一道课本例题的探究
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对一道课本例题的探究
由已知有 Ｌ ×
的轨迹方程为 一
＝ｍ（ 土 ） 化简 ， 点 Ｍ ≠ ａ ， 得
＝１ ≠ ± ） （ ｎ．
当 ｍ＞ ０时 ， 轨迹为双曲线 ； 当 ｍ＜ ０且 ｍ≠ 一１ ， 时 轨迹 为椭 圆 ；
当 ｍ＝一 １时 ， 迹 为 圆． 轨
于 ，它 的 率 积 丢，点Ｍ的 迹 程 点Ｍ且 们 斜 之 是一 求 轨 方．
・
案例评析 ・
十。擞 ， （０年 ２ 高 版 ７ ７ ２９ 第１期・ 中 ） ０
１ ５
的独立思 维方 式． 教学 中 ， 师允 许学 生发 表与 自己不 教
同的意见 ， 以平 等 、 容 、 宽 引导 的 心态对 待每 一 个学 生 ， ・ 能够使学 生的身心得以 自由的表现 和发 展 ， 创设 民主的
解 设 点 的坐 标 为 （ ｙ ， ，） 因为 点 Ａ 的坐 标 是
探究 ３ 上题 中， 当轨迹是椭 圆或双 曲线 时， Ａ， 点 日
相对 于曲线有什么几何意义？
（５） 以直 Ａ 的 率 ｌ （ 一） 一，， ，线 Ｍ 斜 ｋ ５同 ０所 ≠ ；
理， 直线 Ｂ 的斜率 删 Ｍ 由已知有 的轨迹方程 为 × （ ≠５ ・ ） ＝ 一 （ ± ） 化 简 ， 点 ≠ ５ ， 得
于点 Ａ 的点 ， 线 Ａ Ｂ 的斜率 之积 是否 是 常数？ ， 直 Ｍ，Ｍ
若是 ， 试求这个常数．
＋６＝（≠－） － １ ≠， ． （ － ５ － ６ ｚ －’
９
解
设 点 的 坐标 为 （ Ｙ ， ，） 因为 点 Ａ的 坐标 是 （ 一） ≠ 口 ，
说明
本题揭示 了得到椭 圆的另一种定义途 径 ， 即
探 究 ２ 设 点 Ａ 曰 的 坐 标 分 别 为 （一 ，） ， ａ０ ，
两“线”定“形”——对一道课本例题的探究-论文
线， 点 Ｅ 在 Ｂ上 ， 且 时具 备 ， 因 此 同 样 可 以得 到 △Ｂ ＤＯ、 △Ｏ ＥＣ ＡＥ ＝ ＡＣ． ＥＦ ＢＣ 交 为等腰 三 角形 ， 只是位 置 有所 改 变 ， 所 得 Ａ Ｃ 于 点 试 说 明 ：
（ ２ ）图 ４中 的平 行 线 和 角 平 分 线 也 同
推 出第 三 个 成 立 ． （ ３ ） 的问题 如 图 ２ ， 和 刚 刚 的 书 本 例 题 一 样
△ ＡＢ Ｃ的 外 角 ， ＡＤ 平 分
＿Ｅ ／ Ａ Ｃ． ＡＤ ７ Ｂ Ｃ ．
求证 ： ＡＢ＝ ＡＣ．
【 分析 】 要 判 断 一 个 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 一 是 根
结 论 马 上 可 以得 到 两 个 等 腰 三 角 形 ， 即 Ｂ Ｄ＝ ＤＯ， Ｃ Ｅ ＝ Ｅ Ｏ， 虽 然 不 能 直接 求 出 △ＡＤ Ｅ 的各 边 长 ， 但 通 过 刚 刚得 到 的 边 的等 量 代 换 易 得 ＡＤ ＋ Ｄ Ｏ ＝ Ａ Ｂ， ＡＥ ＋ Ｅ Ｏ ＝ ＡＣ， 从 而 可 求
已 知
△ＡＢＣ 中 的
已知条 件组合 在一 起 又能得 到 哪些结 论 ． 比 如 这 题 中单 看 ＡＥ＝ ＡＣ， 想 到 等 边 对 等 角 ， 但和“ ＡＤ是 Ｃ的 平 分 线 ” 放 在 一
起 看 就 能 得 到 更 多 的结 论 ， 另 外 还 要 从 结
ＬＡ Ｃ Ｂ 的 外 角 平 分
线 Ｃ Ｄ 与 ＢＣ 的 平
分线 Ｂ Ｄ 交 于 点 Ｄ，
过 Ｄ作 ｏ Ｅ ／ ／ ｓ ｃ交 ＡＢ
数 量 关 系．
图５
