解法

数独游戏常见求解方法

依解题填制的过程可区分为直观法与候选数法。

1.直观法就是不做任何记号，直接从数独的盘势观察线索，推论答案的方法。

2.候选数法就是删减等位群格位已出现的数字，将剩余可填数字填入空格做为解题线索的参考，可填数字称为候选数(Candidates，或称备选数)。

直观法和候选数法只是填制时候是否有注记的区别，依照个人习惯而定，并非鉴定题目难度或技巧难度的标准，无论是难题或是简单题都可上述方法填制，一般程序解题以候选数法较多。

在这里需要注意的是，数独解题必须以逻辑为依归，猜测的方法被称为暴力型解法(Brute Force)，这不是提倡数独的本意，使游戏失去原有的乐趣，因此在解题过程中应该尽量避免。

直观法解数独游戏

数独的技巧，可分为直观法和候选数法两种。

实际上，直观法就是对数独游戏规则的充分利用。虽然直观法不如候选数法那样强大，但只要有相对锐利的眼光和一定的逻辑分析能力，就可以准确地把空余的数字逐个填出来。

直观法的特性：

1.轻松上手。即使是数独新手，在拿到谜题时，就可以用直观法来解题了。

2.无需辅助。只需要一支笔就可以完成在纸上解题。通过推理和逻辑分析来确定哪个格填哪个数，或是哪个数填在哪个格里，基本不需要猜测。

3.容易掌握。对于直观法中应用的各种算法，可以很快掌握并应用于实际中。

4.相对简单。比起候选数法，它的算法相对比较简单，当然能解决的谜题的复杂度也相对要低。

直观法有以下几种常用的算法：单元唯一法、单元排除法、区块排除法、唯一余数法、组合排除法、矩形排除法。下面将一一介绍。

?单元唯一法

直观法中最简单的方法。只需要看谜题，用不上推理分析。这是因为要使用它所需满足的条件十分明显。也正是因为简单，单元唯一法在解题初期应用的几率并不高，而在解题后期，随着越来越多的单元格填上了数字，使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。

我们先来看一个例子：

观察上图的行B，可以看到除了[B3]外，其他所有的单元格中都已有了数字。根据数独游戏的规则，即每行，列或区块中不能有重复的数字，所以[B3]中能填入的数字只能是行B中所未出现过的，也就是数字3。

这就是单元唯一法在行中的应用。这里的单元，指的是行、列或区块。所以有三种情况：

1.当某行有8个单元格中已有数字

2.当某列有8个单元格中已有数字

3.当某区块有8个单元格中已有数字

无论是哪种情况，我们都可以很快地在该行，列或区块剩余的空格中填入该单元还未出现过的数字。

?单元排除法

直观法中最常用的方法，如果使用得当，可以单独处理中等难度的谜题。

单元排除法的目的就是要在某一单元（行、列或区块）中找到能填入某一数字的唯一位置，换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。它对应候选数法中的隐式唯一法。

具体处理的方法还是运用游戏规则，即行、列或区块中不能有重复的数字。换一个角度来理解，就是如果某行、列或区块中已经有了某一数字，则该行中的其他位置不可能再出现这一数字。

在实际解题过程中，应用最多也最方便的是对区块的单元排除法，先看下面这个例子：

对于起始于[D1]的区块，未填数字的空格有6个之多。对区块使用单元排除法，利用行，列及区块的相互关系，即一个单元格既在某一行上，也同时在某一列上以及某一区块中的这种关系来解题。

观察数字9在谜题中的位置，可以看到它出现在[B2]，[A4]，[C7]，[D8]，[I1]和[H9]。而这些位置中，只有[B2]，[D8]和[I1]与起始于[D1]的区块有关联。因为[I1]=9，它所在的第1列上的其他单元格中不可能再出现9, 而区块中的[D1]和[F1]正好也在第1列上，所以这两个单元格填入9的可能性被排除。同理，因为[B2]=9，它所在的第2列中的其他单元格不可能再填入9，而区块中的[D2]和[E2]也正好在第2列上，因此，这两个单元格填入9的可能性也被排除掉了。再看行D，因为[D8]=9，所以该行上的[D1]，[D2]和[D3]也不可能再填入9，而这些单元格正好也在起始于[D1]的区块中。所以，这个区块中能填入数字9的位置就只剩下了[E3]，这样就通过排除法找到了答案，即[E3]=9。

通过上面的例子可以看到，对区块使用单元排除法时，需要观察与该区块相交的行和列。所以类似的，对行使用单元排除法时，需要观察与该行相交的区块和列；对列使用单元排除法时，需要观察与该列相交的区块和行。

