中山大学概论统计第2章习题解

习题二(解)

1. 下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是,请写出它们的分布函数.

1) 2)

3)

解 1) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又0.50.30.21++=,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是

[1,3)[3,5)[5,)()0.5()0.8()()F x I x I x I x +∞=++.

2) 因为0.70.10.10.91++=≠,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.

3) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又121k k +∞

-==∑,所以满足命题 2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是

[,1)1()(12)()k k k k F x I x +∞

-+==-∑.

2. 设随机变量X 只取正整数值1,2, ,且()P X n =与(1)n n +成反比,求X 的概率分布. 解 设()(1)

c

P X n n n ==

+,其中c 是待定常数.则根据命题2.1,

11

11111()lim lim 1(1)11l n n n l l c P X n c c c n n n n l ∞

∞

===→∞→∞???

?====-=--= ? ?+++??

??∑∑∑. 因此1c =,

1

()(1)

P X n n n ==

+, 1,2,n = .

3. 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p .设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.

解 在每次调整后前k 个产品都是及格品而第1k +个产品是废品的概率是

(1)k p p -, 1,2,k = .

因而,设两次调整之间生产的合格品数为X ,则

()(1)k P X k p p ==-, 1,2,k = .

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.

解 对于2,3,k = ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现

反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布

11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k = .

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算

3

1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k

k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.

2) 用泊松近似律计算

3

31004

100

00

4(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!

k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑

∑

. 7. 设X 服从泊松分布,且已知(1)(2)P X P X ===,求(2)P X =和(2)P X ≥. 解 设X 服从参数为λ泊松分布,则

2

(1)(2)2!

e

P X P X e λ

λλλ--=====

,

解得2λ=.因而

22

22(2)20.27072!

P X e e --====,

22(2)1(0)(1)120.5940P X P X P X e e --≥=-=-==--=.

8. 设X 服从泊松分布,分布律为

(),0,1,2,!

k

P X k e k k λλ-==

= .

问当k 取何值时{}P X k =最大？

解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k = ,则

1/!/(1)!k k k e k a k

e k λλλλλ+--==-,

数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.

若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得

1) 若1λ<,则(0)P X =最大.

2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=?≥+≤?-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有

[]

{}1P X k k λλλλλ?=?=?

-?

不是整数最大或是整数. 9. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形.

解 ()

(,0)[0,1)0

()()()0()

0x

x

x

F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞

-∞

-∞

==?+?+?

??

?

()01

[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞

-∞

+?++-?

?

?

()

12[2,)

1

2

()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞

+∞-∞

+?++-+??

???

()()

1

1

2

[0,1)[1,2)[2,)0

1

1

()()

(2)()

(2)x x

I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-??

??

?

22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.

10. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.

解 10

2

100

1()502

cx p x dx cxdx c +∞

-∞

===

=?

?

, 1/50c =.

2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0

()()()()()()50100

x

x

v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞

==+=+?

?

. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤

28

8

2

22

()3/550100x x p x dx dx ====??.

11. 地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.

解 园盘中心离木条的最近的边的距离X 服从[0,15]上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是1015X ≤≤,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是

1510

(1015)(1/15)1/3P X dx ≤≤==?

.

12. 随机变量X

有密度(1,1)()()p x x -=.求常数c 和概率(1/21/2)P X -≤≤. 解

sin 1

/2

/221

/2

/2

1()(sin )cos x t

p x dx t c tdt ππππ=+∞-∞

---===

=?

???

/2

/2

/2/21(1cos2)(/2(sin 2)/4)/22

c t dt c t t c πππππ--=+=+=?

. 由上式得2/c π=.

sin 1/21/2

/6

1/2

1//2

(1/21/2)()(sin )x t

P X p x dx t πππ=----≤≤===

?

?

?

/6

/6

/6

2

/6/6/6

2

2

12

cos (1cos 2)(/2(sin 2)/4)1/3)2tdt t dt t t ππππππππππ---==+=+=+??. 13. 设随机变量X 的密度为2

x x

ce -+.求常数c .

解

222

1/2(1/2)

1/4

1/4/4

1x t x x

x t ce

dx c e dx

ce

e dt ce

=++∞+∞+∞-+--+--∞

-∞

-∞

====?

