6.3完全平方公式OK
6 第2课时 完全平方公式的运用 一等奖创新教案
6 第2课时完全平方公式的运用一等奖创新教案6．完全平方公式（二）教学设计一、课题：1.6（2）完全平方公式的运用二、学情分析学生的知识技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了幂的运算、整式的乘法、平方差公式，完全平方公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础.学生活动经验基础：在平方差公式和完全平方公式的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.三、教学任务分析整式是初中数学研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用.四、教学目标分析：1．知识与技能：熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算.2．过程与方法：能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学解决实际问题的能力，感悟换元变换的思想方法，提高灵活应用乘法公式的能力，体会符号运算对解决问题的作用，进一步发展学生的符号感.3．情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美．教学重点：灵活运用完全平方公式、平方差公式、多项式乘法等进行运算.教学难点：几个公式的综合运用．五、授课类型：新授课六、教具：多媒体电子白板七、教学设计分析本节课设计了个6教学环节：情境引入、知识回顾、探索新知、目标检测、课堂小结、延伸迁移教学中应坚持的几个理念：1、教学要紧紧围绕两个学习目标来进行，公式的运用不能简单地以老师讲解为主，要充分体现学生的主体作用，给学生足够的探索新知的时间，先让学生自己探究，然后再小组合作交流，最后学生再归纳出如何巧妙使用公式的方法.2、突破教学重点，教师要有多种预案，要顺其自然，引领学生用自己的办法去解决问题.八、教学过程设计第一环节情景引入活动内容：出示幻灯片，提出问题.（教师提问学生解答的方式进行）有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……(1) 第一天有a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2) 第二天有b 个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3) 第三天这（a + b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数一样吗？你能用所学过的公式解释吗？设计意图：通过分糖问题激发学生学习兴趣和探知欲，同时引出今天的课题，而且让学生体会a +b 与(a+b) 的不同，从而更加巩固完全平方公式，并且也为以后运用公式变形解决问题埋下伏笔.第二环节复习回顾1.平方差公式：2.完全平方公式：（教师提问，学生回答，并单独提问学生分析两个公式的区别）设计意图：通过对两个公式的复习，引发学生对两个公式结构的辨析，为下面两个公式的灵活运用打下坚实的基础.3.利用完全平方公式计算（1）（2x+3y) （2）（2x-3y) （3）（-2x+3y) （4）（-2x-3y)设计意图：通过几道简单题的训练，让学生熟练完全平方公式，并且通过几个运算结果的比较，让学生总结出结果的符号规律.第三环节探索新知—完全平方公式的运用例1.思考：怎样计算1022,992更简便呢？(1) 102 ；(2) 99 .（学生自己做，教师找错误的运用白板展示，进一步矫正学生运用公式时可能出现的错误，让学生在辨析中熟练公式）.设计意图：让学生体会完全平方公式在一些数的简便运算中的作用，并且让学生感悟出公式中的字母可以代表数字.例2. 运用乘法公式计算:(1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2)(x+3) -(x-3)(3) (2x-y) -4(x-y)(x+2y)（找三个学生演板，其他学生自己做，然后再四人学习小组合作交流不同做法，兵教兵，会的给不会的教会，最后学生归纳一题多法，和不同方法的优劣.）设计意图：这几个例题是本节课的重点，也是难点，是对几个公式的综合运用的考察，公式中这几个题先通过学生自己的探究考察了学生综合运用公式的能力，同时也通过一题多法的探讨，让学生体会可以通过适当添加括号，变成符合公示的结构形式，可以巧妙的使计算更加简便.也让学生再次体会公式中的字母原来还可以代表单项式，多想式，甚至扩充到任何一个代数式.让学生在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.第四环节课堂检测—完全平方公式的运用（变式训练1）计算10.2（变式训练2）计算(x-2y-3)(x-2y+3)（变式训练3）计算(x-2y) -(x+2y) .（学生独立完成）设计意图：当堂检测，及时反馈学习效果．通过完成练习使学生进一步提升公式的综合运用能力第五环节课堂小结你知道了什么？你学会了什么？你还有哪些疑惑？（请学生发言总结）设计意图：课堂总结，发展潜能第六环节延伸迁移利用公式的变形进行代数式的化简和求值已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值．思考：若把题中的条件a＋b＝7换成a-b=7,怎么计算呢？（课后思考）设计意图：拓宽学生思路，让学生体会运用公式的变形也可以进行计算.九、教学反思1. 本节课始终遵循课程标准所提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”的理念.2.教学中，采用“动脑想，动手写，会观察，齐讨论，得结论”的学习方法.这样做，充分体现学生的主体性，让教师退在幕后，极大的调动了学生的学习兴趣和探知欲，增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体；这样做，使学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，这样做，体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势.最后，结合本节课教学内容，选择具有典型性，由浅入深的例题，让学生认知内化，形成能力.通过发展提高，培养学生迁移创新精神，有助于智力的发展.整节课学生亮点非常多，尤其对两个公式结构的探讨，学生错题的辨析，一题多法的探讨，课堂小结的知识归纳，以及学生提出的困惑的解答都让课堂增色很多.不足之处是例二中第三小题的设计难度过大，导致没有时间在课堂上进行变式训练的检测，有些遗憾.。
