数学---天津市静海县第一中学2016-2017学年高二下学期期末终结性检测(文)

天津市静海县第一中学2016-2017学年高二下学期期末终结性检测（文）第Ⅰ卷 基础题一、 选择题:1、 已知集合，则集合为( )A ．B ．C ．D ．2.已知集合},1{a A = ,]3,2,1{=B ,则""B A ⊆是"3"=a 的（ ）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 3.将函数2cos 2sin 3)(x x x f -=的图像向右平移32π个单位长度得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的一个单调减区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,4ππB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,23 4.设函数1log 2-=x y 与x y -=22的图象的交点为()00,y x ，则0x 所在的区间是（ ）A ．()1,0B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,35.在ABC ∆ 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且满足1sin sin sin sin sin sin ≥+++B A C C B A ，则角B 的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0π C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,3 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,6 6．如图，在平行四边形ABCD 中，已知2,3,5,8=⋅===BP AP PD CP AD AB ， 则AD AB ⋅的值是( )A ．8B ．12C ．22D ．247．已知函数x x x f --=2ln )(，则关于的不等式)121(ln 21-<⎪⎭⎫ ⎝⎛m f 的解集为( ) 2{|03,},{|1}A x x x N B x y x =<≤∈==-A B {}1,2{}1,2,3{}0,1,2{}0,1,2,3A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 C ．()2,0 D ．()()2,00,2 - 8．若函数)0(cos sin )(>+=ωωωx a x x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3πM 对称，且在6π=x 处有最小值，则ω+a 的一个可能的取值是（ ）．（A ）9 （B ）6（C ）3 （D ）0二、填空题 9．设全集R U =，集合{}1|2<=x x A ，{}02|2>-=x x x B ，则()B C A R = ．10.设向量b a ,满足10=+b a 6=-b a ，则b a ⋅＝________.11.已知实数b a ,满足b a >，且2=ab ，则ba b a -++122的最小值是 ． 12．曲线2x e y =在点()2,4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________13．函数2)()(m x x x f -=在1=x 处取得极小值，则m = ． 14.定义在R 上的函数⎩⎨⎧=≠-=)4(,1)4(,4lg )(x x x x f ，若关于的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同的实根54321,,,,x x x x x ，则)(54321x x x x x f ++++=___________三、解答题15.在平面直角坐标系xoy 中，已知向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22,22m ，()x x n cos ,sin =，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx . (1)若n m ⊥，求x tan 的值；(2)若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．16． 某钢厂打算租用B A ,两种型号的火车车皮运输900吨钢材，B A ,两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为万元/个和万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用y x ,表示租用B A ,两种车皮的个数． (Ⅰ)用y x ,列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)分别租用B A ,两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金．17、在ABC ∆，内角的对边分别为．已知 60=B ，， ． （Ⅰ）求；（Ⅱ）求)2cos(B A -的值．18．设函数1124cos 24cos 4tan )(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=πx x xx f （Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最值.第Ⅱ卷 提高题19.已知函数0,13)(3≠--=a ax x x f ．1.62.4A B C 、、a b c 、、7b =33sin sin 14A C -=a ()f x []0π-，（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在1-=x 处取得极值，且函数m x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1)13()()(+-+=x a x f x h ，证明过点()1,2P 可以作曲线)(x h 的三条切线．20.设函数x a x x f ln )(2-=，x a x g )2()(-=.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点21,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)求证：0221,>⎪⎭⎫⎝⎛+x x F .参考答案1-8、BBCC BABA9. [0，1）10. 1 11.2512．e 213． 1 ．14. lg1615. 解：(1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，∴x 的值为512π.16．解：(Ⅰ)由已知y x ,满足的数学关系式为………………4分该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示．…………………7分 (Ⅱ)设租金为z 元，则目标函数，所以，这是斜率为，在y 轴上的截距为的一族平行直线. …………………………………9分 当取最小值时，z 的值最小，又因为y x ,满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域中的点M 时，截距的值最小，即z 的值最小. ……11分 3660900,21,7,00.x y x y y x x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩1.62.4z x y =+25312y x z =-+23-512z 512z 1.6 2.4z x y =+512z解方程组，得点M 的坐标为，……………………………12分所以(万元)．答：分别租用A 、B 两种车皮5个,12个时租金最小，且最小租金为36.8万…………………17.