《平面向量数量积的坐标表示》说课教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义引导学生复习初中所学向量的概念，即向量是有大小和方向的量。
解释向量在坐标系中的表示方法，例如在二维坐标系中，向量可以表示为由原点出发的箭头，其长度表示向量的大小，箭头方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示介绍向量的表示方法，即用粗体字母或箭头表示向量，例如\( \vec{a} \) 或\( \overrightarrow{a} \)。
强调向量是有方向的量，与标量（只有大小没有方向的量）的区别。
第二章：向量的坐标表示2.1 二维向量的坐标表示引导学生复习初中所学二维向量的坐标表示方法，即用(x, y) 表示一个二维向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量。
举例说明如何求解一个二维向量的坐标表示，例如给定向量\( \vec{a} \) 在x 轴上的分量为2，在y 轴上的分量为3，可以表示为\( \vec{a} = (2, 3) \)。
2.2 三维向量的坐标表示介绍三维向量的坐标表示方法，即用(x, y, z) 表示一个三维向量，其中x 表示向量在x 轴上的分量，y 表示向量在y 轴上的分量，z 表示向量在z 轴上的分量。
举例说明如何求解一个三维向量的坐标表示，例如给定向量\( \vec{b} \) 在x 轴上的分量为4，在y 轴上的分量为5，在z 轴上的分量为6，可以表示为\( \vec{b} = (4, 5, 6) \)。
第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义解释向量的数量积（点积）的定义，即两个向量\( \vec{a} \) 和\( \vec{b} \) 的数量积等于它们对应分量的乘积之和。
给出数量积的数学表达式，对于二维向量\( \vec{a} = (a_x, a_y) \) 和\( \vec{b} = (b_x, b_y) \)，它们的数量积为\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y \)。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
高中数学新北师大版精品教案《平面向量数量积的坐标表示》
平面向量数量积的坐标表示勉县第二中学数学组：唐榕教学目标：1、知识与技能：学会用平面向量数量积的坐标表示，会进行数量积的运算过程与方法；掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及解决一些简单问题；2、过程与方法:实验观察，自主探究3、情感态度与价值观：通过对平面向量数量积的实际意义的理解，体会知识来源于实践并用于实践的辩证唯物主义观，进而体会数学与现实世界的联系。
教学重点：平面向量数量积的坐标运算教学难点：平面线路数量积、模、夹角的计算教学过程：一、复习回顾1、数量积的定义：θa=⋅babcos2θ叫做b在a方向上的投影3、数量积的几何意义：ba⋅等于a于b在aθ的乘积.4、数量积的重要性质：设a、b是非零向量（1）0=⋅⇔⊥b a b a（2）当a 与b 同向时，b a =⋅当a 与b 反向时，b a =⋅特别的，a a =⋅==（3）夹角公式：ba =θcos（4≤5、数量积的运算律：（1）交换律：a b b a ⋅=⋅（2）数乘结合律：()()b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ 其中R ∈λ（3）分配律：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+6、对任意向量a 、b ，有下面的结论：（1）()2222b b a a b a +⋅+=+；（2）()()22b a b a b a -=-+.二、讲授新课1、思考：在直角坐标系中，已知两个非零向量()11,y x a =，()22,y x b =，如何用a 与b 的坐标表示b a ⋅？j y i x b j y i x a 2211,+=+=()()22112212212211j y y i j y x j i y x i x x jy i x j y i x b a +⋅+⋅+=++=⋅ ()22y x B y ()11,y x A 0,1=⋅=⋅=⋅=⋅i j j i j j i i b ja x2121y y x x b a +=⋅i结论：两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积之和。
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示及模夹角教案章节：一、向量数量积的概念1. 引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的定义及几何意义。
2. 讲解向量数量积的计算公式，引导学生理解坐标表示下的数量积运算。
二、向量数量积的坐标表示1. 讲解向量坐标的概念，让学生掌握向量坐标的表示方法。
2. 推导向量数量积的坐标表示公式，并通过实例让学生熟悉坐标表示下的数量积运算。
三、向量的模1. 引入向量模的概念，让学生了解向量模的定义及其重要性。
2. 讲解向量模的计算方法，引导学生掌握坐标表示下的向量模运算。
四、向量的夹角1. 引入向量夹角的概念，让学生了解向量夹角的定义及其几何意义。
2. 讲解向量夹角的计算方法，引导学生掌握坐标表示下的向量夹角运算。
五、数量积、模、夹角的关系1. 讲解向量数量积、模、夹角之间的关系，让学生理解三者之间的内在联系。
2. 通过实例让学生掌握如何利用数量积、模、夹角之间的关系解决问题。