?

?

. 由上式得1/41/2c e π--=.

14. 设~(1,4)X N ,求(0)P X >和(23)P X <<. 解1

2221(1)/8

/20

1/(0)x t x t P X dx dt =++∞+∞---->==?

?

1(1/2)(1/2)0.6915=-Φ-=Φ=.

222131(1)/8/2

2

1/(23)x t x t P X dx dt =+---<<==?

?

(1)(1/2)0.84130.69150.1498=Φ-Φ=-=. 解2 设1

~(0,1)2

X Z N -=

,则~(0,1)Z N . 101(0)(1/2)1(1/2)(1/2)0.69152

2X P X P P Z --??

>=>=>-=-Φ-=Φ= ???.

21131(23)(0)(1/21)2

22X P X P X P P Z ---??

<<=>=<<=<< ???

(1)(1/2)0.84130.69150.1498=Φ-Φ=-=.

15. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,

10.9α=,20.95α=,30.99α=.

解1 22()/(2)

()

i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσ

αμσμσ+---=-<<+=?

2/2

()()2()1

i

i

x t k t i i i k

dt k k k σμ

=+--=

=Φ-Φ-=Φ-?. ()(1)/2i i k αΦ=+.

代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=. 解2 设1

~(0,1)2

X Z N -=

,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--??

=-<<+==<<

???

()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.

代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.

16. 随机变量X 服从二项分布(3,1/3)B ,求X 的分布函数和2(1)Y X =-的分布. 解 X 有分布

故X 有分布函数

[0,1)[1,2)[2,3)[3,)82026

()()()()()272727

F x I x I x I x I x +∞=

+++. Y 有分布

17. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度

/21/2(0,)/2

1()()2

(/2)

k x X k p x x e I x k --+∞=

Γ.

求Y =. 解1

当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤==,()()0Y Y p y F y '==.

当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤==≤=, 222/21/22

(0,)/2

1()()2()2()()2(/2)

k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===?

Γ

()

()

2/2

1/22/2/2k k ky k y e k --=Γ.

因而

()

()

2

/2

1/2

(0,)2/2()()/2k k ky

Y k p y y e I y k --+∞=

Γ.

解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.

设()y f x =x V ∈,则f 有反函数

12()f y ky ?-==, y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=

22/21/22(0,)/21

2()()2(/2)

k ky k ky ky e I ky k --+∞=?Γ()()2/2

1/22/2/2k k ky k y e k --=Γ.

18. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为

2

2

2

/(0,)

()()x

X p x I x α-+∞=

.

其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1

当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.

当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,

22/()

(0,)

()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'=

222/()2/()

y m y m αα--=. 因而

22/()

(0,)()()y m Y p y I y α-+∞=

. 解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.

设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数

1

()f y ?-=y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=

22/()

(0,)

y m X p I α-+∞=

=

22/()

(0,)()y m I y α-+∞=

. 19. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.

解1 X 有密度[1,2}1

()()3X P x I x -=.Y 有分布函数

()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤

[0,)()(I y P X +∞=≤

[0,)()()X

I y x dx +∞=

[0,)[1,2]

()()I y x dx +∞-=

[0,1)[1,4)[4,)1()()()3

I y I y I y dy +∞-=++

[0,1)[1,4)[4,)()()()y I y I y +∞=

+. 解2 X 有密度[1,2}1

()()3

X P x I x -=.Y 有分布函数

2

[0,)()()()(()Y F y P Y y P X y P X I y +∞=≤=≤=

[0,)[(()X X F F I y +∞=-.

[0,)[0,1)[1,4)()()(()()()

Y Y X X p y F y p p I y y y +∞'==

+=

+

.

20. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.

解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度

[0,2]1

()()2p I πθθπ

Θ=

. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为

()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.

当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时

1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ?

???=Θ≤=≤Θ≤-=- ? ??

???.

因而落点的横坐标X 有概率密度

(1,1)

()()()X X

p x F x I x -'==.

21. 设随机变量X 的概率密度为(0,1)()()p x I x =,求cos 2Y R X π=的概率密度. 解

()()(cos 2)Y F y P Y y P R X y π=≤=≤.

