第十四讲 数列概念及等差数列
数列的概念及等差数列-高考数学专题复习
数列的概念与等差数列知识精要数列基础知识定义项，通项数列表示法数列分类等差数列等比数列定义通项公式前n 项和公式性质特殊数列其他特殊数列求和数列⒈ 数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 4. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
5．数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 （2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列6.数列的表示方法（1） 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：① 并不是所有数列都能写出其通项公式② 一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos|π+=n a n . ③ 数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.如数列 的通项公式为*1()n a n n N =-∈；...的通项公式为；的通项公式为 ；（2）图象法仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （3）递推公式法递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。
初中数学知识归纳数列的概念与常见求和方法
初中数学知识归纳数列的概念与常见求和方法数列是数学中的重要概念之一，它在初中数学中占据着重要的地位。
本文将对数列的概念进行归纳，并介绍常见的求和方法。
一、数列的概念数列是由一些有序的数按照一定规律排列形成的，它通常用{ }表示。
数列中的每个数称为数列的项，用a₁、a₂、a₃……表示，其中a₁称为首项，a₂、a₃分别称为第二项、第三项，以此类推。
根据数列的特点，我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种。
1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值是一个常数，这个常数被称为公差，用d表示。
等差数列可以用通项公式来表示：aₙ = a₁ + (n-1)d其中aₙ表示第n项，a₁表示首项，d表示公差。
例如，以下是一个等差数列的示例：{1，4，7，10，13}，其中首项为1，公差为3。
2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值是一个常数，这个常数被称为公比，用q表示。
等比数列可以用通项公式来表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中aₙ表示第n项，a₁表示首项，q表示公比。
例如，以下是一个等比数列的示例：{2，4，8，16，32}，其中首项为2，公比为2。
二、求和方法在数列中，经常需要求出数列的前n项和。
下面将介绍几种常见的求和方法。
1. 等差数列的求和对于等差数列，我们可以利用求和公式来计算前n项的和。
等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。
例如，对于等差数列{1，4，7，10，13}，我们可以计算出前3项的和：S₃ = (3/2)(1 + 7) = 122. 等差数列的特殊求和在一些特殊情况下，等差数列的前n项和也可以通过简单的计算得到。
例如，当等差数列的首项为1，公差为1时，前n项和可以用公式：Sn = (n/2)(n+1)即等差数列的前n项和等于n乘以n加1再除以2。
这个公式在初中数学中经常被用到。
4.2.1等差数列的概念 课件(共13张PPT)(2024)高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
a, A, b 成等差数列
等差数列填空：
12，
，
，
，
0
探究新知
三.等差数列的通项公式
如果一个数列a1, a2, … , an, …是等差数列,它的公差是d, 那么
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
不
累
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
完
a4-a3=d
加
…
…
全
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
[练习1]等差数列{an }中, 若a1 5, 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a11 a1 10 d 5 10 3 35
[变式]等差数列{an }中, 若a4 14 , 公差d 3, 则a11 ___ .
析 : a4 a1 3d a1 9 14, a1 5.
不是
（6）, , , , …
不是
公差可为正、可为负也可为0
说明：判断数列是不是等差数列,
运用定义：看+ − 是否为
同一个常数.
探究新知
二.等差中项的定义
在如下的两个数之间, 插入一个数使这三个数成为一个等差数列:
(1) 2, ( 3 ), 4
(2) -1, ( 2 ), 5
新课导入
【情景2】 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装
对应的尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48
新课导入
【情景3】 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得
数列与数列的等差数列与等比数列
数列与数列的等差数列与等比数列数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，常见的数列有等差数列和等比数列。
本文将介绍数列的概念以及等差数列和等比数列的性质与应用。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列可以表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁, a₂, a₃是数列的前几项，...表示数列的继续。
数列可以无限延伸。
二、等差数列等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中an表示第n项，a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的常见性质：1. 公差d表示了相邻两项之间的差值，可以用来计算任意项的值。
2. 等差数列的首项和末项之和等于相邻两项之和的一半乘以项数加一：Sn = (a₁ + an) * n / 2。
其中Sn表示前n项和。
3. 等差数列的和可以用直接计算公式进行求解，Sn = (n / 2) * (2a₁+ (n - 1)d)。