三项式的完全平方公式口诀
我们要找出三项式的完全平方公式口诀。
首先，我们需要理解什么是完全平方公式。
一个三项式是完全平方当且仅当它可以表示为两个相同的数的乘积。
例如，a^2 + 2ab + b^2 是 (a+b)^2 的展开。
三项式的完全平方公式可以表示为：
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
为了方便记忆，我们可以使用一个口诀：
'头平方，尾平方，两倍头尾中间放'。
这个口诀的意思是：
1) '头' 指的是三项式的前两项的平方和。
2) '尾' 指的是最后一项的平方。
3) '两倍头尾中间放' 指的是中间的两倍项，它等于头和尾的乘积的两倍。
所以，三项式的完全平方公式口诀是：头平方，尾平方，两倍头尾中间放。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
北师大版七年级(下)数学第6讲：完全平方公式(教师版)——王琪
完全平方公式一、完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
用字母表示为222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-二、完全平方公式变形（知二求一）：a+b,a-b,ab222()2a b a b ab +=-+222()2a b a b ab +=+- 222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 三、完全平方公式几何证明1．已知x+y=﹣5，xy=3，则x 2+y 2=（ ）A ．25B ．﹣25C ．19D ．﹣19解：∵x+y=﹣5，xy=3，∴x 2+y 2=（x+y ）2﹣2xy=25﹣6=19．故选：C ．2．在下列运算中，计算正确的是（ ）A ．（x 5）2=x 7B ．（x ﹣y ）2=x 2﹣y 2C ．x 13÷x 3=x 10D ．x 3+x 3=x 6 解：A 、（x 5）2=x 10，故选项错误；B 、（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy+y 2，故选项错误； C 、正确；D 、x 3+x 3=2x 3，故选项错误．故选C ．3．下列运算正确的是（ ）A ．2a 2+3a 3=5a 5B ．a 6÷a 3=a 2C ．（﹣a 3）2=a 6D ．（x+y ）2=x 2+y 2 解：A 、原式不能合并，本选项错误；B 、a 6÷a 3=a 3，本选项错误； C 、（﹣a 3）2=a 6，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，本选项错误，故选C 。
完全平方公式
注归意纳公：式的
结构特点
完全平方公式
(a+b)2= a2+ 2 ab + b2 (a-b)2= a2- 2 ab + b2
口诀: 首平方,尾平方, 乘积2倍放中央. 符号看前方。
两数和（差）的平方，等于这两数的平方和 加上（减去）它们的积的2倍。
1、左边为两数和或差的平方，右边为二次三项式；
2、右边首末两项为两数的平方和； 3、右边中间项是两数积的2倍，符号由两项的符 号决定；
•
=4+2×2×3x+9x2
•
=4+12x+9x2
导学1 自主探究
(a b)2 等于什么?你是怎样得到的？
(a+b)2= a2+ 2 ab + b2 你能用自己的语言来描述这一公式吗？ 两数和的平方，等于这两数的平方和 加上它们的积的2倍。
导学一
(a b)2 等于什么?你是怎样得到的？
(a-b)2= a2- 2 ab + b2 你能用自己的语言来描述这一公式吗？ 两数差的平方，等于这两数的平方和 减上它们的积的2倍。
（展开式中间项的符号由乘式中两项的符号决定）
(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 × (x +y)2 =x2+2xy +y2
（展开式中间项等于乘式中首尾两项乘积的两 倍）
导学2 学以致用
利用完全平方公式计算： (1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y) ;
(3) (mn−a)2
1、同桌互相检查 2、看P24例1，注意 解题的步骤 3、说说易错处
学习目标
1、能自主探索出完全平方公式 2、掌握完全平方公式的结构特征
平方差公式和完全平方公式
专题1.5-6平方差公式和完全平方公式典例体系（本专题共76题33页）一、知识点（1）平方差公式：()()22a b a b a b +-=-即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；（2）完全平方公式：222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；（3）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；二、考点点拨与训练考点1：平方差公式的适用条件典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）A ．(a+b)(a-2b)B ．(x+2y)(x-2y)C ．（-a+2b)(a-2b)D ．（-2m-n ）（2m+n ）【答案】B【解析】A ：()()2a b a b +-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；B ：()()22x y x y +-符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；C ：()()22a b a b -+-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；D ：()()22m n m n --+无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；故选：B.方法或规律点拨本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.巩固练习1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)a b a b -+B ．(5)(5)a a -+--C ．(21)(12)x x --+D ．