丢番图逼近

1丢番图逼近

数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。

1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜

。

1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的

实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。此即所谓丢番图逼近测度定理。例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜

丢番图逼近与连分数有密切联系。一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如，对于任意无理数α，

有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式

1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜

根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。1909年，A.图埃得到μ >1+d/2。1921年，C.L.西格尔得到。1947年至1948年间,F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了。1955年,K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论：如果α是实代数数,其次数d≥2,那么对

于任意的δ>0，不等式只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。

对于一组数的有理逼近问题，称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断：如果α1,…,αn是n个实数,Q>1是整数，那么存在一组整数q,p1,…,p n满足不等式组

进而，如果α1,…,αn中至少有一个无理数，那么存在无穷多组解(p1/q,…,p n/q)，适合不等式组

关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了：如果α1,…,αn是实代数数，并且1,α

q使得成立。式中1,…,αn在有理数域上线性无关，那么对任意的δ>0，只有有限多个正整数

记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式：对于上述的实数α1,…,αn及任意的δ>0，只有有限多组非零整数q1,…,q n适合

。

由此可知，联立不等式

只有有限多组解(p1/q,…,p n/q)，以及不等式

只有有限多组整数解p,q1,…,q n。

用代数数逼近代数数，也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》（1980）一书中，有详细的论述。

自20世纪以来，丢番图逼近除自身的发展外，在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。

连分数-正文

繁分数

叫做有限连分数。常简记为【α0,α1,…,αn】。当α0是整数、α1,…,αn是正整数时，则叫做有限简单连分数,当n无限时,【α0,α1,…】称为无限简单连分数。通常连分数均指简单连分数。给定一有理数，用熟知的辗转相除法，可展成有限连分数即，其中α0,α1,…,αN是辗转相除法中依次得到的不完全商，规定αN>1，则表法惟一。如果α是一个无理数,那么α可展成无限连分数，且表法惟一。反之，一有限连分数表一有理数,一无限连分数表一无理数。

渐近分数和完全商在连分数【α0，α1,…,αn,…】中取

而写,叫做连分数【α0,α1,…,αn,…】的第n个渐近分数。定义αń=【αn,αn+1,…】为连分数【α0，α1,…,αn,…】的第n个完全商。

渐近分数有如下简单关系：

①

②

③(p n,q n)=1和q n≥n (n≥2)

④

由此可得存在；⑤设α=【α0,α1,…,αn,…】,n≥1，0

，则,故在分母不大于q n的诸分数

中, 与α最接近；⑥设α=【α0,α1,…,αn,…】,则；反之，若有一个有理数适合，则必为α的某个渐近分数。

完全商有如下简单性质：①,一般地,；②αn=【αń】，n=0，1,2，…，由此可推出实数展成连分数时表法惟一。该实数为有理数时，规定最后一个αN>1。

循环连分数设α=【α0,α1,…,αn,…】,如果l≥m时，对某个固定的正整数k,有αl=αl+k,那么这样的连分数叫做循环

连分数，这种最小的k叫做它的周期，记为。例如

等。运用渐近分数、完全商的性质以及抽屉原理,J.-L.拉格朗日证明了有关循环连分数的一个重要定理：一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之亦然。

当D>0且不是平方数,则，其中函数【x】表示不超过x的最大整数。

此外，设佩尔方程x2-Dy2=1的最小解为ε，则的周期k满足。

应用举例连分数有许多应用。例如:①1891年,A.胡尔维茨证明了：在α的三个连续渐近分数中必有一个适合

。由此可得，任一无理数α，有无穷多个有理数。式中是最佳的,即设

，则必有一无理数α，使不能有无穷多个解，如就是这样一个数；②设D>0且

不是平方数,之连分数展开式中αń可表为，此处P n及Q n皆为整数。设n是最小的正整数,使(-1)n-1Q n=1,则x=p n-1,y=q n-1是佩尔方程x2-Dy2=1的最小解;③利用连分数可以证明数论中一个著名的定理：设素数p呏1(mod4),则p可表为二整数的平方和；④在近似计算方面，如求多项式的根的近似值，等等。

抽屉原理

“任意367个人中，必有生日相同的人。”

“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”

“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”

... ...