4. 等差数列的前n项和与项数n成正比，和公差d无关。
三、等比数列等比数列是指数列中的每一项与其前一项的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n - 1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的常见性质：1. 公比r表示了相邻两项之间的比值，可以用来计算任意项的值。
2. 等比数列的首项和末项之和等于首项乘以公比的n次方减一除以公比减一：Sn = a₁ * (r^n - 1) / (r - 1)。
其中Sn表示前n项和。
3. 等比数列的和可以用直接计算公式进行求解，Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。
4. 当公比r大于1时，等比数列为递增数列，当公比r小于1且大于0时，等比数列为递减数列。
四、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学和实际问题中有着广泛的应用。
数列的基本概念与性质知识点总结
数列的基本概念与性质知识点总结数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。
本文将对数列的基本概念和性质进行总结，帮助读者更好地理解和运用数列知识。
1. 数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
通常用字母表示，例如a₁，a₂，a₃，...，aₙ。
其中，a₁为首项，a₂为第二项，aₙ为第n项。
2. 等差数列等差数列是一种常见的数列，其中任意两项之差都相等。
这个公差用字母d表示。
可表示为a₁，a₁+d，a₁+2d，...，a₁+(n-1)d。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的性质（1）求和公式：等差数列的前n项和可以用求和公式来表示，即Sn=(a₁+aₙ)/2×n。
（2）首项与末项的关系：可以通过首项和末项的和与项数的关系求得，即a₁+aₙ=a₁+a₁+(n-1)d=2a₁+(n-1)d。
（3）等差数列的对称性：等差数列中，第k个数和第(n-k+1)个数之和等于第(n+1)/2个数和第(n+1)/2个数的平均数。
4. 等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中任意两项的比值都相等。
这个比值用字母q表示。
可表示为a₁，a₁q，a₁q²，...，a₁q^(n-1)。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁q^(n-1)。
5. 等比数列的性质（1）求和公式：等比数列的前n项和可以用求和公式来表示，即Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1。
（2）首项与末项的关系：可以通过首项和末项的比与项数的关系求得，即aₙ=a₁q^(n-1)。
（3）等比数列的倒数性质：等比数列的倒数仍然是等比数列。
6. 通项公式的推导与应用对于不同的数列，可以通过观察列项之间的关系来推导出通项公式。
通项公式的推导可以帮助我们更方便地计算数列中的任意一项。
在实际应用中，通项公式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
7. 数列的应用领域数列广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学、计算机科学等。
数列的概念和等差数列
数列的概念和等差数列（文）一周强化一、一周知识概述数列的概念是数列的基础。
其中通项公式和前n项和的求法是高考的必考内容，数列实质上是一个特殊的函数，它是定义在N*（或它的子集）上的函数，因而在解决数列问题时，一方面要利用函数的思想、函数的观点、函数的方法来解决数列问题；另一方面还应注意数列的特殊性，也就是解决数列问题的特殊方法。
二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周复习的重点1、2、3、等差数列的通项公式a n=a1＋(n－1)d推广式a n=a m+(n－m)d变形式n =4、等差数列的求和公式S n=5、等差数列的性质（1）若m、n、p、q∈N＋且m+n=p+q，则a m＋a n=a p＋a q（2）在等差数列中，依次每k项之和仍成等差数列．6、A是a、b的等差中项A=7、三个数成等差数列，可设其为a－d、a、a＋d四个数成等差数列，可设其为a－3d，a－d、a＋d、a＋3d．（二）本周复习的难点1、分别用累加法求具有a n+1=a n+f(n)的数列的通项，用累积法求具有的数列的通项．用拼凑分离法，求具有a n+1=Aa n＋B（A、B为常数）的数列的通项．2、数列{a n}为等差数列的判定和证明①证明方法：定义法即若一个数列{a n}满足a n+1－a n=d（d是一个与n无关的常数），则数列{a n}为等差数列．②常见的判定方法（充要条件）：若一个数列{a n}满足a n= an+b或S n=an2＋bn（a、b为常数）或2a n+1= a n＋a n+2，则这个数列为等差数列．3、等差数列前n项和公式的函数性质∵ S n=na1＋设A=，B=，上式可写成S n=An2+Bn，当d≠0即A≠0时，S n是关于n的二次函数式（其中常数项为0），那么（n·S n）在二次函数y=Ax2＋Bx的图象上．由二次函数的性质可知，当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．三、例题点评例1、已知数列{a n}的前n项和求通项：（1）S n=(－1)n+1·n（2）S n=2n－2分析：利用数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n的关系即可求解．解答：（1）a1= S n=1当n≥2时，a n= S n－S n－1=(－1)n＋1·n－(－1)n(n－1)=－(－1)n·n－(－1)n(n－1)=(－1)n(1－2n)∵ a1=1适合上式，∴ a n=(－1)n·(1－2n)（2）当n≥2时，a n= S n－S n－1=2n－2－(2n－1－2)=2n－2n－1=2n－1当n=1时，a1= S1=0 不适合上式，∴点评：a n与S n的关系，是一个非常重要的关系，根据这一关系，若知数列的前n项和S n，则数列的通项a n一定可求，但首项a1是否符合a n= S n－S n－1，需进一步验证，若不符合，则a n需用分段函数表示，否则可合写为一个式子．例2、已知数列的通项公式为.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性和有界性.分析：数列的项数为正整数，此题即是研究是否有正整数解．判断数列的增减性和有界性，即是考虑a n＋1－a n的符号和对任何的n∈N，使得|a n|<M的常数M是否存在.解答：（1）设，解得n=7，所以0.98是此数列的第七项；（2）故此数列是递增数列．又，∴此数列是有界数列.点评：理解数列中的有关概念，注意区别数列的项、项数、通项等概念，明确并非所有数列都有界.