函数的形成与发展
函数概念的形成与发展
函数概念的形成与发展北京教育学院宣武分院 彭 林北京师范大学数学系 张 宇 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度,而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展,数学学习的巨大作用.(一)马克思曾经认为,函数概念来源于代数学中不定方程的研究.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究,所以函数概念至少在那时已经萌芽.自哥白尼的天文学革命以后,运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题,人们在思索:既然地球不是宇宙中心,它本身又有自转和公转,那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆,原理是什么?还有,研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度,以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题,既是科学家的力图解决的问题,也是军事家要求解决的问题,函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念,这是函数概念的力学来源.(二)早在函数概念尚未明确提出以前,数学家已经接触并研究了不少具体的函数,比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在他的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候,数学家还没有明确函数的一般意义.1673年,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.由此可以看出,函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的,几乎与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系,直到1689年,瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上,对函数概念进行了明确定义,贝努里把变量x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”,表示为y x .当时,由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算,所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x 和常数c 而成的式子,取名为解析函数,还将它分成了“代数函数”与“超越函数”.18世纪中叶,由于研究弦振动问题,达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法.在解释“任意的函数”概念的时候,达朗贝尔说是指“任意的解析式”,而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”.现在看来这都是函数的表达方式,是函数概念的外延.(三)函数概念缺乏科学的定义,引起了理论与实践的尖锐矛盾.例如,偏微分方程在工程技术中有广泛应用,但由于没有函数的科学定义,就极大地限制了偏微分方程理论的建立.1833年至1834年,高斯开始把注意力转向物理学.他在和W ·威伯尔合作发明电报的过程中,做了许多关于磁的实验工作,提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论,使得函数作为数学的一个独立分支而出现了,实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究.后来,人们又给出了这样的定义:如果一个量依赖着另一个量,当后一量变化时前一量也随着变化,那么第一个量称为第二个量的函数.“这个定义虽然还没有道出函数的本质,但却把变化、运动注入到函数定义中去,是可喜的进步.”在函数概念发展史上,法国数学家富里埃的工作影响最大,富里埃深刻地揭示了函数的本质,主张函数不必局限于解析表达式.1822年,他在名著《热的解析理论》中说,“通常,函数表示相接的一组值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的……,我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律;他们以任何方式一个挨一个.”在该书中,他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数.更确切地说就是,任意一个以2π为周期函数,在[-π,π]区间内,可以由α02+Σx k =1(αkcos kx +b k sin kx )数学走廊 中学数学教学参考2003年第11期61 =α2+(α1cos x+b1sin x)+…表示出,其中αk =1ππ-πf(x)cos kx dx Θ,b k=1ππ-πf(x)sin kx dx Θ.富里埃的研究,从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想,在当时的数学界引起了很大的震动.原来,在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟,级数把解析式和曲线沟通了,那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍.通过一场争论,产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义.1834年,俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义:“x的函数是这样的一个数,它对于每个x都有确定的值,并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出,也可以由一个条件给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系,是对函数概念的一个重大发展,因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分.1837年,德国数学家狄里克莱(Dirichlet)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要,所以他的定义是:“如果对于x的每一值,y总有完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”根据这个定义,即使像如下表述的,它仍然被说成是函数(狄里克莱函数):f(x)=1 (x为有理数),0 (x为无理数).,如果x由0逐渐增大地取值,则f(x)忽0忽1.在无论怎样小的区间里,f(x)无限止地忽0忽1.因此,它难用一个或几个式子来加以表示,甚至究竟能否找出表达式也是一个问题.但是不管其能否用表达式表示,在狄里克莱的定义下,这个f(x)仍是一个函数.狄里克莱的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此,我们已可以说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义.(四)生产实践和科学实验的进一步发展,又引起函数概念新的尖锐矛盾,本世纪20年代,人类开始研究微观物理现象.1930年量子力学问世了,在量子力学中需要用到一种新的函数———δ-函数,即 ρ(x)=0,x≠0,∞,x=0.且+∞-∞ρ(x)dx=1Θ.δ-函数的出现,引起了人们的激烈争论.按照函数原来的定义,只允许数与数之间建立对应关系,而没有把“∞”作为数.另外,对于自变量只有一个点不为零的函数,其积分值却不等于零,这也是不可想象的.然而,δ-函数确实是实际模型的抽象.例如,当汽车、火车通过桥梁时,自然对桥梁产生压力.从理论上讲,车辆的轮子和桥面的接触点只有一个,设车辆对轨道、桥面的压力为一单位,这时在接触点x=0处的压强是P(0)=压力接触面=1=∞.其余点x≠0处,因无压力,故无压强,即P(x)=0.另外,我们知道压强函数的积分等于压力,即+∞-∞ρ(x)dx=1Θ.函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展,产生了新的现代函数定义:若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字,但却是概念上的重大发展,是数学发展道路上的重大转折,近代的泛函分析可以作为这种转折的标志,它研究的是一般集合上的函数关系.函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革,形成了函数的现代定义,应该说已经相当完善了.不过数学的发展是无止境的,函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结,近二十年来,数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”.设集合X、Y,我们定义X与Y的积集X×Y为X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y}.积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为x Ry.若(x,y) R,则称x与y无关系.现设f是X与Y的关系,即f<X×Y,如果(x,y),(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的函数.在此定义中,已在形式上回避了“对应”的术语,全部使用集合论的语言了.从以上函数概念发展的全过程中,我们体会到,联系实际、联系大量数学素材,研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要.62 数学走廊中学数学教学参考2003年第11期。
函数概念的历史发展(完整版)
函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。
1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。
实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。
但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。
哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。
在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。
在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。
例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。
”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。
”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。
”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。
几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。
托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。
函数概念的产生与发展
函数概念的产生与发展函数的概念产生于古希腊的数学领域，随着数学发展逐渐完善和发展。
在古希腊时代，数学主要是以几何学为基础，对于直线、圆、三角形等几何图形的研究较为深入。
然而在研究几何图形的过程中，人们发现需要研究更一般的曲线来解决一些问题。
于是，人们开始研究曲线的性质和方程，这就是函数概念的起源。
最早提出函数概念的是古希腊的柯尼多斯（Conon），他在《席知布拉斯》（Spherics）一书中，使用了“曲面上的曲线”概念，也就是我们现在所称的函数。