大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，它的内容可以用形象的语言表述为：

“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”

在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。

抽屉原理的一种更一般的表述为：

“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”

利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：

“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”

抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD 即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。

2丢番图逼近

在数论中，丢番图逼近探讨以实数逼近有理数的课题，逼近的程度通常以该有理数的分母衡量。

刘维尔定理与 Roth 定理

丢番图逼近理论建基于刘维尔关于代数数逼近的定理，该定理简述如下：

定理。设无理数α是个整系数n次多项式的根，则存在常数A> 0，使得对任意两整数p,q > 0 恒有

刘维尔定理可用以直接构造超越数。在这之前，数学家们已藉连分数导出关于

平方根与其它二次无理数的许多逼近性质。这个结果后来由 Axel Thue 等人改进，并导致Roth 定理：将刘维尔定理中的指数n由代数数的次数缩减到任意

的 2+ε（其中ε>0）；之后 Schmidt 将此推广到同步逼近。这些证明颇困难，而且不能得到明确的上界，这在应用上是一大缺憾。

均匀分布

另一个主题是模 1 的均匀分布理论。取一实数序列并考虑其真分数

部份；或者抽象地说是考虑，这在拓扑学上是个一维圆环。对圆环上

的任一段区间，我们研究有限集中有多大比例落在该区间，并

考虑此比例与区间长度之关系。“均匀分布”意味着当，此比例将趋近我们“期望”的值。Hermann Weyl 证明了这等价于该序列元素的指数和之上界，这表明了丢番图逼近与指数和相消的一般问题密切相关，后者在解析数论的误差项估计中无所不在。

其它面向

在 Roth 定理以后，丢番图逼近的主要进展与超越理论相关。均匀分布关乎分布的不规则性，因而带有组合学的本性。丢番图逼近中仍有陈述简单却悬而未解的问题，例如李特伍德猜想。

超越数是不能满足任何整系数代数方程的数。这即是超越数是代数数的相反，也即是说若x是一个超越数，那么对于任何整数

都符合：

超越数的例子包括：

?刘维尔(Liouville) 常数：

它是第一个确认为超越数的数，是于1844年刘维尔发现的。

?e

?e a，其中a是代数数。

?π（林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年）

?eπ

?。

更一般地，若a为零和一以外的任何代数数及b为无理代数数则a b必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。

?sin 1

?ln a，其中a为非一正有理数。

?Γ(1/3) 、Γ(1/4) 及Γ(1/6)（参见伽玛函数）。

所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，甚至连π + e是不是超越数也不知道，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的发现令一些古代尺规作图问题的不可能性得以证明。这包括著名的化圆为方问题，因π是超越数而被确定为不可能的了。

丢番图方程

丢番图方程

丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如右上角图的方程，其中所有的aj、bj和c均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...mn者则称之有整数解。

丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。

3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。

丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等

丢番图生平

代数之父─丢番图（Diophantine）是一位古希腊的大数学家，为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。其中丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了：

「坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。」

我们可以从中知道：“丢番图的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又过了1/7才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。”计算丢番图的方程为X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X，X = 84，由此知道丢番图享年84岁。一次不定方程

一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为：(a1,...,an)须是c的因子，其中(a1,...,an)表示a1,...,an的最大公因子。

若有二元一次不定方程ax + by = c，且(a,b) | c，则其必有一组整数解x1,y1，并且还有以下关系式：

* x = x1 + [b / (a,b)]t

* y = y1 ? [a / (a,b)]t

t为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。

丢番图分析

经典问题

* 有解答吗？

* 除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？

* 解答的数目是有限还是无限？

* 理论上，所有解答是否都能找到？

* 实际上能否计算出所有解答？

希尔伯特第十问题

1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

现代研究

* 丢番图集是递归可枚举集。

* 常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。

* 丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。

丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少。传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历；又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平；还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生。所有这些传说，无非是如下一段文字：

此人一生中，幼年占，青少年占，又过岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父4年而卒，寿为其父之半。