解：（Ⅰ）由正弦定理得，.............................1分 所以，....................................................2分 由余弦定理得，即，..........................................................................................................3分 所以，即，所以，...............................................5分 由可得8=a ．......................................................................................................6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得8=a ，，所以5=c ..................................................................7分所以；...................................................................................9分 从而...................................................................................10分 B A B A B A sin 2sin cos 2cos )2cos(+=-A A A cos sin 3)1cos 2(212+-= 9823734713)14912(21-=⨯⨯+-⨯=．…………………………………………13分 18．解：（Ⅰ） ………2分 ………4分 由得的定义域为 ………6分 （占1分 ）36609007x y y x +=⎧⎨-=⎩(5,12)M min 1.65 2.41236.8z =⨯+⨯=7143sin sin sin sin 603a cb A C B ====︒14314333(sin sin )33314a c A C -=-=⨯=222cos6049a c ac +-︒=2249a c ac +-=2()49a c ac -+=949ac +=40ac =340a c ac -=⎧⎨=⎩3a c -=2221cos 27b c a A bc +-==243sin 1cos 7A A =-=()2sin cos cos 4426x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭31sin cos sin cos sin 3sin 2262222226x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()42x k k Z ππ≠+∈()f x (){}|24x x k k Z ππ≠+∈k Z ∈故的最小正周期为 ……7分 （Ⅱ） ……8分……9分 ……10分 ……11分 而 ……12分 . ……13分 （注：结果正确，但没写单调区间扣2分）19．（Ⅰ）解：f'（x ）=3x 2﹣3a=3（x 2﹣a ），…（1 分）当a ＜0时，对于x ∈R ，f'（x ）＞0恒成立，所以，当a ＜0时，f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增； …（2 分） 当a ＞0时，由f'（x ）＞0，解得或，由f'（x ）＜0，解得， 所以，当a ＞0时，f （x ）在区间和区间上单调递增， 在区间上单调递减．…（4 分） （Ⅱ）解：因为f （x ）在x=﹣1处取得极值，所以f'（1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，故a=1．…（5 分）则f （x ）=x 3﹣3x ﹣1，f'（x ）=3x 2﹣3， 由f'（x ）=0，解得x=﹣1或x=1．由（Ⅰ）中f （x ）的单调性，可知f （x ）在x=﹣1处取得极大值f （﹣1）=1， 在x=1处取得极小值f （1）=﹣3．…（7 分）()f x 2412T ππ==0x π-≤≤ 23266x πππ∴-≤-≤-2,,()26326x x f x πππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减0,()26266x x f x ππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增min ()()36f x f π∴=-=-33(0)()22f f π∴=--=-，max 3()(0)2f x f ∴==-因为函数g （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点，而在极大值点左侧存在f （﹣3）=﹣19＜f （1），在极小值点右侧存在f （3）=17＞f （﹣1），所以m ＜f （﹣1）且m ＞f （1），即实数m 的取值范围（﹣3，1）．…（9 分）（Ⅲ）证明：依题意，h （x ）=（x 3﹣3ax ﹣1）+（3a ﹣1）x+1=x 3﹣x ，…则h （x ）=x 3﹣x 在点（t ，h （t ））处的切线方程为y=（3t 2﹣1）x ﹣2t 3．…若切线过点P （2，1），则1=2（3t 2﹣1）﹣2t 3，即2t 3﹣6t 2+3=0．过点P （2，1）可以作曲线h （x ）的三条切线等价于方程2t 3﹣6t 2+3=0有三个不同解．…设ϕ（t ）=2t 3﹣6t 2+3，则ϕ'（t ）=6t 2﹣12t=6t （t ﹣2），因为ϕ（t ）在R 上有唯一极大值ϕ（0）=3＞0和唯一极小值ϕ（2）=﹣5＜0， 且在极大值点左侧存在ϕ（﹣1）=﹣5＜0，在极小值点右侧存在ϕ（3）=3＞0， 因此方程ϕ（t ）=0有三个不同解．所以过点P （2，1）可以作曲线h （x ）的三条切线．…20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()()22'20a x a f x x x x x-=-=>． ……1分 当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． ……2分当0a >时，由()'0f x >，得22a x >，()'0f x <，得202a x <<， 所以函数()f x 的单调增区间为2,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为20,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.……3分 （Ⅱ）（1）()()()22221F'220a x a x a x a x x x a x x x x---+=---==>-（）（)(）． 因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增， 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. ……4分所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. ……5分 因为0a >，所以4ln402a a +->. 令()4ln 42a h a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数 3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分（2）证明 ：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--． 所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分 因为F'02a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >， 故只要证122x x ＋＞2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分 即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--， 也就是证11221222ln －＋x x x x x x <. ……12分 设()1201x t t x =<<． 令()22ln 1t m t t t =-－＋，则()()()22211411t m t t t t t -'=-=++（）. 因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分当且仅当1t =时，()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数． 又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分。