论 上倒 推 ， 要 证 明“ Ｅ Ｃ平 分 ／ ＿Ｄ Ｅ Ｆ ＇ ’ ， 从基 本 图形 着 手 只要 增 加 等 腰 即 Ｅ Ｄ＝ Ｃ Ｄ就 行 ， 两 项 一 结 合 就 能 找 到证 明 的 思 路 ．
推理类比 探究拓展——对一道课本例题的推广
Ａ ０１ ．（ ， ） Ｃ １２ ．（， ］
Ｂ １２ ．（，） Ｄ １２ ．［ 】 ，
分析 这 种类 型 的不 等式直 接 求解 是很 困难 的 ，
不等式来讨论 ，就显得很繁琐 ，然而若将 确定为 主元 ，则 其求 解立 显快 捷 ． 解 不 等 式 转 化 为 （ 一１ ） ｍ＋１ ２ ０ ， 设 — ｘ＞
体 的题设条件 ，认真观察题 目的结构特征 ，从不同 的角 度 ，不 同的 方 向 ，加 以 分析 探 讨 ，从而 选择 适 当的方 法快速 而 准确 地解 出 ．
推 理 类 比 探 究 拓 展
— —
对 一 道课 本例 题 的推广
福建 省 安溪 梧桐 中学 （６ ４ ２ ３２ ０ ） 设 Ａ ｘ Ｙ ） Ｂ ｘ Ｙ ） （ ， ， （ｅ， Ｂ ，
４ ．数形结合法 若所给的不等式涉及到两个不同名函数 ，参数 又 无法 分 离 出来 ，这 时应 综合 考 虑 研究 两 个 图象 的 相对 位 置来 确定 参数 的取 值 范 围 ． 例 ５ 若 Ｘ∈ １２ 时 ，不 等式 一１ ＜ｌ 。 （，） ） ｏ Ｘ恒成 ｇ
立 ，求 实数 口的取值 范 围 ．
ｆ（ ） Ｘ 一 ） ｍ ＝（ １ ｍ＋１ ２ — ， 当 ｌ ｌ ＜２时 ， ｆ ｍ） 图象 （ 的 是一 条 线段 ．要 使 （ １ １ ２ Ｘ 一） ｍ＋ — ｘ＞０ 成 立 ，只 需 恒
所以一般来说采用数形结合 的方法 ，先构造函数 ， 作 出符 合 已知条 件 的图 形 ，再 考 虑在 给 定 区间 上 函 数与 函数 图象之 间 的关 系 ，得 出答 案 或列 出条 件 ， 求 出参数 的取 值 范 围 ．
ｌｇ１ ａ ．
思路 ３ 利 用抛 物线 定义 及根 与 系数 关系
课本一道例题的教学与思考
课本一道例题的教学与思考数学是一门与生活紧密联系的学科，在数学教学中实施生活化教学能够让学生提高解决数学问题的能力并爱上数学学习，形成数学学习思维。
本文以教材中一道例题的解决问题为例浅谈生活化教学的意义。
标签：数学；教材；例题；思考苏科版七年级下册第十章第5节《用二元一次方程组解决问题》有道例题为：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源。
某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过6m3时，按基本价格收费；超过6m3时，超过的部分要加价收费。
该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量/m3水费/元48225927试求该市居民用水的两种收费价格。
课本设置此题的背景是用表格分析数量关系并解决问题。
针对这样一个目标，我认为首先要读懂这个表格，很多学生在小学习惯了做题目条件反射，根本就不去思考究竟是为什么，没有解决问题的逻辑。
同时，本题的这样一个分段函数的情境也是常考的一种类型，所以我将用一节课的时间分析并拓展此题。
一、识辨表格主要是让班级的后进生说说出从这个表格中你可以讀出哪些信息，这是解答本题的基础和关键。
答案应为：“4月份用水量为8立方米，水费为22元；5月份用水量为9立方米，水费为27元。
