三视图和直观图
1.2空间几何体的三视图和直观图
请您画出正六棱锥的三视图
俯
侧
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数学
请您画出四棱台的三视图
俯
侧
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数学
请您画出球的三视图
俯
侧
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数学
三通水管
图2
图1
如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1， 而是图2，然后根据这三个图形制造出水管接头.
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数学 画出下面这个组合图形的三视图．
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数学
1.正视图
光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影 图 叫做几何体的正视图.
2.侧(左）视图
光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影 图叫做几何体侧视图.
3.俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投 影图叫做几何体的俯视图.
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数学 根据长方体的模型，请您画出它们的三视 图，并观察三种图形之间的关系． 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，俯 视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度 一样．
在中心投影中，如果改变物体与投影中心或投影面之间的 距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
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数学
在一束平行光线下的投影叫做平行投影．
正投影：投影 线正对着投影 面（即垂直于 投影面）
斜投影：投影 线不垂直于投 影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小， 作图比较方便，在作图中应用最广泛．
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数学
三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果
S
投 射 方 向
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数学
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数学
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以 获得一个平面图形．视图是指将物体按正投影 向投影面投射所得到的平面图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全 貌，因此我们需要从多个角度进行投影．
立体几何的结构特征及三视图直观图
主视图
01
主视图是物体正对着观察者时所 呈现的视图，通常放在最前面， 表示物体的高度和长度。
02
主视图反映了物体的前后、上下 关系，是三视图中最重要的一个 视图。
左视图
左视图是从物体的左侧观察得到的视 图，表示物体的宽度和深度。
左视图反映了物体的左右、上下关系 ，与主视图共同确定物体的前后关系 。
常见的空间几何体有长方体、 球体、圆柱体、圆锥体等。
每个几何体都有其特定的构成 方式和特点，如长方体由六个 面组成，球体是一个连续曲面 的几何体等。
几何体的度量属性
长度
面积
体积
角度
用于度量线段的长度。
用于度量平面图形的面 积。
用于度量三维空间中物 体所占的体积。
用于度量两条射线之间 的夹角。
03
俯视图
俯视图是从上往下观察得到的视图，表示物体的平面布局和 高度。
俯视图反映了物体的左右、前后关系，与主视图共同确定物 体的深度。
04
三视图与直观图的转换
三视图到直观图的转换方法
投影法
组合法
根据三视图中的投影关系，将三个视 图分别投射到三个相互垂直的平面上， 形成直观图。
结合投影法和坐标法，先根据投影关 系将三视图转换为平面图形，再通过 坐标法将平面图形转换为立体图形。
案例三
总结词：对比分析
详细描述：对于一些复杂的几何体，仅通过三视图可能难以完全理解其结构和形状，此时可以通过对 比分析三视图与直观图，更好地理解几何体的构造和特点。
感谢您的观看
THANKS
具有空间性和直观性，通过空间 想象和直观感知来研究几何对象源自之间的关系。立体几何的重要性
实际应用
1.2 空间几何体的三视图和直观图
A
M
y
D
C
B
C
D
P
C
N
B
A
x
A
D
A
B
例3．已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图
Z ·
O
y
· O · O
正视图
· O · O
侧视图
y
x
O
x
·
俯视图
三视图从细节上刻画了空 间几何体的结构,根据三视图， 我们可以得到一个精确的空间 几何体,正是因为这个特点，使 它在生产活动中得到广泛应用 (比如零件图纸、建筑图纸等). 直观图是对空间几何体的整体 刻画，我们可以根据直观图的 结构想象实物的形象．
y
F A
M
E D
x
y'
O
O
x'
B
N C
注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置．
1 (2)以O 为中心，在 x 上取 A D AD ，在 y 轴上取 M N 2 MN ' '为中心，画 B 'C ' x ' 轴，并等于 BC ，再以 M 为中心，画 以点 N
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的 角度观察，给人以平行四边形的感觉， 如图.比较两图，其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化？哪些没 有发生变化？
思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下，比较两图，其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化？ 哪些没有发生变化？
思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图，关键是确定直观图中各顶点的位 置，我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作？
空间几何体的三视图和直观图
直观图的画法与三视图的形成
1. 根据平行投影原理绘制的、用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
2. 将空间图形向三个互相垂直的平面作正投影，并按照一定的布局放在同一平面内构成的图形叫做空间图形的三视图.
画直观图的的规则、步骤
1.建系（画轴）：
在空间图形中建立直角坐标系；画直观图时，使x'轴与y'轴成450或1350角(这样的x'o'y'平面表示水平平面)，z'轴与x'轴垂直.
2.平行性不变：
在空间图形中互相平行的直线或线段，在直观图中仍然平行.
3.横竖长不变、纵向长减半：
在直观图中，与x'轴、z'轴平行的线段的长度与空间图形中保持不变；与y'轴平行的线段的长度缩短为原空间图形中的一半.
