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黄冈中学高考数学二轮复习考点解析11：平面向量及其运用考点透析曲一线高考网11考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：向量的模与角的计算。

.1设向量2abc，，,0abc,,abab,,,,||1,||2||c,满足,,则(A)1 (B)2 (C)4 (D)52．（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABAC，,，,,0，＋,，则的轨迹一定通过?的（）PABCOP,OA，,(，)A|AB||AC|（A）外心（）内心（C）重心（D）垂心 D 3．如图1所示，是的边上的中点，则向量 CD,,ABCABDCB 1111图1 A.BCBA,BCBA，,，BCBA B. ,,BCBA C. D. 222224．已知x||2||0ab= xaxab++?||0ab,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范pp2ppp围是 ( )A.[0,] B. C. D. [,]p[,]p[,]366335．已知向量a满足，且，则与的夹角为 ab、ab,,1,4,ab,2b,,,,A． B．． D． 64326．设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a －c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) 7． ()如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） ,,,,,,,,,,,,,,,D C （A）＝；（B）＋＝； DCACABADABA B ,,,,,,,,,,,,,,,,（C）－＝；（D）＋＝． 0CBABADBDAD1118．若三点，共线，则的值等于_________.ABaCbab(2,2),(,0),(0,)(0),ab29（2005年全国卷?）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（10，－5）10（湖南卷）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：2x23OA,OB＋y＝1相交于A、B 两点，且|AB|＝，则1＝ . ,2- 1 -曲一线高考网1此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.1已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 .a思路分析：与a平行的单位向量e=?|a|方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知1218,,,,xx121189,,4,3，3，1,0,(x)(y),,55，故填 (,-)或(,-) ,,, 解得或555522，,119（x－3）（y＋1）,,,,,,,yy,,55,,134与向量b = (-3,4)平行的单位向量是?(-3,4)，故可得a＝?(-,)，从而向量a的终点坐标是555(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.2已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60?, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60?,得a?b=|a||b|cosα=1. 2要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，xy的值.122222?|x|=x=(2a－b)=4a－4a?b+b=4－4?+1=3， 2122222|y|=y=(3b－a)=9b－6b?a+a=9－6?+1=7. 222xy=(2a－b)?(3b－a)=6a?b－2a－3b+a?b1322 =7a?b－2a－3b =7?－2－3=－， 22213又?xy=|x||y|cosθ，即－37=?cosθ， ?cosθ=－ 14222本题利用模的性质|a|=a，?在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设ACABBDABADAD=b, =a, =2a,?BAC=60?.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得|337BD|=，即|x|=，同理可得|y|=.23平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)，若点C 满足OCOAOB,,，,，其中,,，?R且+=1，求点C的轨迹方程。

. ,,- 2 -曲一线高考网OCOC（法一）设C(x,y)，则=(x,y)，由=(x,y)= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β) x,3,,,,?, （可从中解出α、β）又?α+β＝1 消去α、β得x+2y-5=0 ,y,3,,，,（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，314已知平面向量a＝(23，－1)，b＝(, ).(1) 若存在实数k和t，便得x＝a ＋(t－3)b, y＝－ka22＋tb，且x?y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.k=f(t)ktkt22t,,t,,2333232解：（1）法一：由题意知x＝(,), 2213y＝(3t－k，t＋k)，又x?y 2222t,,t,,123332323故x ? y＝3×（t－k）＋×(t＋k)＝0. 22221333整理得：t－3t－4k＝0，即k＝t－t. 4413法二：?a＝(3ab，－1)，b＝(, ), ?. ＝2，＝1且a?b 221322233?x?y，?x ? y＝0，即－kab＋t(t－3)＝0，?t－3t－4k＝0,即k＝t－t 44133333(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t－t ?kˊ＝fˊ(t) ＝t－, 4444令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－?，－1）和（1，＋?）.1.2.,,,,5 已知平面向量31a3ca＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋b22,,,,,,(sinα－3)ac, ＝－k＋(sinα),且?，试求实数k 的取值范围. bdbd 1392：由条件可得：k＝( sinα－)－,而－1?sinα?1, 42161?当sinα＝－1时，k取最大值1； sinα＝1时，k取最小值－. 