例3、已知等差数列{a n}共2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，求第n＋1项及项数2n＋1的值．分析：本题考查等差数列的性质，此等差数列的项数为奇数，a n＋1为中间项，可利用a中=S奇－S偶，S奇＋S偶=（2n＋1）a中进行求解．解答：对于等差数列{a n}，有a中=a n＋1= S奇－S偶=290－261=29（2n＋1）a中= S奇＋S偶=290＋261=551∴2n＋1=19故第n＋1项为29，项数为19．点评：灵活利用等差数列的性质求等差数列的五个量可简化运算，提高解题速度及准确率．例4、已知数列{a n}的前n项和S n=32n－n2，求数列{|a n|}的前n项和T n．分析：由S n可求出a n，从而确定在{a n}中哪些项是正数项，哪些项是负数项，再来求{|a n|}的前n 项和．解答：当n≥2时，a n= S n－S n－1=（32n－n2）－[32(n－1)－(n－1)2]=33－2n又a1=S1=31 适合上式∴a n=33－2n．由a n=33－2n≥0得n≤=16.5．所以等差数列{a n}中前16项为正数项，从第17项开始，各项为负数，因此：当0<n≤16时，T n=S n=32－n2当n≥17时T n=S16－（a17＋a18＋a19＋…＋a n）=2S16－S n=－(32n－n2)＋2(32×16－162)= n2－32n+512综上所述∴点评：在首项为正数，公差为负数的等差数列中，最后一个正数项的项数就是满足使a n>0的最大的n的值，同理在首项为负数，公差为正数的等差数列中，最后一个负数项的项数就是满足使a n<0的最大的n的值．例、（2005年高考江苏卷）设数列的前项和为，已知，，，且，，其中、为常数．(Ⅰ)求与的值；(Ⅱ)证明数列为等差数列；(Ⅲ)证明不等式对任何正整数、都成立．解：(Ⅰ)由，，，得，，．把分别代入，得解得，，．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即，①又．②②-①得，，即．③又．④④-③得，，∴，∴，又，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，．考虑．．∴．即，∴．因此，．。
等差数列的概念
等差数列的概念等差数列是数学中常见的一种数列，它的概念以及相关性质在数学领域中有着重要的地位。
本文将对等差数列进行详细的介绍和讨论。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
也就是说，如果一个数列满足每一项与其后一项之间的差值都为同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
常数d称为等差数列的公差，用字母d表示。
例如：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...这个数列中相邻两项之间的差值都是2，所以它是一个公差为2的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列可以用一个通项公式来表示，通项公式可以根据等差数列的首项和公差来确定。
通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1是第一项，d是公差。
通过这个公式，我们可以直接求出等差数列的任意一项。
三、等差数列的性质1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1是第一项，an是第n项，n为项数。
这个公式可以用来计算等差数列的前n项和，方便进行数值计算。
2. 等差数列的性质（1）等差数列的项数奇偶性对于一个等差数列，如果首项、公差和末项已知，我们可以根据等差数列的性质来判断该数列的项数是奇数还是偶数。
- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an > a1，项数n为奇数；如果公差d为负数，则an < a1，项数n为偶数。
- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an < a1，项数n为偶数；如果公差d为负数，则an > a1，项数n为奇数。
（2）等差数列的中项对于一个项数为奇数的等差数列，我们可以根据等差数列的性质求出它的中项。
中项可以通过以下公式计算：中项 = (首项 + 末项) / 2四、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用。
它不仅在数学领域中有重要作用，也在其他学科和实践中得到广泛的应用。
等差数列的概念PPT优秀课件
数列的概念与分类
数列的概念与分类数列是数学中的一个重要概念，它在不同领域的应用非常广泛。
本文将介绍数列的概念、分类以及一些相关的性质和应用。
一、数列的概念数列是由一串按照一定规律排列的数构成的序列。
这些数可以是整数、实数或者其他类型的数。
数列中的每个数称为数列的项，用An表示第n项。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
如果数列公差为d，则数列的通项公式可以表示为An = A1 + (n-1)d。
其中，A1为首项，n为项数。
等差数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比保持恒定的数列。
如果数列公比为q，则数列的通项公式可以表示为An = A1 * q^(n-1)。
其中，A1为首项，n为项数。
等比数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
即A1 = A2 = 1，An = An-1 + An-2 (n≥3)。
斐波那契数列在自然界中常常能够找到相应的规律。
4.调和数列调和数列是指数列中的每一项的倒数构成的数列。
调和数列的通项公式为An = 1/n。
5.等差-等比数列等差-等比数列是指数列中既有等差又有等比关系的数列。
它的通项公式可以表示为An = (A1 + (n-1)d) * q^(n-1)。
三、数列的性质和应用1.数列的递增和递减性质根据数列的定义，可以得出数列的递增和递减性质。
如果数列中的每一项都比前一项大，则该数列为递增数列；如果数列中的每一项都比前一项小，则该数列为递减数列。
递增和递减数列在求和、求极限等数学运算中有重要应用。
2.数列的求和公式对于一些特殊的数列，可以通过求和公式计算数列的前n项和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn = (A1 + An) * n / 2；等比数列的前n项和公式为Sn = (A1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。
等差数列的概念与简单表示 课件
等差中项的应用
已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1，x4，x5 成等差数列，求 p，q 的值．