(2)(2)x y x y ---【答案】C 【解析】解：C 、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；A 、B 、D 中均存在相同和相反的项，故选：C ．2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ）A ．()()m n m n ---B ．()()11mn mn -++C ．()()m n m n -+-D ．23)(3)(2m m -+【答案】C【解析】∵()()m n m n ---=()()m n m n --+=()2222m nmn -=-+-，∴A 不符合题意，∵()()11mn mn -++=()221mn -=221m n -，∴B 不符合题意，∵()()m n m n -+-=()()()2m n m n m n ---=--∴C 符合题意，∵23)(3)(2m m -+=222(2)349m m -=-，∴D 不符合题意．故选C ．3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．(2)(2)x a x a +-B ．(12)(12)a a --+C ．(5)(5)b c c b +-D ．(2)(2)x y x y +-+【答案】B【解析】解：A 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B 、（1-2a ）（-1+2a ）=-（1-2a ）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；C 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；D 、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；故选：B ．4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y -+-B ．()()x y x y -++C ．()2(1)x x +-D ．()23(32)x x +-【答案】B【解析】解：A ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；B ．可以用平方差公式计算，该项符合题意；C ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；D ．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；故选：B ．5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()(+)x y x y --B ．()(+)x y x y ---C ．()()ab c ab c +-D ．(0.3)(0.3)x y y x ---【答案】A【解析】A. 含x 、y 的项都符号相反，不能用平方差公式计算；B. 含x 的项符号相同，含y 的项符号相反，能用平方差公式计算；C. 含y 的项符号相同，含x 的项符号相反，能用平方差公式计算；D. 含y 的项符号相同，含x 的项符号相反，能用平方差公式计算．故选:A.6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x ）(5x+2ab);②(ax －y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】解：①（-2ab+5x ）(5x+2ab)= （5x -2ab ）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;②(ax －y)(-ax-y) =- (ax －y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确;③(-ab-c)(ab-c)=- (a+-c)(ab-c) ，符合平方差公式，故③正确;④(m+n)(-m-n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.正确的有①②③.故选B.7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（x+1）（x ﹣1）B ．（x+1）（﹣x+1）C ．（﹣x+1）（﹣x ﹣1）D ．（x+1）（﹣x ﹣1）【答案】D【解析】解：选项A ：(x+1)(x-1)=x 2-1，故选项A 可用平方差公式计算，不符合题意，选项B ：(x+1)(-x+1)=1-x 2，故选项B 可用平方差公式计算，不符合题意，选项C ：(-x+1)(-x-1)=x 2-1，故选项C 可用平方差公式计算，不符合题意，选项D ：(x+1)(-x-1)=-(x+1)2，故选项D 不可用平方差公式计算，符合题意，故选：D ．考点2：应用平方差公式进行计算典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）1122xy xy æöæö÷çç---=÷çç÷ççèøè______．【答案】2214x y -【解析】()2222111*********xy xy xy xy xy x y æöæöæöæöæö÷ççççç---=-+--=--=-÷ççççç÷çççççèøèøèøèøèø方法或规律点拨本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．巩固练习1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若245a a +=，则代数式2(2)(1)(1)a a a a +-+-的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】D【解析】解：2(2)(1)(1)a a a a +-+-22241a a a =+-+241,a a =++245a a +=Q ，\ 上式51 6.=+=故选D ．2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算()()2323a b a b -+的正确结果是（ ）A ．2249a b +B ．2249a b -C ．224129a ab b ++D ．224129a ab b -+【答案】B【解析】()()2323a b a b -+2249a b =-．故选：B ．