这段文字可以列成方程++=5++4=x,解之得x=84。丢番图活了84岁。

丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用；其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称为丢番图分析。丢番图曾写过三部书，其中13卷本的《算术》最为出色，后失传。大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了《算术》的拉丁文、希腊文版本。《算术》中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同。著名数学家汉克尔说：“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。”

请看3道例题：

例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。”

丢番图的解法用现代记号可表示如下（后同）：

设方程组

a+x=y2

b+x=z2

取a=2,b=3；构成差（3+x）-(2+x)=1；找两个数，令其乘积等于这个差，取4和，；

设2+x=或3+x=;

由此解得x=，为所求。

例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”

设方程

x2+y2=z12+z22

例3 “求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍是一个平方数。”

丢番图的解法如下：

设方程组

取四组勾股数65，32，52，39；65，60，25；65，56，33；65，63，16；

解之得

以上3例，我们可以看到丢番图在解不定方程时的高超技巧。不定方程之不定，是因为未知量的个数大于方程的个数，要害在于消元。所以，我们在研究丢番图的解法时，要特别注意其中消元的技巧：

例1的解法可以表示为

即可得

例2的解法可以表示为

设

即即得。

例3的解法的关键在于，直角三角形的斜边（c）与两直角边（a、b）有c2±2ab=a2+b2±2ab=(a±b)的关系，于是这个问题归结为求四个具有相同长斜边的不同的直角三角形。

余韵请读者细细品味。

超越理论

理论陷阱

在梅高营销策划公司工作几年，我对理论和理论家的看法产生了根本改变。自从人类产生文字以来，就一直欺骗着人类，人们也甘心被骗，被主宰，因为理论具有权威性，高贵性。但这只是虚假的光环，任何一种理论都是对以前经历的一种总结，是对一个“时点”上的概括，在那个“时点”上，或许对过去的经历是正确的总结，然而，时过境迁，理论也就暴露出它的破绽；理论是旧的，而现实是全新的，新旧完全不同，怎么可能吻合一致?时代在不断前进，理论谬误成份将逐渐增多，两者差异越来越大。所谓“历史发生了惊人的相似”，不过是文人墨客为了增加文章的可读性而惯用的一个“理论陷阱”而已。

历史没有相同，更没有所谓的“惊人相似”；表面大同小异，而本质上完全不同。去年客户是国营企业，今年是上市股份公司，企业还是那个企业，职工还是那些职工，历史相似得惊人吗?可实质发生了什么?一对青年男女去年腊月三十晚看春节联欢晚会，

今年还是腊月三十晚上看，历史何其相似?可实质发生了什么?去年是情侣，是恋人，今年是伴侣，是夫妻；去年甜言蜜语，男的是“奴隶”，今年粗声大气早已成将军，怎么是惊人相似?完全是天壤之别，太阳与月亮的差别。

在某种意义上，所有的理论都是排列成的无数陷阱，唯理论之人没有一个不掉到坑里，他们视理论为宝贝，且食之不化。“书山有路勤为径”；也不尽然，书没有路，勤也不是径，书是美丽的陷阱，决不能按书走路，而是应该绕着走，就不会落人陷坑，就会有光明大道。

超越理论

说理论是陷阱，那是不是干脆扔掉书不读了?恰恰相反，正因为是陷阱才更要读，多读一本书就多看见一个坑，人生路上就少一个陷阱，前进就更顺利。所以，我们只能以书为鉴，了解企业、市场从前发生过什么，然后激发出新思维，产生新方法。书照搬不得，更忌硬套，同时，理论上的一串串陷阱，实际正给我们暗示了另一条路，另一条康庄大道。但不是书路。

很多广告界的同仁做营销策划，做广告策划，做CI设计和企业保健的时候，常常痴迷于日美理论，台湾理论，生搬硬套而不能自拔，其结果是画地为牢，作茧自缚。只有跳出理论，纵身浸入企业现实的海洋之中，才能有灵气，才能有创意。