教学目标：1. 理解向量数量积的概念及其几何意义。
2. 掌握向量数量积的坐标表示及运算方法。
3. 熟悉向量的模及其计算方法。
4. 掌握向量的夹角及其计算方法。
5. 理解向量数量积、模、夹角之间的关系，并能应用于实际问题。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量数量积、模、夹角的概念及计算方法。
2. 利用多媒体辅助教学，展示向量数量积、模、夹角的图形表示。
3. 通过例题讲解，让学生熟悉坐标表示下的向量数量积、模、夹角运算。
4. 组织学生进行小组讨论，探讨向量数量积、模、夹角之间的关系。
5. 布置课后习题，巩固所学知识。
六、数量积的性质及应用1. 讲解数量积的性质，包括交换律、分配律、结合律等。
2. 引导学生了解数量积在几何中的应用，如求解向量构成的平行四边形的面积。
七、模的性质及应用1. 讲解模的性质，包括非负性、单调性等。
2. 引导学生了解模在几何中的应用，如求解向量所在直线的倾斜角。
八、夹角的性质及应用1. 讲解夹角的性质，包括范围、平分线等。
2022年精品 《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》优秀教案
平面向量数量积平面向量数量积的坐标表示、模、夹角〔刘季梅〕一、教学目标〔一〕核心素养本节课是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算，它把向量的长度和三角函数联系了起来，这为解决有关的几何问题提供了方便，特别为解决线段垂直问题提供了有效的方法，不仅它自身有很丰富的内容，而且在数学、物理等学科中应用十分广泛，所以也是高中数学的一个重要概念通过本节课的学习，学生应了解尝试观察、归纳、类比、联想和数形结合等数学思想方法〔二〕学习目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行相关计算．2．掌握向量的模、平面上两点间的距离公式的坐标表示．3．掌握两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．〔三〕学习重点1．平面向量数量积的坐标表示．2．两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．〔四〕学习难点1．平面向量数量积的坐标表示的理解．2．平面向量数量积的应用．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务〔1〕读一读：阅读教材第106页至107页，填空：①两个非零向量，，那么ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．②向量，那么，其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．③，，那么，④两个非零向量，，那么．⑤两个非零向量，，是它们的夹角，那么．2．预习自测向量，，〔1〕____________，____________；〔2〕____________，____________，____________；〔3〕假设，那么____________；〔4〕____________，____________．【答案】〔1〕1，4；〔2〕，，；〔3〕1；〔4〕2,1；-8,16．〔二〕课堂设计1．知识回忆〔1〕两个非零向量，，那么ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．〔2〕向量，那么，其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．〔3〕，，那么，〔4〕两个非零向量，，那么．〔5〕两个非零向量，，是它们的夹角，那么．2．问题探究探究一平面向量数量积的坐标表示●活动①引出平面向量数量积坐标表示的概念〔讨论后举手答复〕〔1〕设单位向量，分别与平面直角坐标系中的轴、轴方向相同，O为坐标原点，假设向量，那么向量的坐标是，假设向量a=1，-2，那么向量a可用，表示为．〔2〕，，且，，那么ab= ．〔3〕两个非零向量，，怎样用a与b的坐标来表示ab呢？的坐标是：〔3，2〕，可以将a的起点平移至坐标原点，那么a可用，表示为；根据向量数量积的运算律和垂直向量数量积为0，得：ab=；观察第〔2〕问的计算过程，不难发现两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和∴ab=．【设计意图】通过学生互相讨论，教师设计问题的方式引导学生探索后得出平面向量数量积坐标表示的概念．●活动②平面向量垂直的坐标表示〔口答〕学习了平面向量数量积的坐标表示，请同学们思考当两个非零向量和垂直的充要条件更进一步可以怎样描述？【设计意图】稳固向量数量积的坐标表示，提炼两向量垂直的坐标表示这一重要的向量数量积的性质．探究二平面向量数量模〔长度〕的坐标表示●活动①平面向量的模〔长度〕的坐标表示〔举手答复〕向量，如何用向量的坐标表示的模？因为，所以．其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．【设计意图】通过设计问题的方式引导学生得出平面向量的模〔长度〕的坐标表示．●活动②平面向量的模〔长度〕的坐标表示〔口答〕原点，点，，那么如何用两点的坐标表示向量的模长？因为，所以．其含义是：向量的模等于两点之间的距离．【设计意图】通过设计问题的方式引导学生得出平面向量的模〔长度〕的坐标表示．●活动③平面向量数量积的性质的坐标表示〔举手答复〕两个非零向量，，为a与b的夹角．1当a与b同向时，，_____________________；2当a与b反向时，，_____________________；3____________________________________；4设为与向量同向的单位向量，那么向量〔___________，___________〕．