2007年高考理科数学试题及答案(全国卷1)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）

数学（理科）试卷

（河北 河南 山西 广西）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n k n ，?=-=-

球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 33

4

R V π= 其中R 表示球的半径

一、选择题

1．a 是第四象限角，5

tan 12

α=-

，则sin α= A ．

5

1 B ．51-

C ．

13

5 D ．13

5-

2．设a 是实数，且

2

11i

i a ++

+是实数，则a ＝ A ．

2

1

B ．1

C ．

2

3 D ．2

3．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向

4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为

A ．

11242

2=-y x

B ．

14122

2=-y x C ．

16

102

2=-y x

D ．

110

62

2=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-?

??

???=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1

B ．－1

C ． 2

D ．－2

6．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为

22

，且位于x y 10,x y 10

+-?表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）

7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所

成角的余弦值为

A ．

51

B ．

52 C ．

53 D ．

5

4 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为2

1

，则a= A ．2

B ．2

C ．22

D ．4

9．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的

A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件

10．2

n

1(x )x

-的展开式中，常数项为15，则n ＝

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

11．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点

A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是

A ．4

B ．33

C ．43

D ．8

12．函数2cos

2cos )(2

2

x

x x f -=的一个单调增区间是 A ．（

π2π

,33

） B ．（

2

,6ππ） C ．（π0,

3） D ．（－ππ

,66

）

第Ⅱ卷（非选择题 共95分）

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3．本卷共10题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种。（用数字作答）

14．函数)(x f y =的图像与函数3y log x(x =>0）的图像关于直线x y =对称，则()f x = 。 15．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{a n }的公比为 。

16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=2bsinA 。 （Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）求C A sin cos +的取值范围。

18．（本小题满分12分）

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ζ的分布列为

ζ 1 2 3 4 5 P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元。η表示经销一件该商品的利润。

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A ）； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η。

19．（本小题满分12分）

四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC

BC =2

2，SA ＝

⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，SB ＝3。

（Ⅰ）证明：SA ⊥BC ；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小。

20．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝e x －e

－ x

。

（Ⅰ）证明：f （x ）的导数f ＇（x ）≥2；

（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f （x ）≥ax ，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆12

32

2＝＋y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P 。

（Ⅰ）设P 点的坐标为（x 0，y 0），证明：12

32

20 y x ＋； （Ⅱ）求四过形ABCD 的面积的最小值。

22．（本小题满分12分）

已知数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝（12－）（a n ＋2），n ＝1，2，3…。 （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }中b 1＝2，b n ＋1=

3

24

3＋＋n n b b ，n ＝1，2，3，…，证明：

n 4n 32b a n 1 23-<≤，＝，，，

…。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）

数学（理科）试卷

参考答案

一、选择题： 1．D 2．B 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D

8．D

9．B

10．D

11．C

12．A

二、填空题： 13．36

14．3()x

x ∈R

15．

1

3

16．23 三、解答题： 17．解：

（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2

B =

， 由ABC △为锐角三角形得π6

B =

。 （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6??

cos sin 6A A π??

=++ ???

13

cos cos sin 22

A A A =++

3sin 3A π?

?=+ ??

?。

由ABC △为锐角三角形知，

22A B ππ->-，2263B ππππ

-=-=。 2336

A πππ<+<， 所以

13

sin 232

A π??+<

???。 由此有

333sin 3232A π?

?<+

?， 所以，cosA+sinC 的取值范围为3322??

? ??

?，。 18．解：

（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2()(10.4)0.216P A =-=，

()1()10.2160.784P A P A =-=-=。

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元。

(200)(1)0.4P P ηξ====，

(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，

(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=。

η的分布列为

η

200 250 300 P

0.4

0.4

0.2

2000.42500.43000.2E η=?+?+?

=240（元）。

19．解法一：

（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD 。 因为SA=SB ，所以AO=BO ，

又45ABC =

∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，

故SA AD ⊥，由22AD BC ==，3SA =，2AO =，得 SO=1，11SD =。 △SAB 的面积

2

2111222S AB SA AB ??