我们在短短的几年中，能够使漓泉啤酒从产销几千吨一跃成为广西啤酒第一品牌，产销达十三万多吨的中型企业；能助“天和药业”从一个街道集体小厂一跃成为产销上亿元的中型制药企业，能够使“南方芝麻糊”品牌家喻户晓，其间，当然少不了借助理论，少不了读书，但更准确地说，梅高人是在吃书，并且“吃书”蔚然成风；像牛吃草一样，草进了肚子不再是草，而是转化了，转化成另一种东西，一种灵气四溢、鲜活鲜活的经验本能和条件反射，处理任何问题不再是套理论、搬书本，而是运用一种无形无状富于弹性的经验本能。书读透了，因而做起来会得心应手，创意无穷。最终当然能赢得客户的普遍认可相称道。

然而，很多人忘了自己是人，而把自己当成了“仓库”，把一本一本的书“装”进仓库，整整齐齐排好队，的确很辛苦，也很勤劳，但书还是书，有形有状，没有转化，没有变成鲜奶，需要为企业出谋划策时，仍然只是从“仓库”里搬出书本，套理论，奉教条，结果是套住自己，害了客户。读书如果没有牛吃草的转化功能，不如不读书!

我们已不再过多地信奉理论和教条经验，在市场经济大潮的浸润下，变得更加务求实效。他们在为客户服务时，其实根本没想什么理论，正确的行动中本身就包含了新的理论；世人都认为正确的行动当时一定有意识地运用了理论指导，这是错觉，实情是我们所学的既有理论在不知不觉中已转化为人体内经验之本能，成为一种高级的条件反射，策划方案时，理论没有了，完全是凭熟悉的本能反应，从而进行得心应手的操作。

毛泽东能够在小米加步枪的基础上打败装备精良的国民党军，制胜的秘密何在?他没有照搬马列主义，也没教条孙子兵法，完全是根据特殊的自然和人文条件，随机善变。四渡赤水，有哪本书上告诉过他了?他怎么知道要四渡，而不是一渡和三渡?完全是他把理论和书本转化了，转化为经验本能和条件反射。为什么说秀才造反三年不成?因为秀才老是把书当炮弹扔，把文笔当钢枪使，先是弄得对手直痒痒，一旦弄疼别人就遭砍头了。我们有些读书人把经商说成下海，这哪里是什么下海，是自戕!用书本、理论把自己双手双脚捆死，然后把自己扔到海里。呛个半死才上岸，而别人已高奏凯歌了，他却在吐苦水。

诊断为先

对企业现状和竞争市场作出切中实质的诊断，是企业开展营销工作的前提和基础。

企业诊断，如同医生对患者的身心诊断，其目的是针对企业经营发生的问题，以建议其采取治疗措施，从而维护企业经营的安全与发展，遗憾的是，往往有?些企业领导对此意识淡薄，观念不强。大家知道．癌症到了晚期病人会很痛苦，而在此之前的漫长发病期间，病人并不觉得疼痛，但病症却日益恶化；因暴饮、暴食、过度疲劳造成肝硬化而死亡的人很多，但这种病没有疼痛；糖尿病、脑溢血等可怕疾病也大都如此，等到引起注意时已经为时晚矣。人有病需要诊断治疗、无病同样需要预防和保健，企业何不如此!

纵观世界著名企业，能常胜不衰、雄霸市场者，无不重视企业的保健与学习；我国很多著名企业，生命周期往往不足五年就风光不再，甚至销声匿迹，这不得不引起我们的反思。

值得欣慰的是，残酷的市场经济和事实已使无数企业强烈地感受到变革观念的紧迫性。迅即，市场上陡增了无数专业广告公司、策划公司、管理顾问公司以及各路单打独斗的“散仙”；一时，头痛医头，脚痛医脚的西医疗法、照搬理论、信守教条的经验疗法、隔离疗法等等风行于市，形成一轮又一轮的广告大战，价相大战，促销大战，此起彼伏，盛况空前，确实让不少企业“获弊匪浅”。

我们早已不被理论所主宰，不为经验所束缚，不断追求高品质，精益求精。凭藉近10年为企业服务的实战经历以及科学规范的作业流程，在产品力、销售力、管理力等方面创造了全新理念，并由此总结“望”、“闻”、“问”、“切”、“治”之全新营销观念与操作方法，并通过诺多成功的案例，得到了市场的验证和企业的首肯。

借助理论，超越理论，这就是我们的营销观。