4.擦去辅助线(包括x'y'z'轴)
三视图的对应规律(1)主视图和俯视图
----长对正
(2)主视图和左视图
----高平齐
(3)俯视图和左视图
----宽相等
例1、画出下例几何体的三视图
例2、画出下例几何体的三视图
上部正六棱柱的底面边长为3cm,
高为1.2cm；下部圆柱的底面半径
为0.8cm，高为2cm。
练习3. 画出下面三视图所表示的几何体的直观图
练习4. 画出下面几何体的三视图。
文档：实物图、三视图与直观图
实物图、三视图与直观图“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这首诗正是诗人从不同方向观察同一物体看到了不同的景观的结果．从不同的方向观察同一物体时，看到不同的图形，其中，把从正面看到的图形叫做主视图；从左面看到的图形叫做左视图；从上面看到的图形叫做俯视图。
下面让我们一起来探讨空间几何体的三视图、实物图、直观图之间的关系及其应用.一.画组合体的三视图例1. 螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．解答: 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．它的三视图如下.点评: 1．对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．2.在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．例如上图中，表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB，侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆．例2.下图是截去一角的长方体，画出它的三视图．解答物体三个视图的构成都是矩形，长方体截角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形．三视图为下右图.点评:1．任意一个物体的长、宽、高，一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离．2.在本例中，应注意辫别视图中矩形对角线反映的是截面三角形的哪一条边．二.由三视图还原成实物图例3.下图(1)所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．解析从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台，它的上底面是边长为60mm的正方形，下底面是边长为100mm的正方形，高为20mm.底座的上面是一个底面对角线长为40mm，高72mm的正四棱柱，它的底面的对角线分别与棱台底面的平行，它的底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上．奖杯的最上部，在正四棱柱上底面的中心放着一个直径为28 mm的球．根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如下图(2)所示．点评: 由三视图还原成实物图，是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.三.利用三视图画出物体的直观图例4.根据下图中几何体的三视图，画出它的直观图．分析：已知三视图来画直观图时，逆用画三视图的法则来还原成“原”图形，即“高平齐，长对正，宽相等”，并将看不见的线改为虚线．解：直观图如下图.点评:掌握三视图和直观图之间的联系是解题的关键．。
三视图和直观图
如右图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是 ( )
解析：将斜二测画法还原为直观图，如图所示
1．(2012年杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各 个截面都是圆，则这个几何体一定是 A．圆柱 C．球体 B．圆锥 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 ( )
解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆 面．
空间几何体
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ，上下底面是 全等 的 多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点 多面体 的三角形． (3)棱台可由 平行于底面 的平面截棱锥得到， 相似 其上下底面是 多边形．
(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕 旋转体 上下底中点连线 旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到.
直 观 图
1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原 2 平面图形的面积S之间的关系是S′＝ 4 S. 2．对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通 过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段， 再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观 图中的“三变、三不变”： 坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行线段的长度改变减半， 图形改变. 平行性不变， “三不变”与x轴平行的线段长度不变， 相对位置不变.
2.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何 体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而 成．有多面体与多面体征可知：棱柱有两个面互相 平行，其余各面都是平行四边形，反过来，成立吗？
空间几何体的三视图和直观图-PPT课件
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和 一个圆柱，若把它们看作一个整体，你 能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
正视 俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图， 若已知一个几何体的三视图，我们如何 去想象这个几何体的原形结构，并画出 其示意图呢？
（3）水平线段等长，竖直线段减半.
思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图，如果把一个圆水平放 置，看起来像什么图形？在实际画图时 有什么办法？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并画出其示意图.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并作适当描述.
正视图 正视图 侧视图
侧视图
俯视图
俯视图
理论迁移
例1 下面物体的三视图有无错误？ 如果有，请指出并改正.
正视图
侧视图
正视 俯视图
例2 将一个长方体挖去两个小长方体 后剩余的部分如图所示，试画出这个组 合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体 的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法
思考1:把一个矩形水平放置，从适当的 角度观察，给人以平行四边形的感觉， 如图.比较两图，其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化？哪些没 有发生变化？
c
a
俯视图
b b
三视图与直观图1
平行投影 斜投影
中心投影
A
B C
D
正投影
三角形一定相似吗？
一定是三角形吗？
三视图：我们从不同的方向观察同一物体时， 可能看到不同的图形。其中，把从正面看到的 图叫做正视图，从左面看到的图叫做侧视图， 从上面看到的图叫做俯视图。三者统称三视图。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主视图反映了 物体的长和高及前后两个面的实形。
要求：俯视图安排在正视图的 正下方，侧视图安排在正视图 的正右方。
正视图方向
正视图
侧视图
俯视图
练画 出 习下
一
列 ： 基 本 几 何 体 的 三 视 图
长方体
圆台
六棱锥
练 习
二
：
画 出 下 列 几 何 体 的 三 视 图
正视图
侧视图
长方体
长方体
俯视图
正视图
侧视图
圆台
俯视图
圆台
六棱锥的三视图
六棱锥 小结：若相邻的两平面的相 交，表面的交线是它们的分 界线，在三视图中，分界线 和可见轮廓线都用实线画出。
简单组合体的三视图
例3：画出下面几何体的三视图。
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
俯视图
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出。
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
俯视图
小 结
三视图 正视图——从正面看到的图 侧视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置：正视图 侧视图 俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等.