在实际解题过程中，行、列和区块之间的关系不象上图中所示的那么明显，因此需要细心观察。一般来说，先看哪个数字在谜题中出现得最多，就从哪个数字开始下手，找到还未填入这个数字的行、列或区块，利用已填入该数字的单元格与单元之间的关系，看能不能排除一些不可能填入该数字的位置，直到剩下唯一的位置。也可以先从数字1开始，从左上角的区块开始一直检查到右下角的区块，看能不能在这些区块中应用单元排除法。然后测试数字2，以此类推。

单元排除法是解决数独谜题最频繁使用的方法。虽然在实践中经常会因为粗心而漏掉很多使用这一方法的机会，但只要勤加练习，就可以运用自如。

?区块排除法

此法是直观法中进阶的技法。它的应用范围不如单元排除法广泛，但使用它可能找到用单元排除法无法找到的解。有时在遇到困难无法继续时，用一次区块排除法，后面解题就会势如破竹了。

区块排除法实际上是利用区块与行或列之间的关系来实现的，这一点与单元排除法颇为相似。然而，它实际上是一种模糊排除法，它不象单元排除法那样利用谜题中现有的确定数字

对行，列或区块进行排除，而是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。看以下例子中区块排除法是怎么应用的：

上面这个谜题，用单元排除法或单元唯一法都无法再找到解。这时尝试使用区块排除法。先从填入数字最多的区块着手，也就是起始于[G4]的区块，该区块中只有[H6]和[I5]为空，且剩余数字1和2还未填入。这样我们可以想办法确定这两个数字的位置。

观察全局，可以看到[D2]=2，根据单元排除法，它所在的第2列上不能再出现数字2，所以[H2]和[I2]将不能填入数字2，这使得起始于[G1]的区块中数字2可能出现的位置仅剩下[I1]和[I3]，见下图：

虽然我们无法确定数字2在起始于[G1]的区块中的确定位置，但幸运的是，能填入数字2的位置正好都在行I上，也就是说，无论数字2在[I1]还是在[I3]，行I的其他单元格中将不可能再出现数字2，所以可以毫不犹豫地排除在[I5]填入数字2的可能性，这样，对于起始于[G4]的区块而言，能填入数字2的位置就只剩下[H6]了。所以[H6]=2。接下来，当然毫无疑问，利用单元唯一法，在[I5]填入数字1。

小结一下上题的求解方法：解题时，实际上是在对目标区块（主区块）有影响的区块（辅助

区块）中应用单元排除法，使辅助区块满足某些条件并能参与对主区块的数字排除。

在实际应用中，可能出现下面四种情况：

1.当某数字在某个区块中可填入的位置正好都在同一行上，因为该区块中必须要有该数字，所以这一行中不在该区块内的单元格上将不能再出现该数字。

2.当某数字在某个区块中可填入的位置正好都在同一列上，因为该区块中必须要有该数字，所以这一列中不在该区块内的单元格上将不能再出现该数字。

3.当某数字在某行中可填入的位置正好都在同一区块上，因为该行中必须要有该数字，所以该区块中不在该行内的单元格上将不能再出现该数字。

4.当某数字在某列中可填入的位置正好都在同一区块上，因为该列中必须要有该数字，所以该区块中不在该列内的单元格上将不能再出现该数字。

其中1，2两种情况相对常见，也比较容易判断。上面的示例就是第1种情况。

?唯一余数法

唯一余数法容易被理解，说明这个方法不需要很大篇辐。然而它却是直观法中较不常用的方法。

与单元唯一法相比，唯一余数法是确定某个单元格能填什么数的方法，而单元唯一法是确定某个数能填在哪个单元格的方法。应用单元唯一法的条件十分简单，几乎一目了然。而在实践中不易看出能够使用唯一余数法的条件是否得以满足，从而使这个方法的应用受到限制。唯一余数法对应于候选数法中的显式唯一法。显式唯一法是候选数法中最简单且应用最容易的方法，但在直观法中却正好相反。

看以下这个例子：

对于单元格[G9]应该填入什么数字，就算把前面介绍的所有直观法都用上，也不得而知。然而，我们通过观察它所在的行，列和区块，可以发现除了数字2以外，1到9中其他的数字都出现了，其中行G中包含了7，6，9，5，3和8，第9列中包含了数字5，8，7和1，起始于[G7]的区块中包含了3，8，4，7，5和1。这样，如果[G9]不填入数字2，就一定会违反行、列或区块不能出现重复数字的游戏规则。所以[G9]中的数字一定是2。