在柯尼多斯的研究中，函数是用来描述曲面上点的位置，他通过截面的思想来研究曲线。
然而，他并未对函数的性质和变化进行详细的研究。
在早期的数学研究中，函数的概念并不被广泛使用。
直到16世纪，随着代数学的发展，人们开始更加系统地研究函数。
法国数学家弗朗西斯·维埃特（François Viète）是最早引入函数概念的数学家之一、他在《代数最湮</em>〉》一书中，首次将函数描述为数之间的关系，他将函数视为是一个等式中的未知量，并提出了函数的运算规则。
18世纪的数学家欧拉（Leonhard Euler）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等人进一步完善了函数的概念和理论。
欧拉在《分析概论》一书中，提出了复变函数的概念，研究了函数的连续性和收敛性等问题。
拉格朗日在《分析学》一书中，提出了拉格朗日乘数法和最优化问题的理论，对函数的极值问题进行了深入研究。
到了19世纪，函数的概念得到了进一步的发展和推广。
高斯（Carl Friedrich Gauss）提出了研究函数性质的代数方法，他在《复数的算术及代数原理》中，提出了函数的代数特征。
柯西（Augustin-Louis Cauchy）在《复变函数论》一书中，研究了复变函数的连续性和可微性，开创了复变函数论的研究方向。
魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）则在极限理论方面做出了巨大贡献，他引入了极限的严格定义和连续函数的定义。
基本初等函数的形成与发展
基本初等函数的形成与发展函数是数学中一个重要的概念,它描述了两个变量之间的对应关系。
在数学发展的漫长历程中,基本初等函数逐步形成并不断发展,为后来更复杂函数的建立奠定了坚实基础。
1. 代数函数的形成代数函数是最早出现的一类基本函数。
多项式函数和有理函数都属于代数函数的范畴。
早在古希腊时期,数学家们就开始研究代数方程的解法,从而引入了多项式函数。
而有理函数的出现则与分数计算的发展密切相关。
2. 三角函数的诞生三角函数的起源可以追溯到古巴比伦时期,当时人们需要测量地面距离和天体运行轨迹,从而发现了周期性函数。
但是,三角函数的系统理论是在17世纪由英国数学家约翰·沃利斯建立的。
他将三角函数定义为圆的某些线段的比值,奠定了三角函数的基础。
3. 指数函数和对数函数的产生指数函数和对数函数的出现与复利计算和对数的发明密切相关。
17世纪,数学家们发现连续复利增长可以用指数函数来描述。
而对数的发明则为求解指数方程提供了有力工具,从而引入了对数函数。
4. 反三角函数的引入随着三角函数的广泛应用,人们逐渐意识到反三角函数的重要性。
17世纪,约翰·沃利斯和詹姆斯·格里高利分别研究了反正弦函数和反正切函数,为反三角函数的发展奠定了基础。
5. 其他基本初等函数除了上述几类基本初等函数外,还有一些其他重要的初等函数,如双曲函数、分段函数等。
这些函数的引入丰富了函数的种类,为更复杂函数的研究做好了准备。
基本初等函数的形成和发展是一个漫长的历史过程,它们的产生源于人类解决实际问题的需求,并随着数学理论的发展而不断完善。
这些基本初等函数为后来更高级的数学分支奠定了坚实的基础,成为数学发展的重要里程碑。
《函数发展史》课件
反比例函数
定义：当两个变 量的乘积为常数 时，这两个变量 之间存在反比例 关系
图像：在坐标系 中呈现出双曲线 形态
性质：当k>0时， 函数图像位于第 一、三象限；当 k<0时，函数图 像位于第二、四 象限
应用：在物理学、 工程学等领域中 有着广泛的应用
幂函数
定义：形如 y=x^a（a为 常数）的函数
● * 奇偶性：当a为整数时，若a为偶数，则幂函数为偶函数；若a为奇数，则幂函数为奇函数。 ● * 增减性：当a>0时，幂函数在(0, +∞)上是递增的；当a<0时，幂函数在(0, +∞)上是递减的。 ● * 极值：当a>1时，幂函数有极小值点；当0<a<1时，幂函数有极大值点。 ● * 单调性：当a>1时，幂函数在区间(0, +∞)上单调递增；当0<a<1时，幂函数在区间(0, +∞)上单调递减。
● 函数的未来展望： (1) 函数将继续在各个领域发挥重要作用，为人们的生活和工作带来更多便利； (2) 函数将不断发展和创新，为解决复杂问题提供更多可能性； (3) 函数将与其他技术的结合更加紧密， 推动整个科技领域的发展。
● (1) 函数将继续在各个领域发挥重要作用，为人们的生活和工作带来更多便利； ● (2) 函数将不断发展和创新，为解决复杂问题提供更多可能性； ● (3) 函数将与其他技术的结合更加紧密，推动整个科技领域的发展。
反正切函数：正切函数的反函数，即y=tanx的反函数。在区间(-π/2,π/2)上是单调递增的。
指数函数与对数函数
指数函数的定义与性质
指数函数的定义： 底数大于0且不等于 1，指数为实数的函 数称为指数函数。
指数函数的性质：当 底数大于1时，指数 函数是递增函数；当 底数在0到1之间时， 指数函数是递减函数。
函数产生的社会背景
函数产生的社会背景函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT等领域发挥着举足轻重的作用;在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。
学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1 函数产生的社会背景函数 (function) 这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。
而在16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题;哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。
牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。
函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。
如牛顿在 1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示;纳皮尔在 1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。