；；；由〔〕．其中性质〔3〕中是柯西不等式．【设计意图】稳固平面向量数量积的性质，并会用向量的坐标表示．探究三平面向量数量夹角和投影的坐标表示●活动①平面向量夹角的坐标表示〔举手答复〕设a与b是两个非零向量，，，为a与b的夹角，那么a与b的夹角的余弦值用向量的坐标如何表示？向量b在向量a方向上的投影的坐标表示？；b在向量a方向上的投影是．【设计意图】稳固平面向量数量积公式变形求向量夹角余弦值和求投影的性质，并会用向量的坐标表示．●活动②稳固根底，检查反应例1，，求，a与b的夹角θ．【知识点】向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示．【解题过程】；；；∴，又∵，∴．【思路点拨】利用向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示公式．【答案】；；；a与b的夹角为．同类训练，，a与b的夹角θ，求．【知识点】向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示．【解题过程】；；；∴．【思路点拨】利用向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示公式．【答案】；．【设计意图】稳固平面向量数量积公式，向量的模的坐标表示和两个向量夹角余弦值的坐标表示，并会进行具体计算．●活动③强化提升，灵活应用例2A1，2，B2，3，C-2，5，试判断的形状，并给出证明．【知识点】平面向量垂直的坐标表示．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，在平面直角坐标系中标出A1，2，B2，3，C-2，5三点，发现为是以∠A为直角的直角三角形．证明如下：∵，，∴，∴，∴为直角三角形【思路点拨】作图判断三角形形状，并找到垂直的两个线段，表示两线段对应向量，然后求两向量的坐标数量积为0，从而到达证明的目的．【答案】为直角三角形，证明见解答过程．同类训练在中，设，，且是直角三角形，求的值．【知识点】平面向量垂直的坐标表示．【数学思想】分类讨论【解题过程】〔1〕假设，，∴，即，解得：；〔2〕假设，，，∴，即，解得：；〔3〕假设，，∴，即，解得：．综上：或或．【思路点拨】对三角形的三个角分别为直角进行分类讨论求值．【答案】或或．【设计意图】熟练平面向量垂直的坐标表示的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．3课堂总结知识梳理〔1〕两个非零向量，，那么ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．〔2〕向量，那么，其含义是：向量的模〔长度〕等于向量坐标平方和的算术平方根．〔3〕，，那么，〔4〕两个非零向量，，那么．〔5〕两个非零向量，，是它们的夹角，那么．重难点归纳1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行相关计算．2．掌握向量的模、平面上两点间的距离公式的坐标表示．3．掌握两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．〔三〕课后作业根底型自主突破1．，，那么〔〕A．23B．57 C．63 D．83【知识点】向量数量积的坐标表示．【解题过程】．【思路点拨】熟练向量数量积的坐标表示和运算．【答案】D．2．，，那么a在b方向上的投影为〔〕A．B．C．D．【知识点】向量坐标表示投影，向量数量积的坐标表示，向量坐标表示模长．【解题过程】．【思路点拨】会用向量坐标表示投影．【答案】A．3．，，且恰好与垂直，那么实数的值为〔〕A．1B．C．1或D．以上均不对【知识点】向量的坐标运算，向量垂直的性质．【解题过程】，∵与垂直，∴，即：，解得：，经检验，满足条件．【思路点拨】向量加法和数乘的坐标运算，向量垂直的性质．【答案】B4．点，，，，那么四边形为〔〕A．正方形B．菱形C．梯形D．矩形【知识点】向量垂直和平行．【解题过程】∵，，∴．∴四边形为平行四边形．又∵，∴，又∵，∴四边形为矩形．【思路点拨】用向量的坐标判定向量的平行和垂直．【答案】D．5．点为坐标原点，向量，，在轴上有一点，使有最小值，那么点的坐标是〔〕A．B．C．D．【知识点】向量数量积，函数最值．【解题过程】设点的坐标为，那么，．故，当时，使有最小值1．【思路点拨】设点坐标并表示数量积，最后求二次函数最值．【答案】C6．假设，，，那么___________．【知识点】向量数量积运算律和坐标表示．【解题过程】∵，∴．【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律．【答案】．能力型师生共研7．假设平面向量与的夹角为，且，那么___________．【知识点】向量模长的坐标表示，共线反向向量．【解题过程】由题知：与共线且方向相反，所以．设，那么，即，∵，∴，即．解得：〔正值舍去〕．所以．【思路点拨】设向量坐标，根据条件列方程组求解，明确反向向量和向量模长的坐标特征．【答案】．8．向量，．〔1〕假设，求的值；〔2〕假设的值不超过，求的取值范围．【知识点】向量垂直和向量的模长．【解题过程】〔1〕∵，∴，即．解得：．〔2〕，∵，∴．解得．【思路点拨】明确垂直向量的坐标性质，向量坐标表示模长．【答案】1 =5,2探究型多维突破9．的三个顶点坐标分别为，，，且于点．〔1〕求点的坐标；〔2〕求的面积．【知识点】点表示向量，向量垂直，三角形的面积．【数学思想】方程的思想【解题过程】〔1〕设，那么，，．因为共线，所以．又因为，所以解得∴点的坐标为．〔2〕由〔1〕，知，，，所以．【思路点拨】设点的坐标，根据垂直向量的坐标性质和三点共线得到方程组，解方程组得点的坐标．