3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若2210m n -=，且4m n -=，则m n +=_____【答案】2.5【解析】∵2210m n -=，4m n -=，∴m n +=(22m n -)÷(m n -)= 2.54．（2020·河南洛宁·月考）计算：(4(4´=__________．【答案】9【解析】根据平方差公式可得(4(4´=2241679-=-=，故答案为9.5．（2020·山东中区·初一期末）若5a b +=，3a b -=，则22a b -=_____．【答案】15【解析】解：∵5a b +=，3a b -=，∴22a b -()()a b a b =+-53=´15=故答案为156．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）44q q p p æöæö÷÷çç---+=÷÷çç÷÷ççèøèø________．【答案】2216q p -【解析】解：22224444416q q q q q q p p p p p p æöæöæöæöæö÷÷÷÷÷ççççç---+=---+=--=-÷÷÷÷÷ççççç÷÷÷÷÷çççççèøèøèøèøèø故答案为：2216q p -．7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：+-=____________．【答案】4【解析】解：+-22=-4=，故答案为：4．8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）()()()()()224488a b a b a ba b a b -++++【答案】1616a b -【解析】解：原式＝22224488(-)()()()a b a b a b a b +++＝444488(-)()()a b a b a b ++＝8888(-)()a b a b +＝1616-a b ．考点3：乘法公式与图形面积典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a 的正方形的左上角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．（1）设图1中阴影部分的面积为S ₁，图2中阴影部分的面积为S ₂，请用含a ．b 的式子表示：S ₁＝ ，S ₂＝ ；（不必化简）（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ．（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．【答案】（1）a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2；（3）1．【解析】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ₁＝a 2﹣b 2，S ₂＝（a ＋b ）（a ﹣b ）故答案为：a 2﹣b 2，（a ＋b ）（a ﹣b ）；（2）以上结果可以验证的乘法公式是a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）．故答案为：（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2．（3）20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202＋1＝1．方法或规律点拨本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．巩固练习1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（ ）A ．22()()a b a b a b -=+-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．22(1)(1)a b -=+【答案】A【解析】如图，拼成的等腰梯形如下：上图阴影的面积s ＝a 2−b 2，下图等腰梯形的面积s ＝2（a ＋b ）（a−b ）÷2＝（a ＋b ）（a−b ），两面积相等所以等式成立a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ）．这是平方差公式．故选：A ．2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()()a b a b a b -=+-D ．2()a ab a a b +=+【答案】C【解析】解：正方形中，S 阴影=a 2-b 2；梯形中，S 阴影=12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ）；故所得恒等式为：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．故选：C ．3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a >b 〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．2()a ab a a b -=-B ．()2222a b a ab b +=++C ．()2222a b a ab b -=-+D ．()22()a b a b a b -=+-【答案】D【解析】解：左图的阴影部分的面积为（a ＋b ）（a−b ），右图的阴影部分的面积为a 2−b 2，因此有为a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），故选：D ．4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. abB.()2a b +C. ()2a b -D. 22a b -【答案】C【解析】由题意可得，正方形的边长为a b +，故正方形的面积为()2a b +。
完全平方公式2
整 式 乘 法
(a±b)2= a2±2ab+b2
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b)
形如a2±2ab+b2的式子称 为完全平方式
拓展应用
二.完全平方式(注意完全平方式的两种可能情况）
1.多项式4x2+M+9y2是一个完全平方式 , 则M= 2.多项式x2+mx+4是一个完全平方式,则m= 3.多项式a2-8a+k是一个完全平方式,则k= 4.多项式a2-a+k2是一个完全平方式,则k= . . . .