1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式;直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。
17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。
在 1673 年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”，而牛顿在微积分的.研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。
函数就是在数学家们不同分支但相同意义的研究下顺应而生。
2 函数概念的提出和初步发展1718 年，瑞士的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量”。
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函数概念的产生和发展函数概念是数学中最重要的基本概念，也是社会实践中被广泛应用的一个数学概念，函数概念同其他数学概念一样，有其萌芽、产生、发展的历史.在16世纪，物体运动的研究已成了自然科学的中心研究课题，实际的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究，对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究.因而作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念.16世纪，人们开始转入对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究，特别是进入17世纪以后，笛卡儿(Descartes ·Rene ·duperron,1596年—1650年法国数学家)1637年出版的《几何学》中，第一步涉及到变量，不过当时没有使用变量这一术语，而称为“未知和未定量”，同时也引入了函数的思想，他指出y 和x 是变量的时候，也注意到y 依赖于x 而变.英国数学家格雷果里(Jame ·Gregorg,1638年—1675年)在1667年曾给出了函数的定义，他在论文《论圆和双曲线的求积》中指出：从一些其他的量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量.这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算.这一定义被认为是函数解析定义的开始，但是未能引起人们的重视.一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646年—1716年)，他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线以及点的纵坐标都称为函数，他并强调这条曲线是由一个方程式给出的.用函数表示几何量，被看作是“函数概念的几何起源”这些都是函数的比较模糊的原始定义.函数概念从萌芽开始的第一次扩张主要是解析扩张，最早进行这一函数扩张的是瑞士著名的数学家约翰·伯努利(Ｂernoulli ·Johann,1667年—1748年)，他在1698年给出函数新定义是：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以叫x 的函数.1748年，伯努利的学生，18世纪杰出的数学家欧拉(Eule ·Leonhrd,1707年—1783年)，又推进了一步，在他的著名的《无穷小分析论》一书中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式组成的一个解析表达式”，欧拉还曾引入了函数符号f (x )，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等.把函数看作一个解析表达式的，还有法国数学家达朗贝尔(D'Alembert ·Jean Le Rond,1717年—1783年)，他认为函数是由代数和微积分的步骤构成的解析表达式.法国数学家拉格朗日(Lagrange ·Joseph ·Louis,1736年—1813年)在1797年，把一元或多元函数定义为自变量在其中可以按任何形式出现并且对计算有用的表达式.他于1806年写的《函数计算教程》中说，函数是运算的一个组合.在18世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的).1822年法国数学家傅立叶(1768年—1830年)提出了任意函数可展开为三角函数.十九世纪函数概念第三次扩张，以杰出的法国数学家柯西(Cauchy ·Augustin Louis ，1789年—1857年)在1821年写的《解析教程》给出了函数的定义：在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数.这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词.函数是用一个式子或多个式子表示、甚至是否通过式子表示都无关要紧.德国数学家狄利克雷(Dirichlet ·Peter Gutar Lejeune.1805年—1859年)于1837年给出了科学精确的函数定义：若对x(a ≤ｘ≤ｂ)的每一个值，y 总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y 是x 的函数.狄利克雷还给出了著名的函数：Ｄ（ｘ）＝ ⎩⎨⎧)(0)(1为无理数为有理数x x .这个函数是难以用简单的包含自变量x 的解析表达的.但按照上述定义D (x )确是一个函数.人们称为狄利克雷函数.美国数学家维布伦(Veblen ·Qswald.1880年—1960年)的函数定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的.他给出了近代函数的定义：“设集合X，Y，如果X中每一个元素x都有Y中惟一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射，记作f:X→Y，y=f(x).函数概念经过二百多年的锤炼、变革到近代定义，应该说相当完善了，然而数学的发展是无止境的，人们还在探索更为广泛的函数定义.。
