第1讲矢量基础
第一讲(电磁学基础)
无旋场 A 0
性质
( A) 0
(4) 亥姆霍兹定理 内容：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，
旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该
矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢
量在无限远处减少至零则该矢量由其散度和旋度
唯一确定。
有源无旋场：矢量场在某些区域
A
但0 在某个位置
0 2
z
单位矢量
r
r
r
e
e
ez
(2) 单位矢量之间的关系
er er erz
er erz er
erz
r e
r e
(3) 矢量表示式
r A
r e
A
r e
A
r ez
Az
(4) 微分长度
r dl
erd
er d
erzdz
(5) 微分面积
r dS
r e
d
dz
r dS
erd dz
r dSz
定义：若矢量场 A分布于空间中，在空间中存在任意 曲面 上S。定义 在A曲 面上的积分为通量。
sA dS
曲面 S的方向
开表面： 作一封闭线圈，选定绕行方向后，沿绕行 方向按右手螺旋法则，拇指方向为开表面方向
闭合面：外法线方向
矢量场的散度
定义：场空间 A中的任意点M处作一个封闭面，所围
体积为 ，V 则定义 在A M点处的散度为 ：
(3) 矢量场的环流、旋度
矢量场的环流
定义：在场矢量 A的空间中，取一有向闭合曲线 l
则场矢量 沿A曲 线的线积分，称为环量。
l A dl
矢量场的旋度
环量强度：在场矢量 A的空间中，围绕空间某点取一
第1章 矢量分析(2)
r en
r r r r ψ = ∫ dψ =∫ F ⋅ dS = ∫ F ⋅ endS
r r 其中： 面积元矢量； 其中： S = endS ——面积元矢量； 面积元矢量 d
S S
r dS
面积元矢量
r ——面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量 en
r r r dψ = F ⋅ endS ——穿过面积元 dS 的通量。 穿过面积元 的通量。
∆x ∆x ∂Fx Fx (x0 − , y0 , z0 ) ≈ Fx ( x0 , y0 , z0 ) − 2 2 ∂x
通量值为
P
∆y
∆x y
x0 , y0 , z0
o
由此可知，穿出前、 由此可知，穿出前、后两侧面的净
x
在直角坐标系中计算
r ∇⋅ F
∂Fx ∆x ∆x [Fx (x0 + , y0 , z0 ) − Fx (x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z = ∆x∆y∆z 2 2 ∂x
r ∇⋅ F(x, y, z) = lim
称为矢量场的散度。 称为矢量场的散度。 散度
∫
S
r r F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∆V →0
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。 体积之比的极限。
散度的表达式： 散度的表达式：
r ∂Fx ∂Fy ∂F 直角坐标系 ∇⋅ F = + + z ∂x ∂y ∂z r φ 圆柱坐标系 ∇⋅ F = ∂(ρFρ ) + ∂F + ∂Fz ρ∂ρ ρ∂φ ∂z
∇C = 0 ∇(Cu) = C∇u 梯度运算的基本公式： 梯度运算的基本公式： ∇(u ± v) = ∇u ± ∇v ∇(uv) = u∇v + v∇u ∇f (u) = f ′(u)∇u
第一章 矢量分析
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
2. 圆柱坐标系
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez 位置矢量 线元矢量
r e ez z
dl e d e d ez dz
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
电子科技大学编写 高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
3. 标量场的梯度（ gradu 或 u ） 概念：
u u el |max l
，其中el u l
取得最大值的方向
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电子科技大学编写
高等教育出版社 & 高等教育电子音像出版社 出版
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度
1.5 矢量场的环流和旋度
1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
写成行列式形式为
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A B
A B B A 若 A B ，则 A B AB
若 A // B ，则 A B 0
电子科技大学编写
B
0
e
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
第1章 - 1 矢量坐标系梯度
12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos
第一讲 点的运动学：矢量法、直角坐标
定理：点的加速度在直角 坐标上的投影等于点的对 应坐标对时间的二阶导数。
例题 1.2半径为R的轮子在一竖直平面内沿直线轨道纯滚动(接触
点速度为零的无滑动滚动)。轮心速度已知为常数u，试分析轮子
边缘一点 M 的运动。
y
建立点运动方程的一般过程
1．建立坐标系(明确坐标原点与坐标正方向)；
ϕ = ωt
试建立连杆上 P 点的运动方程并分 析它的运动轨迹、速度及加速度。
解：建立如图所示的坐标系， 研究 P 的运动。
根据已知条件写出 P 的直 角坐标随时间的变化规律，即得 P 的直角坐标形式的运动方程
⎧x = (2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎩
y
=
d
sin(ωt)
P 的轨迹方程为椭圆：
(BP = d)
r
再求导得 P 点的加速度 a = &x&i + &y&j = −ω2r
⎧⎪&x& = −ω 2(2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎪⎩
&y&
Hale Waihona Puke =−ω2d
sin(ωt
)
P点沿椭圆轨道变速周期运动。
2
例1.3：刚体的概念和其上点运动的性质 定义1：运动中始终不变形的物体称为刚体。 定义2：其上任意两点间的距离始终不变的物体称为刚体。
⎪⎩z = f3 (t)
1
速度:描述点瞬时运动快慢和方 向变化的物理量，是矢量。点的 速度沿轨迹切线，指向点的运动 方向。
v(t) = dr 记 r&= dr
dt
dt
直角坐标法
r = xi + yj + zk
第1章 矢量分析(3、4)
A B0 y a x
A B0 y a z
B.