当y R <-时,()0Y F y =.当y R >时,()1Y F y =.当R y R -≤≤时

1()(cos 2)arccos arccos Y y y F y P R X y P X R R πππ?

???=≤=≥=- ? ??

???.

因而落点的横坐标X 有概率密度

(1,1)

()()()Y Y p y F y y -'=.

22. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200

~(0,1)X Z N σ

-=

,则~(0,1)Z N .

195200

205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--??<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ???

.

{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥?Φ-≥

15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-?≥Φ=?≤=. 23. 设Z 在[0,1]上服从均匀分布,随机变量,X Y 满足方程组

41

21X Y Z X Y Z +=+??

-=-?

, 求X 和Y 的分布和它们各自落在[0,1]中的概率.

解 解方程组得3X Z =,1Y Z =+.Z 有密度[0,1]()()Z p z I z =,由推论6.1可得: X 有密度

[0,1][0,3]111

()(/3)(/3)()333

X Z p x p x I x I x =

== (即X 服从[0,3]上的均匀分布). Y 有密度

[0,1][1,2]()(1)(1)()Y Z p y p y I y I y =-=-=

(即Y 服从[1,2]上的均匀分布).

24. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解 设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.设

()ln y f x x ==-, x V ∈,

则f 有反函数

1()y f y e ?--==, y G ∈,

其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度

[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ??---+∞+∞'===.

25. 设随机变量X 服从指数分布(1)Ex ,求X Y e -=的分布.

解 X 有密度(0,)()()x X p x e I x -+∞=.设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设

()x y f x e -==, x V ∈,

则f 有反函数

1()ln f y y ?-==-, y G ∈,

其中{():}(0,1)G y f x x V ==∈=.因而Y 有密度 (ln )(0,)(0,1)(0,1)1()|()|(())()(ln )()()y Y X G p y y p y I y e I y I y I y y

??--+∞'==

-=. 26. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:

求边缘分布.解 X 有分布

Y 有分布

因为

0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===?,

所以X ,Y 不独立.

27. 根据历史纪录,某地5月份晴天,阴天和雨天的日子各占1/2,1/3和1/6.在5月中随意地选择6天,求这6天当中恰好有三天晴天,两天阴天和一天雨天的概率.

解 设这6天中有X 天晴天和Y 天阴天,则由例4.2,(,)X Y 服从三项分布,所求的概率是

3216!

(3,2)(1/2)(1/3)(1/6)5/363!2!1!

P X Y ====.

28． 设随机向量

(,)

X Y 服从矩形

{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.

解 1

()(622)/62/32P X Y ≤=-??=,

1

(,1)(11)/61/122P X Y X ≤≥=??=,

(,1)1/12

(1|)1/8()2/3

P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤=

==≤.

29. 设随机向量(,)X Y 有密度2(0,1)(0,2)(,)(3)()()f x y k x xy I x I y =+.求常数k ,边缘密度和条件概率(1/2|1)P X Y <>. 解 2(0,1)(0,2)1(,)(3)()()f x y dxdy k x xy I x I y dxdy +∞+∞

+∞+∞

-∞

-∞

-∞

-∞

==+???

?

()

21212220

00

(3)(3/2)k x xy dy dx k x y xy dx =+=+?

?

?

1

12320

(62)(2)3k x x dx x x k =+=+=?. 由上得1/3k =.

2(0,1)(0,2)1()(,)(3)()()3

X p x f x y dy x xy I x I y dy +∞+∞-∞

-∞

==+??

222(0,1)(0,1)0

1()(3)(22/3)()3

I x x xy dy x x I x =+=+?

.

2(0,1)(0,2)1()(,)(3)()()3

Y p y f x y dx x xy I x I y dx +∞+∞-∞

-∞

==+?

?

12(0,2)(0,2)01()(3)(1/3/6)()3

I y x xy dx y I y =+=+?.

2

(0,1)(0,2)1/2

1

1(1/2,1)(3)()()3X Y P X Y x xy I x I y dxdy <><>=

+?? ()

21/221/2222

1

111(3)(3/2)33x xy dy dx x y xy dx =+=

+??