”这是最基本的层次，通过这样一个处理信息的过程，其实就很容易思考到，“5月份比4月份多用了1立方米，这个水费多交了5元，那么水费即为每立方米5元。
”其实，这就是加工信息的能力了，而且这也是解决本题的一个小技巧，一种整体的思想。
二、分析数据，解决问题表格中的两行数据事实上是并列的，处理方法是类似的，那么不妨先看第一行，关键词是“8立方米22元”，能否直接用22除以8呢？很显然，不可以，因为这8立方米的水价格是不一致的，可以将其分为2份，一份是基础部分，另一份是加价部分。
即等量关系为“总价22元=基础部分的水费总价+超出部分的水费总价”，这时候只需要用代数式表示出两个总价，如何求出总价呢？总价=单价×数量，很显然这部分的数量是知道的，一个是6立方米，另一部分是（8-6）立方米，而价格是未知的，也是所求的，所以可以假设基本水价为x元/立方米，超出6立方米部分的价格为y元/立方米。
核心素养下扇形中矩形的裁剪——对一道课本例题的探究
在 Ｒｔ△犗犃犇 中，犗犃＝ｔａ犇ｎ６犃０°＝槡３３ｓｉｎα，因此，犃犅
＝犗犅 －犗犃 ＝ｃｏｓα－槡３３ｓｉｎα． 设矩 形 犃犅犆犇 的 面 积 为犛，则 犛 ＝犃犅·犅犆 ＝
（ ） 槡３
ｃｏｓα－ ３ｓｉｎα
ｓｉｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα－槡３３ｓｉｎ２α＝１２ｓｉｎ２α－
槡６３（１ －
ｃｏｓ２α） ＝
用意识是这样描述的：“能综合应用所学数学知识、思
想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中
简单的数 学 问 题；能 理 解 对 问 题 陈 述 的 材 料，并 对 所
提供的信 息 资 料 进 行 归 纳、整 理 和 分 类，将 实 际 问 题
抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进
而加以验 证，并 能 用 数 学 语 言 正 确 地 表 达 和 说 明．应
教学
２０２０年５月 新颖试题
参谋
由０＜α
＜
π，得 π ３６
＜２α＋
π ６
＜
５６π．
所以当２α＋
π ６
＝２π，即α＝６π
时，犛
有最大值，且
为槡６３． 因此，当α＝６π 时，矩形犃犅犆犇 的面积最大，最大
面积为槡６３．
基于不等式模型．如果说三角模型是三角恒等变
问题求解过程中培养学生的数学能力，提升数学核心
素养．下面以人教 Ａ 版必修４第３章的一道例题为原
型，体 验 数 学 建 模 在 实 际 问 题 中 的 应 用，以 及 例 题 教
学如何进行拓展研究．
例题 如图１，已知扇形
犗犘犙 的半径为１，圆心角为３π，
犆 是 扇 形 弧 上 的 动 点，矩 形
１ ２ｓｉｎ２α
＋
一道课本例题探究性学习的实践与思考
问 题 １是 例 ３的 逆 向 问 题 ， 于 有 了 例 ３的 解 题 由 体 验 ， 生们 不 约而 同 地 选 择 了 思 路 ２的解 法 ， Ｐ 学 得
一
二 册 （ ） １ 页 的 例 ３ “ 率 为 １ 直 线 经 过 抛 物 线 上 １８ ：斜 的
Ｙ ＝ ４ ｘ的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 求 线 段 Ａ Ｂ， Ｂ的 长 ”的 教 学 为 例 ， 谈 如 何 在 例 题 教 学 中 引 导 学 生 开 谈 展探 究性 学 习 ， 大家 参考 ， 供
使 用 这 一 模 型 进 行 各 种 变 量 的 测 算 ， 一 模 型 尽 管 这