【精彩点拨】 将 x1，x4，x5 用 p，q 表示出来，由 x1，x4，x5 成等差数列， 即 2x4＝x1＋x5 列出关于 p，q 的方程组求解．
等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【自主解答】 (1)欲使{an}是等差数列， 则 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q 应是一个与 n 无关 的常数， 所以只有 2p＝0， 即 p＝0 时，数列{an}是等差数列． (2)证明：因为 an＋1－an＝2pn＋p＋q， 所以 an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q. 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数， 所以{an＋1－an}是等差数列．
故 2016 年举行的奥运会为第 31 届．已知举办的届数也能求出相应的年份， 因为在等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中，知道其中任何三个量，均可求 得第四个量．
探究 3 在等差数列{an}中，能用 a1，d 两个基本量表示 an，那么能否用{an} 中任意一项 am 和 d 表示 an?
等差数列的通项公式及其应用
探究 1 某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安 装第一盏后，往后每隔 50 米安装一盏，试问安装第 5 盏路灯时距离第一盏路灯 有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第 n 盏灯的距离吗？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十四讲 数列概念及等差数列
一、知识整合：
1．数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；
数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n
（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k
-=-⎧∈⎨
+=⎩；
③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，
()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的
前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。
2．等差数列
（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2
a b A +=
a ，A ，
b 成等差数列⇔2
a b A +=。
（4）等差数列的前n 和的求和公式：11()
(1)2
2
n n n a a n n S na d +-=
=+。
二．典例精析
题型1：数列的递推公式
例3．如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通项公式；
（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时
间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
题型2：数列的应用
例2．设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。
C 5
C 4
C 3C 2
B 5B 4B 3B 2A 6
A 5A 4A 3A 2C 1
B 1A 1
x
y
题型3：等差数列的概念
例3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2
，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
题型4：等差数列通项公式
例4．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则
111213a a a ++=
题型5：等差数列的前n 项和公式
例5．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项
（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A.1
B.2
C.4
D.6 （3）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝1
3
，则612S S ＝（ ）
A ．
310
B ．
13
C ．
18
D ．
19
例6．（1）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛
n
S n ｝的前n 项和，求T n 。
（2）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100.，求数列｛b n ｝的通项b n ；
题型7：等差数列的性质及变形公式
例7．设｛a n ｝（n ∈N *
）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A.d ＜0
B.a 7＝0
C.S 9＞S 5
D.S 6与
S 7均为S n 的最大值
三．重点题型强化
1、数列{}n a 中，==+=
+411,2,31a a a a a n
n n 则
2、如果数列{}n a 的前n 项和()+∈+-=N n n n S n 12，则通项公式为=n a
3、设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
4、在等差数列{}n a 中，若5076543=++++a a a a a ，则=+82a a
5、在等差数列{}n a 中，前n 项和为30，前n 2项和为100，则前n 3项和为
6、在等差数列{}n a 中，已知20091-=a ，其前n 项和为n S ，若22007
2009
20072009=-
S S ，
则=2009S
7、设数列{}n a 的通项公式为()+
∈-=N n n a n 72，则=+++1521a a a
8、已知数列{}n a 的前n 项和为()
2
3103n n S n -=。
（1）求通项n a ；（2）求n S 的最大值；
（3）求∑=n
i i a 1
9、已知数列{}n a 的前n 项和为pn n +2
，数列{}n b 的前n 项和为n n 232
-。
（1）若
1010b a =，求p 的值；（2）去数列{}n b 的第1项，第3项，
项，第5 构成一个新数列{}n C ，求{}n C 的通项公式。
10、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知0,0,1213123<>=S S a .
(1)求公差d 的取值范围；（2）指出12321,,,,S S S S 中哪个的值最大，并说明理由。