2- 3 -曲一线高考网1 又?k?0 ?k的取值范围为 . [,0)(0,1]2t.6：已知向量，若正数k和t使得向量 a,(1,2),b,(,2,1)12垂直，求k的最小值. x,a，(t，1)b与y,,ka，bt12x,y,x,y,0即[a，(t，1)b],(,ka，b),0t222t，112 ,,ka，b，a,b,k(t，1)a,b,0tt?33ab，?||=，||= a,(1,2),b,(,2,1)2t，11 a,b22,t，,2＝－＋，代入上式－3k＋3 tt1 当且仅当t=，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2. t3. 7设函数f (x)＝a ? b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,33sin2x), x?R.（1）若f(x)＝1－且x?[－,,,，]，求x；（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (?)平移后得到函数y＝f(x)的图象，m332求实数m、n的值.：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，,2解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）?(cosx,33sin2x)＝2cosx＋sin2x＝1＋2sin(2x＋) 6,,3由1＋2sin(2x＋3)=1－，得sin(2x＋)＝－. 266,,,,,,,,5?－?x? , ?－?2x＋?, ?2x＋=－, 即x＝－. 33266634（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x －m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.,,,由(1)得f (x)＝2sin2(x，)，1 ?＜， ?m＝－，n＝1. m12212CC.yf (x)a(h , k)ykfxh 8已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b - 4 -曲一线高考网与a-kb的模大小相等(k?R且k?0)，求β－α1?a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）?a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα-sinβ） ?(a+b)?(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）?（cosα-cosβ，sinα- sinβ）2222=cosα-cosβ+sinα- sinβ=0?(a+b)?(a-b)?a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ） ?|a|＝1，|b|＝12222?(a+b)?(a-b)= a-b=|a|-|b|=0 ?(a+b)?(a-b)?a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）?|a|＝1，|b|＝1, 记OAOBOAOB＝a，＝b，则||＝||=1,又α?β，?O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中OCBA＝a+b＝a-b由菱形对角线互相垂直，知(a+b)?(a-b)（2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|,2222又?|ka+b|＝(kcosα+cosβ)+(ksinα+sinβ)=k+1+2kcos(β－α),2222|ka+b|＝(cosα-kcosβ)+(sinα-ksinβ)=k+1-2kcos(β－α), ?2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)又?k?0 ?cos(β－α)＝0,?0<α<β<π ?0<β－α<π, ?β－α= 2.4由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带， 9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，－2）且GM,,AB(λ?R).（?）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（?）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设OP,OM，ON，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.xxy解：（１）由已知得GHAB,,G(,)H(,0) , 又，? 33322xyxx222?CH=HA ?，,,,1(23)x()()4xy,，,，即 124332222（2）设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k+1）x-12kx+12(k-1)=0 - 5 -曲一线高考网2212k12(1)k,设N (x，y)，M (x，y)，则x +x=，x x= 112212122231k，31k，?OPONOM,，，? 四边形OMPN是平行四边形. 若四边形OMPN是矩形，则ONOM,22212(1)12(1)24kkk,,2?xk=3,，,，,k(4)0 x+y y=0 ?得1212222313131kkk，，，? 直线l为：y= yx,,,3(2)：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.2x210已知椭圆方程，y,1，过B（－1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，4B、E分CD的比分λ、λ．求证：λ＋λ＝0 1212设l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程整理得2222（4k＋1）x＋8kx＋4(k－1)＝0.228k4k,4设C（x,xx,,y）,D(x,y)，则x＋x＝－. 12221212224k，14k，1由(,1,x,,y),,(x，1,y)得 CB,,BD11221x，11所以,,.同理，记E (,4,y),CE,ED,,1,x,(x，1),,,E21121x，12x，4x，1x，4111得,,,, ,4,x,(x，4),,,？，,,,122212x，4x，1x，4222 222xx，5(x，x)，84k,48k1212其中 ,,2xx，5(x，x)，8,2,,5,，8,0,121222(x，1)(x，4)4k，14k，122？,，,,0. 12211给定抛物线C:yOA＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B 两点.设l的斜率为1，求OB与夹角的余弦。