1 1 2 x 2 x 2 x x
2 2 1 x 2 x 1 2 x x
2
拓展应用
五.平方法与整体代值 1、已知:a+b=5,ab=6,则a2+b2的值是 13 。
(可考虑两种方法:①将已知条件两边进行平方，再结合整体代值 的思想解决；②也可从未知代数式入手，利用公式的变形和整体 代值思想解决。）
a，b怎样确Leabharlann ？2 1972 =(200-3)
2 2 =200 -2×200×3+3
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算： (1) 962 ； (2) 2032 .
(补充）思考题：
计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655
学一学
乘法公式的综合运用 公式的综合运用
a，b怎样确定？
2 102
2 =(100+2)
2 2 =100 +2×100×2+2
=10000+400+4
北师版数学七年级下册6 完全平方公式教案与反思
6完全平方公式第1课时完全平方公式的认识教学目标一、基本目标1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算．2．了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观性．二、重难点目标【教学重点】弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．【教学难点】会用完全平方公式进行运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P23～P24的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．按要求列代数式：(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.2．计算下列各式：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.3．(1)两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍；(2)两数差的平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍.4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.图1图2环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用完全平方公式计算：(1)(5－a)2; (2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.【互动探索】(引发学生思考)怎样运用完全平方公式进行计算？【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)两数和(差)的平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．活动2巩固练习(学生独学)1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(C)A．(－1＋x2y2)2B．(1＋x2y2)2C．(－1＋x2y)2D．(－1－x2y)22．若a－b＝－3，则a2－b(2a－b)＝(D)A．－1B．1C．2D．33．知m＋n＝4，则m2－n2＋8n＝16.4．运用完全平方公式计算：(1)(－3a＋2b)2；(2)(a＋2b－1)2.解：(1)原式＝(－3a)2＋2·(－3a)·2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.(2)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1＝a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数．请你仔细察下列等式中的规律，利用杨辉三角填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．(a＋b)1＝a＋b；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b46ab5＋b6.【动探索】由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b ＋3ab2＋b3，得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，则(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为、6、15、20、15、6、1.【答案】20【互动总结】(学生总结，老师点评)对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．字母表示：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时完全平方公式的应用教学目标一、基本目标1．会运用完全平方公式进行一些数的简便运算．2．提高学生综合运用公式进行整式的简便运算．二、重难点目标【教学重点】运用完全平方公式进行一些数的简便运算．【教学难点】灵活运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．知识回顾．(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2.2．利用完全平方公式计算：(1)982; (2)2032.解：(1)982＝(100－2)2＝1002－2×2×100＋22＝10 000－400＋4＝9604.(2)2032＝(200＋3)2＝2002＋2×3×200＋32＝40 000＋1200＋9＝41 209.3．化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y)．解：原式＝(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)＝(x2－4y2)2＝x4－8x2y2＋16y4.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．【互动探索】(引发学生思考)先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值，求m的值的过程中还有什么需要注意的地方吗？【解答】因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2是一个完全平方式，所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，所以m＋1＝±60，所以m＝59或－61.