圆柱
圆锥
球
从正面,侧面,上面看这些几何体,它们的形状各是 什么样的? 正面看: 长方体 等腰三角形 圆 侧面看: 长方体 等腰三角形 圆 上面看: 圆 圆 侧视图 正视图 侧视图
1.2空间几何体的三视图和直观图
(2) (3) (1) 图(1)的投影线交于一点 图(2)(3)的投影线平行
问题4 什么是中心投影？什么是平行投影？
光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，其 投影线交于一点 把在一束平行光线照射下形成的投影叫平行投影， 其投影线互相平行 问题5 图(2)(3)同是平行投影,它们有什么区别呢? 图(2)的投影线与投影面垂直,称这种投影为正投影 图(3)的投影线与投影面不垂直,称这种投影为斜投 影
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图 形的直观图，这种画法叫斜二测画法． 投影规律 1.平行性不变，但形状、长 度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上 的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的 直线在地面上的投影长变
如图，是一个奖杯的三 视图，你能想象出它的 几 何结构特征，并画出 它的直观图吗？
正视图 侧视图
府 视 图
例1
变式
练习1：下列说法是否正确？
(1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形. (×) (2)两条相交直线的直观图可能平行. (×) (3)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直. (×) (4)等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰三 角形. (×) (5)水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不 变，高为原三角形高的一半的三角形. (×)
作业
课本P20-21 A组试题 点金训练P12-13全部习题
练习2：如图,直观图所示的平面图形是( C ) A.任意三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
y
A
B
45°
C
o
x
练习3：如图,直观图所示的平面图形是( B ) A.任意四边形 B.直角梯形 C.任意梯形 D.等腰梯形
三视图和直观图(含答案)
空间几何体的三视图和直观图一、探究 探究一：直观图1．如图，这是长方体、圆柱等四个几何体的直观图。
把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.空间几何体的直观图通常是在 投影下把空间图形展现在平面上，用平面的图形表示空间几何体。
探究二：斜二测画法 1．斜二测画法的方法步骤：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，把x 轴、y 轴画成对应的x '轴和y '轴，两轴交于点O '，使 ，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x 轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴和y '轴的线段.③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段， . 2．空间几何体直观图的画法：立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，90xoz ∠=o 。
其直观图中对应于z 轴的是z '轴，''90x oz ∠=o，平行于z 轴的线段，在直观图中画成 于z '轴，长度 . 二、自我检测1．下列结论正确的有 ①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
2．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ．οο90,90 B ．οο90,45 C ．οο90,135D ．ο45或οο90,1354．如图，A B C '''△是ABC △的直观图，那么ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 三、应用示例例1．用斜二测画法画水平放置的正六边形、任意三角形的直观图。
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正视图 侧视图 俯视图
A B C D
高中数学必修二学案(025)
班级_________姓名_________组别_____ 编写人 宋旭平 审核人_____
三视图和直观图
【学习目标】
1.能画出简单空间图形的三视图；
2.能识别三视图所表示的立体模型。
3会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图；
【学习重点】
1.能识别三视图所表示的立体模型。
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图、
【完成目标】
投影 定义 特征 分类
中心投影
平行投影
三视图 概念 规律
正视图
侧视图
俯视图
【目标检测】
1. 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.以上都不对
2. 如图所示的几何体的侧视图是( )
3. 在下列几何体中，三视图完全一样的是
①圆锥②正方体③圆柱④球⑤正四面体（指四个面都是正三角形的四面体）
A.①③④ B.④⑤ C.②④⑤ D.④
4. 如果一个几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一
个圆及其圆心，那么这个几何体为 （ ）
A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．圆柱
【本课小结】
包铁一中引导行三线教学法
从知识上学到________________________________________
从方法上学到________________________________________
还有哪些疑惑________________________________________
下节目标解读
____________________________________________
高中数学必修二学案(025)
班级_____ 姓名_________组别_____ 编写人 宋旭平 审核人_____
【基础题】
用斜二测画法画平面图形直观图的步骤有哪些？
【提高题】
1.下列说法正确的是（ ）
A.互相垂直的两条直线的直观图任然是两条互相垂直的直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边行
2.利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形
以上结论正确的是（ ）
A.①② B.① C.③④ D.①②③④
3.已知一个水平放置的矩形，它的直观图是一个平行四边形，其中水平边
的长度是4，另一边的长度是3，则这个矩形的面积是（ ）
A.12 B.24 C.6 D.48
4.若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的
倍。
5.一个三角形用斜二测画法画出的直观图是边长为2的正三角形，则原三
角形的面积是 。
6.一个水平放置的平面图形的的直观图是一个底角为错误！未找到引用
源。，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等
于 。
7.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
包铁一中引导行三线教学法
【总结与反思】
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
【老师批语】______________________________________________________________________