来 源 于 房 地 产 市 场 ， 它 的 应 用 远 远 不 仅 于 此 ， 实 但 事
上 ， 诸 如 保 险 、 赁 、 券 等 行 业 也 有 十 分 广 泛 的 在 租 证
应 用． 然 它在 不 同领 域 的应 用 各有 其 特点 ， 兴趣 当 有
＞０ ）的 焦 点 ， 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 两 点 ， 线 段 与 Ｂ 且 ｌ Ｂ ｌ ＝ ８ 求 Ｐ的 值 ． Ａ ，
Ｊ ’ ｌ
思 路 １ 先 求 交 点 坐 标 ， 后 直 接 运 用 两 点 间 然 的 距 离 公 式 求 线 段
ＩＡＢ ｌ的 长 ．
学 科 的核 心知 识 为 内 容 ， 探 究 发 现 为 主 的学 习方 以
式 ， 中学数 学教 学 中 ， 导 学 生 开 展 探 究性 学 习 ， 在 引 对 每 一个数 学教 师 来说 ， 一 个 不 可 回避 的新 课题 ． 是 本 文 以 现 行 高 中 新 教 材 （ 验 修 订 本 ・ 修 ） 学 第 试 必 数
③ 如 何 求 线 段 ｌ Ｂ ｌ的 长 ？ Ａ 由 于 创 设 了 一 题 多 解 的 情 境 ， 于 问题 ③ ， 生 对 学
一
二 册 （ ） １ 页 的 例 ３ “ 率 为 １ 直 线 经 过 抛 物 线 上 １８ ：斜 的
Ｙ ＝ ４ ｘ的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 求 线 段 Ａ Ｂ， Ｂ的 长 ”的 教 学 为 例 ， 谈 如 何 在 例 题 教 学 中 引 导 学 生 开 谈 展探 究性 学 习 ， 大家 参考 ， 供
使 用 这 一 模 型 进 行 各 种 变 量 的 测 算 ， 一 模 型 尽 管 这
来 源 于 房 地 产 市 场 ， 它 的 应 用 远 远 不 仅 于 此 ， 实 但 事
上 ， 诸 如 保 险 、 赁 、 券 等 行 业 也 有 十 分 广 泛 的 在 租 证
应 用． 然 它在 不 同领 域 的应 用 各有 其 特点 ， 兴趣 当 有
＞０ ）的 焦 点 ， 抛 物 线 相 交 于 Ａ、 两 点 ， 线 段 与 Ｂ 且 ｌ Ｂ ｌ ＝ ８ 求 Ｐ的 值 ． Ａ ，
Ｊ ’ ｌ
思 路 １ 先 求 交 点 坐 标 ， 后 直 接 运 用 两 点 间 然 的 距 离 公 式 求 线 段
ＩＡＢ ｌ的 长 ．
学 科 的核 心知 识 为 内 容 ， 探 究 发 现 为 主 的学 习方 以
式 ， 中学数 学教 学 中 ， 导 学 生 开 展 探 究性 学 习 ， 在 引 对 每 一个数 学教 师 来说 ， 一 个 不 可 回避 的新 课题 ． 是 本 文 以 现 行 高 中 新 教 材 （ 验 修 订 本 ・ 修 ） 学 第 试 必 数
③ 如 何 求 线 段 ｌ Ｂ ｌ的 长 ？ Ａ 由 于 创 设 了 一 题 多 解 的 情 境 ， 于 问题 ③ ， 生 对 学
一道课本例题的研究性学习
点 ｇ（ｐ０ 的 直 线 与 抛 物 线 Ｙ ：２ ｘ交 与相 异 两 点 Ａ、 以 线 段 ２ ，） ｐ Ｂ， ＡＢ 为直 径作 圆 Ｈ Ｈ为 圆心）试 证抛 物线 顶 点在 圆Ｈ的 圆周上 ， 求 （ ， 并 （） 式 与 问 题 拓 展 ： 出例 ２ 三 种 变 式 ： ６变 给 的 圆Ｈ的 面 积 最小 时直 线 ＡＢ 方 程 （ ） 的 图２ 。 