【答案】〔1〕点的坐标为；〔2〕．10．设平面向量，，与不共线．〔1〕求证：向量与垂直；〔2〕假设向量与的模相等，求角．【知识点】向量垂直，向量数量积的运算律．【解题过程】〔1〕由，，∵，且与均为非零向量，∴向量与垂直．〔2〕由：．化简，得，所以．所以．又因为，所以或．【思路点拨】明确内积为0的两向量垂直．明确模长相等的向量的模长平方也相等，从而运用向量数量积的运算律，化简得到的方程到达求解的目的．【答案】〔1〕证明见解题过程；〔2〕或．自助餐1．a，b为平面向量，，，那么夹角的余弦值等于〔〕A．B．C．D．【知识点】向量坐标，向量夹角．【数学思想】方程组消元的思想．【解题过程】∵，∴，故，∴．【思路点拨】向量坐标的加减法运算，向量夹角余弦值的坐标表示．【答案】C．2．向量，，，假设向量满足，，那么等于〔〕A．B．C．D．【知识点】向量平行和垂直．【数学思想】方程的思想．【解题过程】设，由得，①；由得，②；联立①②得，，所以．【思路点拨】设向量的坐标，根据向量平行和垂直的坐标特征列方程组求解．【答案】D3．，那么与a垂直的单位向量的坐标为________．【知识点】向量垂直，单位向量．【数学思想】方程的思想．【解题过程】设所求向量为，由为单位向量得：，①；由得，②；联立①②得，；或，．所以与a垂直的单位向量的坐标为或．【思路点拨】设所求向量的坐标，根据单位向量和向量垂直的坐标特征列方程组求解．【答案】或．4．在中，，点在边上，那么的最小值为________．【知识点】向量数量积的最值．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】以的边为轴，边上的中线为轴建立平面直角坐标系，那么，．设，，∴，，所以，当时取最小值．【思路点拨】建立适宜的直角坐标系，设未知元表示向量内积求最值．【答案】5．a＝1,2，b＝－2，n，a与b的夹角是45°．〔1〕求b；〔2〕假设c与b同向，且a与c－a垂直，求c．【知识点】向量的夹角，同向向量和垂直向量．【解题过程】1a·b＝2n－2，|a|＝错误!，|b|＝错误!，∴co 45°＝错误!＝错误!，∴3n216n12＝0 n>1，∴n＝6或n＝－错误!舍，∴b＝2,6．2由1知，a·b＝10，|a|2＝同向，故可设c＝λbλ>0，ca·a＝0，∴λb·a|a|2＝0，∴λ＝错误!＝错误!＝错误!，∴c＝错误!b＝-1，3．【思路点拨】明确向量的夹角坐标公式，向量同向和垂直的性质．【答案】〔1〕b＝2,6 ；〔2〕c＝-1，36．平面向量a＝错误!，－1，b＝〔1〕证明：a⊥b；〔2〕假设存在不同时为零的实数和t，使c＝a＋t2－3b，d＝－a＋t b，且c⊥d，试求函数关系式＝ft．【知识点】向量垂直．【数学思想】函数的思想．【解题过程】〔1〕∵a·b＝错误!×错误!－1×错误!＝0，∴a⊥b．〔2〕∵c＝a t2－3b，d＝－a＋t b，且c⊥d，∴c·d＝[a＋t2－3b]·－a＋t b＝－a2＋tt2－3b2＋[t－t2－3]a·b＝0，又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4＋t3－3t＝0，∴＝ft＝错误!t≠0．【思路点拨】明确向量垂直的判定和性质．【答案】〔1〕证明见解题过程；〔2〕＝ft＝错误!t≠0．。
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案 最新!!
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
一．复习旧知，探究引入
1．判断下列命题真假：
（1）若 ，则 中至少有一个为 ；
（2）若 ，且 ，则 ；
（3） ；
（4）若 ，且 ；
（5）若 ，坐标表示 是怎样呢？
由于 分别是x轴，y轴方向的单位向量，则 ， ，
， ．
（下面的推导由学生完成）
( ) (两种方法)
三．小结：
1．平面向量数量积的坐标公式；
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式；
3．夹角的余弦公式；
4．向量垂直的坐标表示的条件，复习向量平行的坐标表示的条件．
作业
Ｐ119习题2.4 /５、9、10、11
后记
教学内容：§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目标
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及向量长度的坐标表示公式，能用两向量的坐标求两向量的夹角；
2．掌握平面向量垂直的坐标表示的条件．
本节重点
平面向量数量积的坐标表示，平面向量垂直的坐标表示的条件
本节难点
平面向量数量积的坐标表示，平面向量垂直的坐标表示的充要条件的灵活应用
二．新课教学
1．数量积的坐标表示
已知 则 ．
2．向量的长度、夹角、垂直的坐标表示
①设 ，则 ， ．
设 则
②
③
摘要与反思
主要内容及板书
3．例题选讲
例1．已知 试判断△ABC的形状，并给出证明．
（P118例5）
例2．设 求 及 间的夹角 （精确到 ）
（P118例6）
练习：Ｐ119练习1，2，3
例３．已知向量 当 垂直时，求实数x的值．
教案平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。
1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。
教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。
2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。
2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。