?

1/22

1(33/2)5/483x x dx =

+=?, 2

1

1

(1)()(1/3/6)7/12Y P Y p y dy y dy +∞>==+=??,

(1/2,1)5/48

(1/2|1)5/28(1)7/12

P X Y P X Y P Y <><>=

==>.

30. 设X 和Y 独立,且分别有密度2(0,3)1()9x I x 和(0,2)1

()2yI y ,求概率()P X Y ≥.

解 (,)X Y 有联合密度

22(0,3)(0,2)(0,3)(0,2)111

(,)()()()()9218

p x y x I x yI y x yI x I y =?=,

2

()

,03,02

1()(,)18x y x y x y P X Y p x y dxdy x ydxdy ≥≥<<<<≥==

??

?? ()

2

322

3

0111119(27)18183135

y

x ydx dy y y dy =

=

-=

??

?. 31.设X 和Y 独立,都服从[2,2]-上的均匀分布,求概率22(1)P X Y +≤. 解 (,)X Y 有联合密度 2(2,2)(2,2)(2,2)(2,2)111

(,)()()()()4416p x y x I x yI y I x I y ----=?= ()

2322

30

0111119

(27)18183135y

x ydx dy y y dy =

=

-=??

?. 32. 随机向量(,)X Y 有联合密度

(,)(,)E p x y x y =

,

其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解

(

)

2

2

2

cos sin 200

01(,)2x r y r R

x y R

p x y dxdy d cdr cR θ

θ

π

θπ==+∞+∞

-∞

-∞

<+≤==

=

=?

???

??

因而12c R

π=

.而

222

{(,)}(,)D

x y r P X Y D p x y dxdy +≤∈==

????

()

cos sin 20

1

/2x r y r r

d dr r R R θθ

πθπ===

=??

.

33. 设随机向量(,)X Y 的联合密度是[0,)2

(,)()1x c p x y e I x y

-+∞=

+.求系数c 和(,)X Y 落在正方形

{(,):11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤内的概率.又问,X Y 是否独立？

解

201(,)1x

c p x y dxdy e dx dy y +∞+∞

+∞+∞

--∞

-∞

-∞

??== ?+?

?

?

??

? 2

1arctg 21c dy c y c y π+∞

+∞

-∞-∞===+?. 因而1/(2)c π=.而

2

1[0,)2

22011,111111

{(,)}()2211x

x x y P X Y D e I x dxdy dy e dx y

y π

π--+∞--≤≤-≤≤∈=

=++???? 1

11

1121011

1

111arctg ()(1)2221x x dy e dx y e e y π

π-----=

=?-=-+??. 34. 设(,)X Y 的联合密度是

(,)sin()(,)D p x y c x y I x y =+,

其中{(,):0/2,0/2}D x y x y ππ=<<<<.求系数c 和边缘密度. 解 ()

/2/20

1(,)sin()p x y dxdy c x y dy ππ+∞+∞

-∞

-∞

==+?

??

?

/20

[cos(/2)cos ][sin sin(/2)][sin(/2)sin 0]2c y y dy c c c πππππ=-+-=--+-=?

.

因而1/2c =.而

/2(0,/2)(0,/2)0

11

()(,)()sin()(sin cos )()22

X p x p x y dy I x x y dy x x I x πππ+∞-∞

==+=+?

?

, /2(0,/2)(0,/2)0

11

()(,)()sin()(sin cos )()22

Y p y p x y dx I y x y dx y y I y πππ+∞-∞

==+=+?

?

. 35. 设X 和Y 独立,密度分别为[0,1]()()X p x I x =和(0,)()()y Y p y e I y -+∞=,求Z X Y =+的密度. 解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞-∞=-?

()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞--+∞-∞=-? ()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞---∞-∞

=?

1

()()[0,1)[1,)0

()()z

z x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+?? [0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.

36. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度

(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y

Y p y e

I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.

解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数

(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-

和

(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.

1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->

()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,

()(0,)()()()()zs Z Z

p z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,

(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,

()(0,)()()(())()z z z Z Z

p z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞

=-=?-?

?