=-= ???

。

连结DB ，

得△DAB 的面积21

sin13522

S AB AD =

= 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得

1211

33

h S SO S = ， 解得2h =

。

设SD 与平面SAB 所成角为α，则222

sin 11

11h SD α=

==

。 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为22

arcsin 11

。 解法二：

（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结SO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD 。 因为SA=SB ，所以AO=BO 。

又45ABC =

∠，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB 。

如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ，

(200)A ，，，(020)B ，，，(020)C -，，，S （0，0，1），(201)SA =-

，，， B

C

S

O

E

G

y

z

O

D

B

C

A

S

(0220)CB =

，，，0SA CB =

，所以SA ⊥BC 。 （Ⅱ）取AB 中点E ，22022E ??

? ???

，，，

连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，221442G ??

? ???

，，。 221442OG ??= ? ???，，，22122SE ??= ? ???

，，，(220)AB =-，，。 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直。

所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余。

(2220)D ，，，(2221)DS =-，，。

22cos 11

OG DS OG DS

α=

=

，22

sin 11β=，

所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为22

arcsin 11

。 20．解：

（Ⅰ）f （x ）的导数()e e x

x

f x -'=+。

由于e e 2e e 2x -x x x -+= ≥，故()2f x '≥。 （当且仅当0x =时，等号成立）。 （Ⅱ）令g （x ）= f （x ）-ax ，则

()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，

（ⅰ）若2a ≤，当x >0时，()e e

20x

x

g x a a -'=+->-≥，

故g （x ）在(0)+，∞

上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥。

（ⅱ）若a>2，方程g’（x ）=0的正根为214

ln 2

a a x +-=，

此时，若1(0)x x ∈，，则g’（x ）<0，故g （x ）在该区间为减函数。

所以，1(0)x x ∈，时，g （x ）< g （0）=0，即f （x ）

B

1F

O

2F

P

D

A

y x

C

综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，。 21．证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距321c =-=，

由AC ⊥BD 知点P 在以线段F 1F 2为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，2222

00021132222

y x y x ++=<≤。 （Ⅱ）（ⅰ）当BC 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为y=k （x+1），代入椭圆方程22

132

x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=。

设B （x 1，y 1），D （x 2，y 2）11()B x y ，，22()D x y ，，则

2122632k x x k +=-+，2122

36

32

k x x k -=+ 22

2

2

122212243(1)

1(1)()432k BD k x x k x x x x k +??=+-=++-=??+ ；

因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1

k

-

， 所以，222

2143143(1)12332k k AC k k

??+ ?

+??==+?+。 四边形ABCD 的面积

222222222124(1)(1)962(32)(23)25

(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++????

≥。

当k 2=1时，上式取等号。

（ⅱ）当BD 的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S=4。 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625

。 22．解： （Ⅰ）由题设：

1(21)(2)n n a a +=-+

(21)(2)(21)(22)n a =--+-+

(21)(2)2n a =--+， 12(21)(2)n n a a +-=--。

所以，数列{}

2n a -是首项为22-，公比为21-的等比数列，

22(21)n n a -=-，

即a n 的通项公式为2(21)1n

n a ??=

-+??，n=1，2，3……。

（Ⅱ）用数学归纳法证明。

（ⅰ）当n=1时，因22<，b 1=a 1=2，所以

112b a <≤，结论成立。

（ⅱ）假设当n=k 时，结论成立，即432k k b a -<≤， 也即43023k k b a -<--≤。 当n=k+1时，

134

2223

k k k b b b ++-=

-+

(322)(432)

23k k b b -+-=

+

(322)(2)

023

k k b b --=

>+，

又

11

32223223

k b <=-++，

所以 1(322)(

2)

223

k k k b b b +---=

+

2(322)(2)k b <-- 443(21)(2)k a ---≤

412k a +=-。也就是说，当n=k+1时，结论成立。根据（ⅰ）和（ⅱ）知432n n b a -<≤，123n =，

，，…。