教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。
3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。
教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。
4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。
5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。
教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。
6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。
平面向量数量积的坐标表示教学设计
5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。
2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。
本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。
由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。
把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。
所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。
二、目标及解析1、目标1）、掌握平面向量数量积的坐标表示2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题3）、掌握向量垂直的条件2、解析：1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。
本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
《平面向量数量积的坐标表示》教案（2）(1)
平面向量数量积的坐标表示教学目标：把握两个向量数量积的坐标表示方式，把握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：向量数量积的坐标表示的应用.教学进程：Ⅰ.课题引入上一节咱们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，若是已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，如何用a和b的坐标表示a·b呢?这是咱们这一节将要研究的问题.Ⅱ.教学新课第一咱们推导平面向量的数量积坐标表示：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y21.平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 2.两向量垂直的坐标表示： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0 ［例1］已知a ＝(1，3 )，b ＝(3 ＋1，3 －1)，那么a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜｜b ｜，再结合夹角θ的范围确信其值. 解：由a ＝(1， 3 )，b ＝(3 ＋1，3 －1)有a ·b ＝3 ＋1＋ 3 (3 －1)＝4，｜a ｜＝2，｜b ｜＝22 .记a 与b 的夹角为θ，那么cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜＝22又∵0≤θ≤π， ∴θ＝π4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确信.［例2］已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x ，y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且｜x a ＋y b ｜＝1. 分析：那个地址两个条件相互制约，注意表现方程组思想. 解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y ) 又(x a ＋y b )⊥a ⇔(x a ＋y b )·a ＝0⇔3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0即25x ＋24y ＝0①又｜x a ＋y b ｜＝1⇔｜x a ＋y b ｜2＝1⇔(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1②由①②有24xy ＋25y 2＝1③将①变形代入③可得：y ＝±57再代入①得：x ＝2435∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=753524y x［例3］在△ABC 中，AB →＝(1，1)，AC →＝(2，k )，假设△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值.解：假设A ＝90°，那么AB →·AC →＝0， ∴1×2＋1×k ＝0，即k ＝－2若B ＝90°，那么AB →·BC →＝0，又BC →＝AC →－AB →＝(2，k )－(1，1)＝(1，k －1) 即得：1＋(k －1)＝0，∴k ＝0若C ＝90°，那么AC →·BC →＝0，即2＋k (k －1)＝0，而k 2－k ＋2＝0无实根， 因此不存在实数k 使C ＝90°综上所述，k ＝－2或k ＝0时，△ABC 内有一内角是直角.