()()(0,)(0,)0

()()z

z x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==??.

因此,

(0,)2(0,)()()()()z

z Z z e

e I z p z ze I

z αβααβαββαααβ

--+∞-+∞?-≠?-=?

?=?

.

37. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1

110

(,)(1)s t B s t u u dx --=-?为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)

解 (见命题A .2.1)

38. ,X Y 相互独立,分别服从自由度为12,k k 的2χ分布,即

11/21/2(0,)/211()()2(/2)

k x X k p x x e I x k --+∞=

?Γ,

22/21/2(0,)/2

21()()2

(/2)

k y Y k p y y e I y k --+∞=

?Γ.

利用上题的结论证明X Y +也服从2χ分布,自由度为12k k +.

证 1~(/2,1/2)X k Γ,2~(/2,1/2)Y k Γ,由上题知,12~(,1/2)X Y k k +Γ+,即X Y +服从自由度为12k k +2χ分布.

39. 某种灯具的使用寿命T 是随机变量,有密度[0,)()()t p t e I t λλ-+∞=.每次使用一个灯具,如果损坏了则换上同种的新灯具,分别求两个灯具和三个灯具能够使用的时间的分布.

解1 设三个灯具的使用寿命分别为1T ,2T 和3T ,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为

R 和S ,则12R T T =+,1233S T T T R T =++=+.

R 有密度 ()[0,)[0,)()()()()()t r t R p r p t p r t dt e I t e I r t dt λλλλ+∞+∞---+∞+∞-∞

-∞

=-=?-?

?

()(0,)0

()r t r t I r e e dt λλλλ---+∞=??

22(0,)(0,)0()()r

r r e I r dt re I r λλλλ--+∞+∞==?.

即~(2,)R λΓ.S 有密度 2()[0,)[0,)()()()()()r s r S R p s p r p s r dr re I r e I s r dt λλλλ+∞+∞---+∞+∞-∞

-∞

=-=?-?

?

2()332(0,)(0,)(0,)001

()()()2

s s r s r s s I s re e dr e I r rdr s e I s λλλλλλλλ-----+∞+∞+∞=?==??.

即~(3,)S λΓ.

解2 设三个灯具的使用寿命分别为1T ,2T 和3T ,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为

R 和S ,则12R T T =+,123S T T T =++.由于~(1,

)i T λΓ,1,2,3i =,由上面的习题37知~(2,)R λΓ,~(3,)S λΓ.

40. 设22

111222~(,),~(,)X N X N μσμσ,且12,X X 相互独立,证明

22

121212~(,)X X N μμσσ+++.

证1 由(6.5)式得

2

2

22

121222221

2

12

1()()()()22222

1()2x z x x z x Z p z dx e

dx μμμμσσσσπσσ------∞

∞-

-

-

--∞

=

=

?

?.

由于

22

1222

12

()()22x z x μμσσ----- 2222222

21112222212

1

[(2)(222)]2x x z x xz z x σμμσμμμσσ=--++++--+

222222222222

21221112211211222

12

1

[()2()2]2x z x z z σσσμσσμσμσμσσμσσ=-

++--++++-

222222222222

2

12211122112112222222

121212

2()222z x z z x σσσμσσμσμσμσσμσσσσσσ??+--+++-=-+-??+??

2

2222

21212112222212122z x σσσσμσμσσσσ??++-=-- ? ?+??

2

222222222222

12121122112112

222222*********z z z σσσσμσμσμσμσσμσσσσσσ??++-++-+- ? ?+?? 22222

22

121211212222222121212

()22()z z x σσσσμσμμμσσσσσσ??++---=--- ? ?++??. 故

122222221212112122222222121212()1()exp 222()Z z z p z x dx σσσσμσμμμπσσσσσσσσ∞

-∞????++---??=--- ??? ?++??????

?

2

1222

12()22222

22()

12

12112222212122z z x dx μμσσσσσσμσμσσσσ--∞-

+??

??++-??

=

-- ??? ?+?????

?

?

. 上式的被积函数

22222

212

12112222212122z x σσσσμσμσσσσ??

??++-??

-- ??? ?+?????

?