变式 ① ： 已知 直线 Ｙ＝ｘ 与 抛物 线 Ｙ ＝２ 相 交 于 ， 两 点 ， ＋ｂ ｘ 分析 ： 证“ 欲 抛物 线 顶 点在 圆Ｈ的 圆 周上 ” 只须 证 Ｏ ， Ａ上Ｏ ， Ｂ 实 ０为坐 标 原 点 ， Ｏ 且 Ａ上Ｏ 。 证 ： ＝－ Ｂ 求 ｂ ２。 质 为 结论 （）提 问 方 式推 陈 出新 ， 体现 了高 考 命 题 “ 于 课 本 而 １， 正 源 变式 ② ： 已知 直 线１ 定 点（ ，） 与抛 物 线 Ｙ ＝２ 相 交于 ， 过 ２ Ｏ且 ｘ 高于 课 本 指导 思 想 。 求 圆Ｈ的面 积 最小 时 直线 ＡＢ 的 “ 的方 程 一 这 两 点 ， 坐标 原 点 。 证 ： Ａ上０口。 Ｏ为 求 Ｏ 问 可 转化 为 “ 立 半 径 ＯＨ的 函数 关 系 式并 求 以半 径 ＯＨ为 函数 的 建 变式 ③ 已知 直 线ｌ 与抛 物 线 Ｙ ＝２ ｘ相 交 于 ， 曰两 点 ， ０为坐 标 最小值” 问题 ， 解 如 下 ： 略 原点， Ｏ 且 Ａ上Ｏ 。 Ｂ 求证 ： 直线 ｌ 定 点 （， ） 过 ２ ０。 由结 论 （） 证 明知 ： ＋ ＝２ ｐ ，・ １的 ２ ｒ ・ ａ 。 ｒ ， ａ ｐ 通过 以 上 变式 的 探 究 ， 生 明 确 了 ： 学 条件 与结 论 互 为 关 系 ， 相
又 Ｙ ＝ 一２Ｙ ：ｘ —２ ， ｌ ，２ ２
对一道课本例题的探究式教学
圆 ： ＋２ 。 ）＋ 一４ ．
Ｐ在圆上运动时 ， 线段 Ｐ Ａ的 中点 Ｍ 的轨迹是什么？
此例看似普通 和 一般 ， 仔 细分 析我 们发 现该 但 例有着极为广泛 的拓 展空 间． 因此 在学 生 理解课 本 解答过程之后 ， 教师可以创设 问题情境 ， 出新 的 问 提
题： 原例中的定点 Ａ（ ２ Ｏ 能不能改 变？ 中点 Ｍ 能 １，）
回 Ｉ＋ｂ 能等于 ｌ—ｂ 的 ２ ， 由是平 行 四边 答 口 Ｉ ｎ Ｉ 倍 理 形的大小没 有确定 ，口 Ｉ 于 Ｉ—６的 多少倍都 ｌ＋６等 ４ ｌ
是可能的． 针对这一情况 ， 笔者组 织学生进行 了如 下 探究．
３推广 引申 ， ） 探究一般 规律． 两个 非零 向量 的 设 夹 角为 口口 Ｏ ， Ｉ＋ｂ ＝ Ｉ 一ｂ 中的 的取 ，∈［ ， 则 口 ｌ 口 Ｉ
如 图 １ 已知点 Ｐ是圆 ｚ ，
厂 Ｐ
／ ８ １
图１
果 ， 到资源共享 、 习共进 的 目的． 达 学 探究 １ 变定 点 Ａ（ ２ Ｏ一 …—＿（ ，） １ ，） Ａ 口６．
（ 甲组 展 示 ）
＋ ＝ １ ６上 的 一 个 动
点 ， Ａ 是 ｚ 轴 上 的 定 点
２ 问题探 究
一
石击起千层浪 ， 顿时学生 的思维活跃起来 ：
变定点 ： １ ，） Ａ（２ Ｏ 一… （ ，） 口６．
变定比：
ｌ 一…＿ 一 ．
不断 的探究过 程 中体 验数 学发 现 和创 造 的历程 ， 感 受成功 的喜悦 和快乐 ， 发展学 生的创新 意识 ， 培养学
在原例 中’ ＋ｙ ＝１ ， Ｚ ６
＝１均不变 ， 则有 ；
点， 坐标 为 （２ Ｏ ． １ ， ） 当点
Ｐ在圆上运动时 ， 线段 Ｐ Ａ的 中点 Ｍ 的轨迹是什么？
此例看似普通 和 一般 ， 仔 细分 析我 们发 现该 但 例有着极为广泛 的拓 展空 间． 因此 在学 生 理解课 本 解答过程之后 ， 教师可以创设 问题情境 ， 出新 的 问 提
题： 原例中的定点 Ａ（ ２ Ｏ 能不能改 变？ 中点 Ｍ 能 １，）
回 Ｉ＋ｂ 能等于 ｌ—ｂ 的 ２ ， 由是平 行 四边 答 口 Ｉ ｎ Ｉ 倍 理 形的大小没 有确定 ，口 Ｉ 于 Ｉ—６的 多少倍都 ｌ＋６等 ４ ｌ