评述：此题条件中无明确指出哪个角是直角，因此需分情形讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.［例4］已知：O 为原点，A (a ，0)，B (0，a )，a 为正常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB→(0≤t≤1)，那么OA→·OP→的最大值是多少?解：设P (x ，y )，那么AP →＝(x －a ，y )，AB →＝(－a ，a )，由AP →＝tAB →可有：⎩⎨⎧=-=-at y at a x ，解得⎩⎨⎧=-=aty ata x ∴OP →＝(a －at ，at )，又OA →＝(a ，0)， ∴OA →·OP →＝a 2－a 2t∵a ＞0，可得－a 2＜0，又0≤t ≤1，∴当t ＝0时，OA ·OP →＝a 2－a 2t ，有最大值a 2.［例5］已知｜a ｜＝3，｜b ｜＝2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a ＋5b 与m a －3b 相互垂直？解法：(3a ＋5b )·(m a －3b )＝3m ｜a ｜2－9a ·b ＋5m a ·b －15｜b ｜2＝27m ＋(5m －9)×3×2cos60°－15×4＝42m －87＝0 ∴m ＝8742 ＝2914 时，(3a ＋5b )⊥(m a －3b ).Ⅲ.课堂练习讲义P 82练习1～8. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大伙儿把握两个向量数量积的坐标表示方式，把握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业讲义P 83习题 6，8，9，10平面向量数量积的坐标表示1．在已知a ＝(x ，y ），b ＝(－y ，x )，那么a ，b 之间的关系为 （ ） A.平行B.不平行不垂直 ⊥bD.以上均不对2．已知a ＝（－4，3），b ＝(5，6），那么3|a |2－4a ·b 为 （ ）.83 C3．若a ＝（－3，4），b ＝(2，－1），假设（a －x b )⊥（a －b )，那么x 等于 （ ） A.－23B. 72C.－73D.－744．若a ＝（λ，2），b ＝(－3，5），a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围为 （ ） A.（103 ，+∞）B.［103 ，+∞）C.（－∞，103）D.（－∞，103］5．已知a ＝（－2，1），b ＝（－2，－3），那么a 在b 方向上的投影为 （ ）A.－1313B. 13136．已知向量c 与向量a ＝（ 3 ，－1）和b ＝（1， 3 ）的夹角相等，c 的模为2 ，那么c ＝ .7．若a ＝（3，4），b ＝(1，2）且a ·b ＝10，那么b 在a 上的投影为 . 8．设a ＝（x 1，y 1)，b ＝(x `2，y `2)有以下命题：①|a|＝x12＋y12②b2＝x22＋y22③a·b＝x1x`2＋y1y`2④a⊥b x1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 .9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），（1）求证：AB→⊥AD→；（2）假设四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？11．设向量a，b知足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.平面向量数量积的坐标表示答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(3＋12，3－12)或(－3＋12，1－32) 7．2 8．②9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），（1）求证：AB→⊥AD→；（2）假设四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.（1）证明：∵AB→＝（1，1），AD→＝（－3，3）∴AB→·AD→＝1×3＋1×(－3)＝0，∴AB→⊥AD→.（2）解：∵A BC D为矩形，设C（x，y），∴AB→＝DC→，（1，1）＝（x+1，y－4)∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）.10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？解：∵a－b＝(3－k，－2－k)∴t＝|a－b|＝（3－k）2＋（－2－k）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k ＝12 时，t 取最小值，最小值为522.11．设向量a ，b 知足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |的值.解：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2), ∴|a |＝|b |＝1，∴x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1①3a －2b ＝3(x 1，y 1)－2(x 2，y 2)＝(3x 1－2x 2，3y 1－2y 2), 又|3a －2b |＝3,∴(3x 1－2x 2)2＋(3y 1－2y 2)2＝9, 将①代入化简， 得x 1x 2＋y 1y 2＝13②又3a ＋b ＝3(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(3x 1＋x 2，3y 1＋y 2),∴|3a ＋b |2＝(3x 1＋x 2)2＋(3y 1＋y 2)2＝9(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＋6(x 1x 2＋y 1y 2)＝12, 故|3a ＋b |＝23 .。