【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．活动2巩固练习(学生独学)1．下列关于962的计算方法正确的是(D)A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝92162．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为(A)A．1B．－1C．±1D．无法确定3．若x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是±4.4．已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．(1)a2＋b2; (2)(a－b)2.解：(1)因为a＋b＝4，ab＝－5，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×(－5)＝26.(2)因为a＋b＝4，ab＝－5，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝42－4×(－5)＝36.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】计算：(1)9982； (2)20192－2019×4036＋20182.【互动探索】(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算；(2)4036＝2×2018，由此可直接利用完全平方公式计算．【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.(2)原式＝20192－2×2019×2018＋20182＝(2019－2018)2＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，观察式子特点，考虑利用公式计算比较简便．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)完全平方公式的应用⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 法则：a ±b 2＝a 2±2ab ＋b 2注意⎩⎪⎨⎪⎧ 1.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能 需要适当变形成符合公式特点的式子3.弄清完全平方公式和平方差公式不同 从公式结构 特点及结果两方面常用结论：a 2＋b 2＝a ＋b 2－2ab ＝a － b 2＋2ab ；4ab ＝a ＋b 2－a －b 2练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。
数学平方公式大全
数学平方公式大全平方公式是数学中常用的一类公式，它们在解决各种数学问题时起到了重要的作用。
下面是数学平方公式的一些常见公式：1. 二次平方差公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式表示了两个数的平方的和等于这两个数分别平方之后的和再加上这两个数的乘积的两倍。
2. 二次平方和公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式表示了两个数的平方的差等于这两个数分别平方之后的差再减去这两个数的乘积的两倍。
3. 立方和公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³这个公式表示了两个数的和的立方等于第一个数的立方加上三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再加上第二个数的立方。
4. 立方差公式：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³这个公式表示了两个数的差的立方等于第一个数的立方减去三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再减去第二个数的立方。
5. 平方和公式：a² + b² = (a + b)² - 2ab这个公式表示了两个数的平方的和等于这两个数的和的平方减去两倍的两个数的乘积。
6.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)这个公式表示了两个数的平方的差等于这两个数的和与差的乘积。
7. 完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²这个公式表示了一个完全平方等于两个相等的数相减后再平方。
8. 立方和展开公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³这个公式表示了两个数的和的立方等于第一个数的立方加上三倍的第一个数的平方与第二个数的乘积再加上三倍的第一个数和第二个数的平方的乘积再加上第二个数的立方。
1-6 完全平方公式(第二课时) 22-23北师大版数学七年级下册
(2) 992.
解： 1042 = (100+4)2
992 = (100 –1)2
=10000+800+16 =10000 -200+1
=10816.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
ZYT
巩固练习
利用乘法公式计算： (1)982-101×99； (2)20162-2016×4030+20152. 解：(1)原式＝(100-2)2-(100+1)(100-1)
＝1002-400+4-1002+1＝-395； (2)原式＝20162-2×2016×2015+20152
＝(2016-2015)2＝1.
ZYT
典例精析
例2 计算：（1）( x + 3 ) 2 - x 2 ；（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )；
（3）( x + 5 ) 2 -（x-2）(x-3）
方法总结：要把其中两项看 成一个整体，再按照完全平 方公式进行计算.
ZYT
典例精析
例4 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
=(x2－4y2)2 =x4－8x2y2＋16y4.
方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.
典例精析 例4 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2
解：原式=2x2－2y2+[x2+y2 +2xy－xy]+[x2+y2 －2xy+xy] =2x2－2y2+x2+y2 +xy+x2+y2 －xy =2x2－2y2+2x2+2y2=4x2.