A B0 y ax B0 x a y
D. A 2B0 y ax 2B0 x a y
32
2、点电荷电场的等电位方程是___。 A.
q 40 R
2
常量
B.
q 40 R
常量
矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。
13
(正源)
(负源)
（无源）
divF (r ) 0 divF (r ) 0 divF (r ) 0
讨论：在矢量场中， 1）若 divA(r ) 0，则该矢量场称为有源场， 为源密度；
q
2
C.
40 R
常量
q
2 2
D.
40 R
常量
对E积分（E=q/4πε0 r^2）,得B选项
33
★斯托克斯定理（Stokes定理）
Ad l
C
rot A d S
S
式中， S：回路C所限定的面积。
34
斯托克斯定理的证明
方向相反 大小相等 结果抵消
35
第一章 矢量分析与场论基础
在内的任一闭合曲面
， 所限定的体积为V， 当
体积V以任意方式缩向M点时，取下列极限
lim
V 0
A d S
S
V
若此极限值存在，则称此极限为矢量场A在M点
处的散度（divergence）,记作 div A
10
即：
在场 A(r ) 空间中任意点M
处作一个闭合
曲面，所围的体积为 在M点处的散度为：
第1章 矢量分析
O 方向： “右手螺旋法则”
O 物理含义：
1. “平行四边形面积” 2. “右手法则”——
a AB
B
AB
A
A ( B sin AB A B sin AB ) Ax Bx
东北大学秦皇岛分校
ex
ey Ay By
“ Microwave Engineering ” Pozar,D.M.
东北大学秦皇岛分校
15
关于原著
“A Treatise on Electricity and Magnetism” 《电磁通论》上下卷 詹姆斯· 克拉克· 麦克斯韦（James Clerk Maxwell） 著 中译本：武汉出版社, 1994 1873年Maxwell出版《电磁通论》两卷，历经两世 纪库仑、安培、法拉第等人的努力，最后在这位 物理大师的临门一脚之下，古典电磁学终于统一。 这本经典著作系统化地完完整整地阐述了电磁学 理论，指出光是一种电磁波。 以坐标系为线索展开论述
东北大学秦皇岛分校 9
谈谈麦克斯韦Maxwell（3）
31岁那年他发表了《论物理的力线》 提出了“位移电流”和“电磁场”等新概念， 给出了电磁场理论更完整的数学表述，并预 见了电磁波的存在。 他认为变化的电场必激发磁场，变化的磁场 又激发电场，这种变化着的电场和磁场共同 构成统一的电磁场。电磁场以横波的形式在 空间传播，形成所谓电磁波。 34岁那年他发表了《电磁场动力学》 推算出电磁波的传播速度，并断定光也是一 种电磁波。
东北大学秦皇岛分校 14
English Materials for Further Reading
“Electromagnetic theory” Julius Adams Stratton. (MIT) “Fields and waves in communication electronics” Simon Ramo, John R. Whinnery , et al.
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
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B
T
B
Ay By
x
B
Az
z
转置矩阵
3.矢量的点积 矢量点积运算公式：
A B A B cos ,
0
A B B A A (B C) A B A C (A) ( B) ( A B) 2 2 A A A A
F2
O
F
F1
O
F1
三角形法则
平行四边形法则
2.矢量的加减法 1）矢量加法
F 1 F2 F3 F2 F3
F 1 F3
F 1 F2
F3
F2
F1
O
六边形法则：三个矢量相加
1）矢量加法
Fn
2.矢量的加减法
n F Fi i 1
叉积不满足结合律
A ( B C ) ( A B) C
5.矢量的复杂运算 3） Laplace公式： ( A B) (C D) ( A C )( B D) ( A D)( B C ) 证明：将 C D 看作一个矢量，由矢量混合积 的旋转法则可以得到： ( A B ) (C D) A [ B (C D ] A [C ( B D) D( B C )] ( A C )( B D) ( A D)( B C )
《矢量分析与场论》
第1讲 矢量基础
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 矢量的概念 2. 矢量的加减法
3. 矢量的点积
4. 矢量的叉积 5. 矢量的复杂运算
1.矢量的概念 1） 标量（Scalar） 一个仅用大小就能够完整描述的物理量 电压（电位）、温度、时间、质量等 所有实数 标量场
A (B C) 0
Ax V A ( B C ) Bx Cx
5.矢量的复杂运算 2） 矢量二重叉积：A ( B C ) ，是一个矢量。
A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
B
0
A B B A
两矢量的点积可交换，具有对称性。
3.矢量的点积
2）单位矢量的点积 直角坐标系中单位矢量的标量积。
i i 1 j i 0 k i 0
i j 0 j j 1 k j 0
ik 0 j k 0 k k 1