总结一下，就是如果某一单元格所在的行，列及区块中共出现了8个不同的数字，那么该单元格可以确定地填入还未出现过的数字。

看似很简单吧，但在实践中却不那么容易识别。一般来说，只有在使用基本的排除方法都失

效的情况下，才会试着使用这个方法来解题。

?组合排除法

组合排除法和区块排除法一样，都是直观法中进阶的技法，但它的应用范围要更小一点。一般情况下基本没有机会用到这种方法解题。

组合排除法，就是要考虑到某种组合。这里的组合既包括区块与区块的组合，也包括单元格与单元格的组合，利用组合的关联与排斥的关系而进行某种排除。它也是一种模糊排除法，同样是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。看下面的例子：

对于上面这个谜题，现在想要确定数字6在起始于[G4]的区块中的位置。

要想获得正确的答案初看起来有些困难。因为虽然在[G9]和[H3]已经存在了两个6，但是利用它们只能行排除区块中的[G4]和[H6]两个单元格，还是无法确定6到底是在[I4]还是在[I5]中。这时候，组合排除法就派上用场了。

现在先看它上面的两个区块，即起始于[A4]和[D4]的区块。这几个区块的共同特点是占有同样的几列，也就是第4列至第6列，因此它们之间的数字会相互直接影响。

对于起始于[A4]的区块，利用[A1]处已有的数字6进行行排除，可以得到这个区块中可能填入6的位置只剩下两个：[B5]和[C6]。对于起始于[D4]的区块，利用[E7]处已有的数字6进行行排除，可以得到这个区块中可能填入6的位置也剩下两个：[F5]和[F6]。

简单地说，只有两种可能：[B5]=6且[F6]=6，或者[C6]=6且[F5]=6。决不会再出现其他的情况。但无论是其中哪一种情况，第5列和第6列都会有确定的6出现在这两个区块中，也就是说，第5列和第6列的其他位置不可能再出现数字6。这样，就只剩下[I4]可以填入6了。小结一下，组合排除法的要满足的条件如下：

1.如果在横向并行的两个区块中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两行，则这两行可以被用来对横向并行的另一区块做行排除。

2.如果在纵向并行的两个区块中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两列，则这两列可以被用来对纵向并行的另一区块做列排除。

在实践中，组合排除法的实际应用机会不如区块排除法多。但是掌握这一技法无疑可以大大提高求解谜题的灵活性，从而增加解题的乐趣。

?矩形排除法

矩形排除法浅显易懂，但一般在实际解题的时候应用得却比较少。因为即使谜题中存在满足使用这一方法的情况，也很难直接看出来。然而相对组合排除法而言，在解题过程中倒是能有更多的机会用上矩形排除法。先看下面的例子：

对于这个谜题，如果不用矩形排除法是无法继续下去的。现在要找到数字8在起始于[G1]的区块中的位置。[B2]和[E3]上的8排除了左下角这个区块中的[G2]，[H2]，[G3]和[I3]这4个单元格，这时仍剩下两个单元格[G1]和[H1]无法确定。

先来留意一下第6列，这一列中暂时没有数字8，那么来看一下数字8可能会填入哪几个单元格中。首先，[B2]中的数字8行排除了[B6]，而[E3]和[F4]中的数字8又分别行排除了[E6]和[F6]。这样，能填入数字8的位置就只剩下[C6]和[I6]了。见下图：

同样，对于第9列，由于[F4]的行排除，[F9]不可能填数字8，所以这一列能填入数字8的位置也就只剩下[C9]和[I9]了。

凑巧的是，这两列中能填入数字8的位置都在同样的两行上，即行C和行I。这时就为我们应用矩形排除法创造了前提条件。

要么[C6]=8且[I9]=8，要么[I6]=8且[C9]=8。无论是哪种情况，不难发现行C和行I都已填入了数字8，所以这两行的其他位置不可能再填入数字8。

观察起始于[G1]的区块，我们已经知道现在只剩下[G1]和[I1]两个单元格无法确定了，通过上面的分析，利用矩形排除法排除位于行I上的[I1]，就可以确定数字8一定在[G1]上。

总结一下，使用矩形排除法的条件如下：

1.如果一个数字在某两行中能填入的位置正好在同样的两列中，则这两列的其他的单元格中将不可能再出现这个数字。

2.如果一个数字在某两列中能填入的位置正好在同样的两行中，则这两行的其他的单元格中将不可能再出现这个数字。

矩形排除法可以说是直观法中最困难的技法，因为当前谜题即使满足应用这一方法的条件，也很难发现。一般情况下，尽量先使用其他相对简单的直观技法。如果最后连矩形排除法都用上还是无法解题，就可能需要尝试候选数删减法了。