是可能的． 针对这一情况 ， 笔者组 织学生进行 了如 下 探究．
３推广 引申 ， ） 探究一般 规律． 两个 非零 向量 的 设 夹 角为 口口 Ｏ ， Ｉ＋ｂ ＝ Ｉ 一ｂ 中的 的取 ，∈［ ， 则 口 ｌ 口 Ｉ
如 图 １ 已知点 Ｐ是圆 ｚ ，
厂 Ｐ
／ ８ １
图１
果 ， 到资源共享 、 习共进 的 目的． 达 学 探究 １ 变定 点 Ａ（ ２ Ｏ一 …—＿（ ，） １ ，） Ａ 口６．
（ 甲组 展 示 ）
＋ ＝ １ ６上 的 一 个 动
点 ， Ａ 是 ｚ 轴 上 的 定 点
２ 问题探 究
一
石击起千层浪 ， 顿时学生 的思维活跃起来 ：
变定点 ： １ ，） Ａ（２ Ｏ 一… （ ，） 口６．
变定比：
ｌ 一…＿ 一 ．
不断 的探究过 程 中体 验数 学发 现 和创 造 的历程 ， 感 受成功 的喜悦 和快乐 ， 发展学 生的创新 意识 ， 培养学
在原例 中’ ＋ｙ ＝１ ， Ｚ ６
＝１均不变 ， 则有 ；
点， 坐标 为 （２ Ｏ ． １ ， ） 当点
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行， 求直 线 Ｐ Ａ、 ＰＢ的斜 率之积 ．
证 明 设 Ｐ（ ｘ ， ） ， Ａｌ （ ｚ ｌ ， ｙ １ ） ， 则Ｂ １ （ 一 ， 一 １ ） ， 所
ｙＺ 以了 ｘｚ １－
问题 进行 一般化 、 特殊 化 、 逆 向思 维 的 处理 ， 从 命 题 角
度 与解 法角度 进行 发散． 可 以提 出“ 概 括 型” “ 猜 想 型” “ 引 申型” “ 探 究开 放型 ” 等 问题． （ 作 者单位 ： 浙 江省瑞 安 市第五 中学）
以下命 题 ．
牛顿 说过 ： “ 没 有大 胆 的猜想 ， 就做 不 出伟 大 的发 现． ” 翻开数学 史册 ， 可 以发 现数 学 的历 史 就 是一 部 充
满 猜想 的历 史 ． 可 见 猜 想 与 数 学 发 现是 形 影 不离 的．
命题 ２ 若 Ｍ 是 椭 圆 的 弦 ＡＢ 之 中点 ， 则 直 线
ｚ －Ｘ Ｙ －ｙ ｛ Ｙ ～Ｙ
一
３
２
’ｚ２ 一
２ ３’
是 一 ・Fra bibliotek誊一 一号 ．
Ｄ
让 学生 自主探 究 ， 再 让 学 生 归 纳 引 申 出一 般 的
◇ 浙江 李 新 平
问题 ．
高 中数 学教材 绝大 多数 例 题 都是 很 经典 的 ， 教 师 应 该鼓励 学 生对其 进行 积极 的探究 ， 通 过 探究 让 学 生 大 胆 的提 出问题 、 解 决 问题 ． 这 样不 仅 能加 深 概 念 、 法 则、 定 理等基 础知 识 的理 解 与 掌 握 ， 更 重 要 的是 开 发 了学 生 的智 力 ， 培 养 学 生 的 探 究 能力 ． 现 以人 教 版 选
命题 １ 椭 圆 ＋ 一１（ ｎ ＞６ ＞０ ） 上任 意 一 点
ａ
Ｐ与过 中心 的 弦 Ａ Ｂ 的 两端 点 Ａ 、 Ｂ 连线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ 与
对称 轴不平 行 ， 则 直线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ 的斜 率之 积为 定值 ．
证 明 设 Ｐ（ ｘ， ） ， Ａ（ ｘ ， ｙ １ ） ， 则 Ｂ（ －Ｘ ｌ ， 一Ｙ １ ） ，
修２ － １ 第４ １页 的一道 例题 教学 为例 ， 并 谈谈 自己的一
些想 法．
所 以 薯 ＋ 芳 一 １ ， 薯 ＋ 一 １ ， 两 式 相 减 得