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平面向量数量积的坐标表示
一、教材分析
1．本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量
化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了
全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章
重点之一。
2.学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数
量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太
方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，
就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知
发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主
完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实
际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会
进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量
的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，
体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学
生的探究能力、创新精神。
●教学重点
平面向量数量积的坐标表示及应用.
●教学难点
探究发现公式
二、教学方法和手段
1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和
向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数
学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，
其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主
体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生
的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自
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主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我
适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，
合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的
喜悦。
2教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提
高学生的学习兴趣。
三、学法指导
改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。独立思考，自主探索，
动手实践，合作交流等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习
主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。以激发
学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。为了实
现这一目标，本节教学让学生主动参与，让学生动手，动口、动脑。通过思考、
计算、归纳、推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索。具体体现在：1、
通过提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，使学生在自主探究中发现了
结论，推广了命题，使学生感到成果是自己得到的，增强了成就感，培养了学生
学好数学的信心和良好的学习动机。2、通过数与形的充分挖掘，通过对向量平
行与垂直条件的坐标表示的类比，培养了学生数形结合的数学思想，教给了学生
类比联想的记忆方法。
四、教学程序
本节课分为复习回顾、定理推导、引申推广、例题讲析、练习与小结五部分。
复习回顾部分通过两个问题，复习了与本节内容相关的数量积概念，为本节
内容的学习作了必要的铺垫。
定理推导部分通过设问，引出寻求向量的数量积的坐标表示的必要性，引入
课题，并引导学生应用前述知识共同推导出数量积的坐标表示。
引申推广部分，让学生自主推导出向量的长度公式，向量垂直条件的坐标表
示、夹角公式等三个结论，强化了学生的动手能力和自主探究能力。
例题讲析，通过四道紧扣教材的例题的精讲，突出了结论的应用，也起到了
示范作用。