函数概念的发展历程ppt课件
函数概念的初步形成（解析函数时期）
解析函数时期的发展要依托与微积分的发展与促进。 首先是瑞士著名数学家约翰 贝努利，他提出：积分工作的目的是在给定 变量的微分中，找出变量本身之间的关系。而后，他又从解析的角度把 函数定义为：“变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的 量。” 18世纪，约翰 贝努利的学生欧拉，进一步推广了老师对于函数的定义， 并且在1734年欧拉就已经用符号来表示函数，并且至今仍在使用。
函数概念的确立（变量函数）
第三阶段，代表人物是法国数学家柯西，他给出了类似初中课本中对于函数的定义：“在某些变数间存在 着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可以随着确定时，则将最初的变数叫做自 变量，其它各变数叫做函数”。 在该定义中，柯西第一次引入了“自变量”一词。德国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数定义：“x的 函数是这样一个数，它对于每一个x都有确定的值并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以 由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是 未知的。” 而后，狄利克雷给出了意义更为广泛的函数概念：“如果对于的每一个x值，总有一个完全确定的y值与之 对应，则是的函数。”这个定义成功的引进了“单值对应”这个概念，巧妙地避免了过去函数定义中的不 确定的“依赖关系”的描述，以清晰完美的方式表达了变量间的依赖关系，被19世纪的数学家普遍接受， pt 课件
演讲人
目录
01
函数概念的萌芽时期（自然函 数、代数函数时期）
02
函数概念的确立（变量函数）
03
函数概念的初步形成（解析函 数时期）
04
函数概念的再次发展
函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）
函数概念的形成与发展-人教B版必修一教案
函数概念的形成与发展-人教B版必修一教案一、引言函数是高中数学中最重要的概念之一，学好函数对于高中数学的学习至关重要。
那么，函数概念是如何形成和发展的呢？在本文档中，我们将探讨函数概念的形成与发展。
二、概念的形成在数学史上，函数的概念是在17世纪初期逐渐形成并且不断完善的。
1637年，笛卡尔并未使用函数的概念，但他在《几何学》一书中引入了坐标系，将几何问题转化为代数问题，为后来的函数研究提供了基础。
在此基础上，韦达在1659年提出了函数的初步概念，认为函数是一种由一个自变量映射到另一个因变量的规律。
1707年，勒让德正式提出了函数的全面定义，这一定义至今仍广泛应用。
三、概念的发展在18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对函数的性质和应用进行了深入研究。
19世纪初期，高斯致力于函数论的研究，开辟了函数论研究的新领域。
20世纪初期，希尔伯特等数学家在函数论研究的基础上，提出了函数空间、演算理论等新的研究方向。
此外，函数作为一种数学模型，在其他学科中也得到了广泛应用，如物理、经济学、工程学等。
四、函数概念的应用函数的概念是高中数学的重点和难点之一，也是后续学习数学的基础。
函数概念的应用十分广泛，涉及到函数的性质、函数的图像、复合函数、反函数等内容。
在实际生活中，函数概念也应用广泛，如制作数学模型、分析各种问题、预测未来发展趋势等。
五、教学实践（一）教材分析当前，人教B版高中数学必修一中对函数的教学有着详细的安排。
在此基础上，教师可以采用多种教学手段和方法，提高学生的学习效果。
（二）教学方法教学中，教师可以采用讲解、演示、互动等多种教学方法，以帮助学生形成深刻的函数概念。
同时，可以采用问题引导、情境模拟等教学手段，让学生更好地理解函数的应用。
（三）教学评价在教学中，教师可以采用课堂讨论、课堂测试等方式进行教学评价，及时发现学生的掌握情况，并对学生有针对性地提出建议。
六、总结函数概念是高中数学中最重要的概念之一。
函数起源发展历程
函数起源发展历程函数起源于数学领域，可以追溯到古希腊时期。
最早的数学思想可以追溯到公元前4世纪的希腊数学家欧几里得。
他在其著作《几何原本》中，首次提到了连续变化的概念，并使用了字母来表示不同的量。
然而，在欧几里得的时代，函数的概念并不是成熟的，它只是当时数学领域中的一种辅助工具。
函数的真正起源可以追溯到17世纪的科学革命。
当时，数学家们开始深入研究变量之间的关系，并开始注意到一种普遍的数学模式。
这些数学模式描述了自然界中许多现象的重要特征。
数学家们逐渐认识到，这些模式可以通过一种称为函数的工具来表示和描述。
在17世纪早期，法国数学家勒让德首次引入了函数的概念。
他将函数定义为一个数学关系，其中一个变量的值取决于另一个变量的值。
他还引入了函数的符号表示法，即将函数用字母表示，并将变量和函数之间的关系表示为f(x)，其中x是一个变量，f(x)是x的函数。
在18世纪，数学家们对函数的理解进一步深化，并开始研究更复杂的函数。
著名的数学家欧拉对函数的研究做出了重要贡献。
他发现了自然对数函数和三角函数之间的关系，并发展了对复数函数的理解。
在19世纪，数学家高斯和傅里叶进一步发展了函数的理论。
高斯提出了复变量函数的概念，并发展了复变量函数的分析学。
他还引入了连续函数和可导函数的概念，并通过极限的概念完善了函数的定义。
傅里叶则发展了傅里叶级数和傅里叶变换的概念，这对于描述周期性现象和信号处理非常重要。
他的工作对现代工程学和物理学有着深远的影响。
到了20世纪，随着计算机的发展，对函数的研究进入了新的阶段。
数学家们开始研究离散函数和数值函数，并发展了数值计算和数据分析的方法。
现代计算机科学的发展使函数成为了重要的编程概念，广泛应用于计算机编程和数据处理。
总的来说，函数的起源可以追溯到古希腊时期，但它真正的发展和成熟是在17世纪以后的科学革命中。
数学家们通过对变量之间关系的研究，逐渐形成了现代函数的概念。
随着时间的推移，函数的理论和应用不断发展，对现代科学和技术的进步起到了重要作用。