加法: C=A+B
减法: D=A-B
1.矢量的概念 2）矢量（Vector）
一个有大小和方向的物理量
电场、磁场、力、速度、加速度等 矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点 P ，均可用有序独立的 3 个数（ P1 ， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP ( P 1, P 2, P 3)
1.矢量的概念 5）矢量的数乘：一个矢量与一个数字 k相乘， 为三个独立有序数分别乘以k，表示为：
kr 1 ( kP 1 , kP 2 , kP 3)
6 ）矢量的加法（减法）：表示矢量的三个独
立有序数，分别相加（相减）。
r1 r2 ( P 1 Q1 , P 2 Q2 , P 3 Q3 )
4.矢量的叉积 1）两个矢量的叉积是一种矢量型的作用（矢量
积）；定义为 A B等于 C ，是一个矢量。
C A B
C A B
O
B
A
4.矢量的叉积 2） 叉积的大小
C A B sin
C A B
5.矢量的复杂运算
矢量混合积的常用公式
A ( B C ) B (C A) C ( A B )
A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
( A B ) (C D) ( A C )( B D) ( A D )( B C ) A [ B (C D )] ( B D )( A C ) ( B C )( A D ) 2 ( A B ) [( B C ) (C A)] [ A ( B C )]
1.矢量的概念 7）笛卡尔坐标系：直角坐标系
r
矢径
z
zk
i , j , k 单位矢量
P( x, y, z)
ˆ ˆ, ˆ i j, k
矢量可以表示为：
xi
zk
x
1.矢量的概念 8）矢量的模：矢量的长度
cos cos cos 1
2 2 2
3.矢量的点积 6）矢量点积的几何意义：
矢径 r 向各单位矢的投影。
x r i yr j z r k
z
zk
P( x, y, z)
r
xi
o
yj
y
x
3.矢量的点积 7）矢量点积的物理意义：广泛的应用。
3）矢量的减法
F F 1 F2
F2
O
2.矢量的加减法
F2
O
F F 1 F2
F F 1 F2
F1
平行四边形法则
F1
三角形法则
差矢量的箭头指向被减矢量。
2.矢量的加减法 3）矢量的减法
F1 F2 ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j ( z1 z 2 ) k F1 F2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
z
zk
P( x, y, z)
r r
x y z
2 2
2
xi
r
o
yj
y
单位矢量：一个矢量与其模相除
r r r
x
xi yj zk x2 y2 z 2
单位矢量的模： r 1
i j k 1
1.矢量的概念 9）矢量的表示法 教科书：物理量符号，黑体符号。
1.矢量的概念
3）矢量相等：若
r2 OQ (Q1 , Q2 , Q3 )
满足：
r1 OP ( P 1, P 2, P 3)
P 1 Q 1, P 2 Q2 , P 3 Q3
则可称：
r 1 r 2
4）零矢量：矢量的三个独立有序数均为零。
0 (0,0,0)
i j k j j 0 k j i
ik j jk i kk 0
4.矢量的叉积
3） 单位矢量的叉积
i , j, k ,i , j
从左往右，相邻两个单位矢量叉乘得到正的下 一个单位矢量。从右往左，相邻两个单位矢量叉 乘得到负的下一个单位矢量。
F3
F2
O
F1
多边形法则：多个矢量相加
2.矢量的加减法 2 ）矢量数乘和加法的性质：
( A) ( ) A 矢量数乘 ( ) A A A ( A B ) A B
矢量加法 A B B A ( A B) C A ( B C )
F1 x1i y1 j z1k F2 x2 i y 2 j z 2 k
F2
O
F F 1 F2
F1
空间两点之间的距离
3.矢量的点积 1）定义：两个矢量的点积是 一个数量（标量积）。
A
O
A B A B cos
3.矢量的点积 3）点积的计算公式
A B Ax Bx Ay By Az Bz
性质：两个非零矢量点积为0的充要条件是
矢量相互垂直（正交）。
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
3.矢量的点积 4）两矢量的夹角余弦
S
区域）的有向面积。
O
B
S A B
A
4.矢量的叉积
6） 矢量叉积的物理意义：广泛应用
M
力矩
M rF
旋转线速度
O
dr V r dt
O
F r V r
5.矢量的复杂运算
1） 矢量混合积： A ( B C ) ，是一个标量。 A B C 矢量混合积满足旋转法则
0 A B ( B A)
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是矢 量相互平行。
4.矢量的叉积 3） 单位矢量的叉积
ii 0 j i k k i j
A ( B C ) B (C A) C ( A B )
h BC
意义：三矢量构成 的平行六面体的体积 。
A
C
B
5.矢量的复杂运算
1） 矢量混合积：
推论：三个非零矢量
h BC
A
共面的充要条件是：
C
B
Ay By Cy Az Cz Bz