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二、因式分解的基本思路
因式分解多项式；先看有无公因式。 两项三项用公式；辨明是否标准式。
布置 作业
1.作业本6.3(2)
拓展提高：
1、你能用口算求出20052-4010× 2003+20032的
值吗？
4
4x4，±4x
2、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合 适的项，你能给它补成完全平方式吗？
C、 2
D、-2
1、用简便方法计算 （1）49.92＋9.98 ＋0.12 （2）9 9992 ＋19 999
2、因式分解
（1）(4a2＋1)2－16a2 （2）(a 2－2)2－4 (a2－2)＋4
2
1 2 2 x 3 xy 9 y分解因式得( B ) 4 2
A、
2 x y 3
2
B、
4 x y 3
2
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那
么k的值是（
A、20
B
）
C、10 D、-10
B、-20
4、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
2+2ab-b2 a
(a b)
2
因式分解：
25x2＋10x＋1
因式分解：
9a 6ab b
2
2
因式分解：
49a b 14ab
2 2
按照完全平方式填空
a2-10a
+（
）= (
)2
因式分解： 按照完全平方式
-a2-10a -25
因式分解：
-a2b2+2ab-1
因式分解：
9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
因式分解：
16x4-8x2＋1
因式分解：
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
因式分解：
(a+b)2＋2(a+b)(a-b) ＋(a-b)2
简便计算：
56 68 56 34
2
2
将 4m 2 1 再加上一项，使它成为
(a b) 的形式
从符号看： 平方项符号相同
对照公式填一填
a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2
16x2+40x+25= ( 4x)2+2(4x)(5 )+( 5 )2 =( 4x + 5 )2
a2－ 2ab + b2 = （a－b）2
4 4 m mn n =(2 m )2- 2( 2 m)( n )+( n )2 =( 2 m - n )2 9 3 3 3 3
2
4m 2 1 4m 2 1
4m 2 1
a2 2ab b2 (a b)2 一、完全平方式具有： a2 2ab b2 (a b)2 1、是一个三项式
2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积 的2倍或-2倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解
小结：
2 2 2
完全平方式
用公式法正确的因式分解关键是什么？ 熟知公式特征！ 完全平方式 2 a b + b2 = （ a ± b ）2 a2 ± 从项数看： 都是有 3 项
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式) 的乘积的2倍.
(2a 3b) 2
(2) -x2-4y2＋4xy 解：原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 )
[x 2 x (2y) (2y) ]
2 2
( x 2 y) 2
(3) 3ax2＋6axy＋3ay2
原式 3a( x 2 2xy y 2 ) 解：
3、已知x2+y2+6x-4y+13=0.求xy的值；-6
4、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解 吗? [（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2
选一选：
1、把
1 A、 1 x 3 y B、 x 3 y 2 4 2、把 4 x 2 y 2 4 xy 分解因式得 （A ） 9 3
2
(a b) a 2ab b
2 2
完全平方式：
字母表达
a 2ab b (a b) a2 2ab b2 (a b)2
2 2
2
语言表述 两数的平方和，加上（或减去）这两数的 积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
那么m的值为（
A、6 B、±6
B
）
C、3 D、±3
5、把 a b 4 a b 4 分解因式得（ C ）
2
a b 1 B、 a b 1 2 2 D、 C、 a b 2 a b 2
A、
2
2
6、计算 1002 2 100 99 992 的结果是 （ A ） A、 1 B、-1
浙教版七年级下册
《6.3.2完全平方公式因式分解》
课前复习：
1.因式分解 2 2 （1） 16m n （2） ax ax
4 4 2
（有公因式，先提公因式。）
（因式分解要彻底。） （3） x 16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b) a 2ab b
2 2
2
否
是
a表示2y， b表示3x
4 y 12xy 9x
2
2
( 2 y 3 x)
2
(a b) 2(a b) 1
2
是
a表示(a+b)， 2 (a b 1) b表示1
例题
(1)
4a 12ab 9b
2
2
2
2
解： 原式 (2a) 2 (2a) (3b) (3b)
2
12ab 4a 9b ______ ；
2 2
x _____ 4 y ； 4xy
2 2
1 2 ab a _____ b ； 4 2 4 2 y x 2 x y _____ ．
2
做一做
判断因式分解正误。
-x2-2xy-y2 ( x y) 2
判断因式分解正误。
3a(x y)2
(4)
(2 x y) 6(2 x y) 9
2
原式 (2x y)2 2 (2x y) 3 32 解：
(2x y 3)
2
请补上一项，使下列多项式成为完全平方 式．
1 2 3 4 5
2xy y 2； x _____
2 2
填一填
多项式
x 6x 9
2
是否是完全平 a、b各表示 方式 什么
表示（a+b）2或 （a－b）2
是
a表示x， b表示3 a表示2y， b表示1
( x 3)2
(2 y 1) 2
4 y 4 y 1
2
是
1 4a 2
2
否
2 至是多项式2 x 4x 4 y
1 1 x x 否 公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚 2 4