是正态分布222221211212

222

21212,z N σσμσμσσσσσσ??+- ? ?++??

的密度函数，故上式的定积分为1，因而

2

1222

12()2()

()z Z p z μμσσ---

+，

由此知22

1212~(,)Z N μμσσ++.

证2 设111Y X μ=-,222Y X μ=-,由推论6.2知,211~(0,)Y N σ,2

22~(0,)Y N σ.设

12Z Y Y =+,

则由(6.5)式得

2

2

2

2

22221

2

1

2

1()()22222

1()2z x z x x x Z p z dx e

dx σσσσπσσ--∞

∞-

-

-

-

-∞

=

=

?

?.

由于

2222222

212222

1212

()1[(2)]222x z x x z x xz σσσσσσ---=-++- 22222

222222

2

1211121122222222

12

121212

21

[()2]222zx z x zx z x σσσσσσσσσσσσσσσσ??+=

-+-+=

---??+??

22

2222222212112112222222222

1212121212222z z z x σσσσσσσσσσσσσσσσσ????++=--

+

-

? ? ? ?++???? 2

2222

12122222212121222()

z z x σσσσσσσσσ??+=--

-

? ?++??.

故 122222

12122222221212121()exp 222()Z z z p z x dx σσσπσσσσσσσσ∞-∞?

???+??

=---

??? ?++??????

?

2

22122

2222()121222212122z z x dx σσσσσσσσσ∞-+?

???+??

=--

?

?? ?+??????

?.

上式的被积函数

2

22212

1222212122z x σσσσσσσ????+??

-- ?

?? ?+??????

是正态分布222

11222221212,z N σσσσσσσ??

? ?++??

的密度函数，故上式的定积分为1，因而

2

22122()()z

Z p z σσ-+=，

由此知2212~(0,)Z N σσ+.由推论6.2知,

22121212121212~(,)X X Y Y Z N μμμμμμσσ+=+++=++++.

41. 设12,,,n X X X 相互独立,且2~(,)i X N μσ,1,2,,i n = ,证明:

212~(,/)n

X X X N n n μσ+++ .

(提示:应用上题的结论.)

证 有上题知,

212~(2,2)X X N μσ+,

2123123()~(3,3)X X X X X X N μσ++=++,

2111()~(,)n n n X X X X X N n n μσ-++=+++ .

因而由推论6.2可得

212~(,/)n

X X X N n n μσ+++ .

42. 证明推论6.3.

证

1) 由推论6.2有2211~(,)aX N a a μσ,2222

~(,)bY c N b c b μσ+++.因而由命题6.1有 22221212~(,)aX bY c N a b c a b μμσσ++++++

2) 上题已证

212()/~(,/)n X X X n N n μσ+++ .

由推论6.2知

~(0,1)N . 43. 设12,,,n X X X 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度 ()/1(0,)()()m x m m m p x x e I x ηη--+∞=.

证明12min(,,,)n X X X 仍服从威布尔分布.

证 i X 1,i n = 有分布函数 ()/1(0,)0()()m x v m m m F x I x v e dv ηη--+∞=?

,

()()()///(0,)(0,)0()(1)()m m m v t x x t I x e dt e I x ηηη=--+∞+∞==-?.

设 12min(,,,)n Z X X X = ,

则Z 有分布函数

11()()(min(,,))1(min(,,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤ 11()()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=-- .

()()//(,0](0,)(0,)1()()1()m mn n

x x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞??=-+=- ???, 接下来的证明过程可以有两种。

其一：()Z F z 与()F x 有相同的形式，从而12min(,,,)n Z X X X = 仍服从威布尔分布. 其二： 因而Z 有密度函数

()1/(0,)()()()mn x Z Z p z F z mne I x η--+∞'==,

从而12min(,,,)n Z X X X = 仍服从威布尔分布.

44. 设~(,)U B n α,~(,)V B n β,αβ≤.证明对0,1,,k n = 都有()()P U k P V k ≥≤≥. (提示:在例4.2中设p α=,q βα=-,Z X Y =+,则Z 是n 次试验中事件A B 出现的次数,因而有~(,)X B n α,~(,)Z B n β,()()P X k P Z k ≥≤≥)