一 一 一 一
ａ。
ｂ
一
’ ｚ － －５ Ｃ
ｂ ２
ａ 。’
１ 问题 的提 出 例 １ 设 点 Ａ、 Ｂ 的 坐标 （ ５ ， ｏ ） 、 （ 一５ ， ｏ ） ． 直 线
￣ － ｙ ＫＰ ＾・ Ｋ船 一 Ｙ － Ｙ１・ ｙｑ
Ｚ — Ｚ１
＋
Ｚｌ Ｔ
，
ａ。
为定 值．
Ａ Ｍ、 Ｂ Ｍ 相交 于点 Ｍ ， 且 它们 的斜 率之 积是 一４ ／ ９ ， 求
点 Ｍ 的轨 迹方 程．
２ 问题 的 引 申
１ ）逆 向 思 维 ， 大胆 猜 想
Ⅱ
，
ａ
所 以 ＫＯ Ｍ＊ Ｋ仙
一
一
顶 点 Ａ、 Ｂ 与任 意 一点 Ｐ（ 不 同于 Ａ、 Ｂ） 连线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ
箸 ｎ 为
的斜 率之 积为定 值．
２ ）大 胆 假 设 ， 归 纳 引 申
定值 ． 对 性质 的解 释 ： 是 圆 中的 垂 径 定 理 “ 圆 心 与 弦 中 点连线 垂直 于弦 ” 在椭 圆 中的推广 ．
～
并 延 长 交 椭 圆 于 点 Ｐ， 连 接
Ｏ Ｍ， ＢＰ， 则 Ｏ Ｍ／ ／ＢＰ， 所 以
是 （ Ｍ—ｋ ｓ ｖ ， 由性 质 ， ＫＰ Ａ ・ ＫＰ Ｂ 一
一
，
、 、
２
＾ ． ２
＼ ＼ ＼ 、 、 ， ／ｊ
猜想 １ 椭圆 ＋鲁 一１（ 口 ＞６ ＞０ ） 上长轴 的两
４ ）类 比 思 想 ， 知 识拓展
先通 过大 胆假 设 ， 再从 特 殊 问 题 人 手 ， 归 纳 出一
般性 的结 论． 这 样 有 利 于学 生 形 成 良好 的认 知 结 构 ． 变式 问题 中 弦 ＡＢ 是 长 轴 ， 能 不 能 改 成 一 般 过 原 点
的 弦？
通 过 以上 的探究 ， 椭 圆与 圆 的知 识建 立 完 美 的解
３ ）极 限 思 想 ， 知 识 串联
Ｇ・ 波利亚 说 过 ： “ 类 比是 一个 伟 大 的引 路 人 ” ． 我
们 这 时引导学 生 ， 然后 提 问 ： 椭 圆 的极 限位 置 是 圆 ， 此 性质 可 以类 比圆中什 么性 质 呢？ 让学 生 分组 探 讨 ， 进
行类 比与归 纳 ． 再 引导 类 比圆 中的性 质 ， 可 以引 申 出
学生课 后进 行探 讨． 我们要 学会 探究 中发 现 问题 与 解 决 问题 ． 那 么 怎 么发 现 问题 呢？我们 要给 自己多 问 几个 “ 为什 么 ” ， 对
—１上任 意 一 点 Ｐ 与 过 中 心
的弦 ＡＢ 的两 端 点 Ａ、 Ｂ连线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ 与对 称 轴 不 平
Ｏ Ｍ 与直 线 ＡＢ 的斜率 之积 为定值 ．
证 明 如 右 图 ， 连 接 Ａ０
Ｊ
我们 可 以通过 例题 ， 引 导学 生进 行 大胆 猜 想 与合 情 推
理， 发 展他们 发 现 问题 的能 力． 针 对 以上 例 题 的答 案 为椭 圆方程 ， 学生 不禁 会 问一般 的椭 圆是 不 是都 有 这 样 的性 质 ？
一 １ ， 要＋ 一 １ ， 两式 相 减得
释． 学 生欣喜 之余 ， 进入 深 深沉 思 中． 学 生提 问 双 曲线
中是 否有类 似 的性质 ？
我们 可 以先与 学生 一起 来探 究 一 个特 殊 的 问题 ，
归纳 出方 法 ， 再 引 申出一 般性 的命题 ．
例 ２ 椭 圆Ｘ ２ ＿ 广 ｙ
百
２
猜想 ２ 将椭 圆改 为 双 曲线 ， 命 题 是 否成 立 ？让