运筹学模型

1 运筹学模型 源于第二次世界大战期间的运筹学研究，有效地解决了如何将有限的资源分配于各项军事活动，以取得最优的战争效果等重大军事决策问题，为盟军取得二战的胜利作出了不可磨灭的贡献。战后，该项技术不但在军事科学上不断发展，在工农业生产、科学实验、工程技术、经济管理和社会科学中都有着广泛的应用和发展。特别是计算机技术的引入，更使得运筹学的研究和应用如虎添翼，一些大规模或超大规模的决策变量和约束条件问题的求解也变成了现实。 运筹学的分支较多，这里我们只介绍线性规划、整数规划、动态规划等方面的运筹学应用和模型，读者通过学习解决这些运筹学问题的思想和方法，而对运筹学模型的建立、应用和求解有更深的认识。

一、 线性规划模型 1．线性规划数学模型的一般形式 例1．农作物的生产安排问题 1）问题的提出 以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表4.1所示 表4.1 社区 可耕地（英亩） 配水量 1 400 600 2 600 800 3 300 375 适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表4.2所示 表4.2 农作物 最大面积（英每英亩用水净收益（元/英 2

亩） 量 亩） 甜菜 600 3 400 棉花 500 2 300 栗子 325 1 100 试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？ 2）假设与分析 决策变量)9,,2,1(jxj分别表示这三个社区三种农作物的种植面积（见表4.3所示）。 表4.3 农作物 社区 1 2 3 甜菜 1x 2x 3x

棉花 4x 5x 6x

栗子 7x 8x 9x

则该问题的线性规划模型为： 目标函数 )(100)(300)(400 max987654321xxxxxxxxxz 约束条件为： 非负性： )9,,2,1( 0ixi

土地约束：

300600400963852741xxxxxxxxx

水资源约束： 375238002360023963852741xxxxxxxxx 3

最大面积约束：325500600987654321xxxxxxxxx 3）模型的建立与求解 用单纯形法或用数学软件包求得其最优解如下表所示：

农作物 社区 1 2 3 甜菜 31133 100 25

棉花 100 250 150 栗子 0 0 0

一般地，线性规划问题的求解过程具有如下的一些共同特征： （1）每一问题都可用一组称之为决策变量的未知数nxxx , ,21来表示相应的活动方案，由于实际问题的要求，这些决策变量通常是非负的。 （2）对决策变量nxxx , ,21，大都存在一定的限制条件（称为约束条件），且这些限制条件一般可用关于决策变量xxx , ,21的一组线性不等式或等式来表示。 （3）有一个追求的目标函数，且目标函数一般可表示为决策变量

nxxx , ,21的线性函数，并由实际问题来决定目标函数应追求最大还是最小。 用数学语言描述，线性规划问题的的数学模型为： 目标函数：

nnxcxcxczMinMax2211)( 约束条件为：







0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111nmnmnmmnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxa, , ,21

 4

简单线性规划问题大都用图解法或单纯形法求解，而复杂线性规划问题可用相应的数学软件包求解，这里，不再详述。 2.应用实例 例2．空气污染管理问题 1) 问题的提出 位于钢城的诺利公司为当地的主要钢铁厂家之一，公司为钢城的繁荣与发展作出了一定的贡献。但现在情况有所改变，由于钢厂对熔炉的排放物未进行管理，致使空气污染破坏了钢城的环境，并危害了当地居民的健康。公司董事会就此作出了明智的决定，指定专门人员与市政官员和人民团体商讨解决空气污染问题，以保证工厂的排放物能达到环保部门的要求。研究发现，造成空气污染的物质主要有三种：微粒、氧化硫及碳化氢，钢厂每年须减少的污染物排放量达到表4.4的要求时，方满足环保的要求。 表4.4 （环保部门的空气清洁标准） 污染物 每年须减少的污染物排放量（百万磅） 微粒 60 氧化硫 150

碳化氢 125

污染物的主要来源为：（1）制造生铁之鼓风炉；（2）炼钢之敞炉。减少污染物排放的有效方法为：（1）增加烟囱高度；（2）在烟囱内安装过滤器；（3）使用优质燃料。这些方法对减少污染虽有帮助（其效果见表4.5），但任一方法的单独使用，均不能达到环保部门的要求，若三种方法同时以最高的标准实施，则工厂的产品成本将陡增，从而使产品失去市场竞争力甚至因此而破产，管理部门因此而忧心忡忡。 5

表4.5（各减污法每年最高可能减少的污染排放量（单位：百万磅）） 污染物

增高烟囱 安装过滤器 使用优质燃料

鼓风炉 敞炉 鼓风炉 敞炉 鼓风炉 敞炉

微 粒 12 9 25 20 17 13

氧化硫 35 42 18 31 56 49

碳化氢 37 53 28 24 29 20

专题组人员经分析知各减污方法中最高减污量之总成本的近似值如表4.6所示。而公司每年可拨出的治污专款也有一底限，试确定该公司是否能实施“空气污染管理”工程。 表4.6（最高减污法之总成本：以百万元为单位） 减 污 法 鼓风炉 敞 炉 增高烟囱 8 10 过 滤 器 7 6 优质燃料 11 9 2）假设与模型的建立 工程实施的关键在于既要确保排污效果能达到环保部门的要求，又要最大限度地降低成本（不超过其所能承受的底限）。由于问题的解决具有组合性，故可

考虑用线性规划模型求解，假设决策变量)6,,2,1(jxj分别表示各减污法中最高成本的比例值（见下表） 6

减污方法 鼓风炉 敞炉 增高烟囱 1x 2x

过滤器 3x 4x

优质燃料 5x 6x

则其目标函数为：65432191167108minxxxxxxz 约束条件为：

125202924285337,6)1,2,j1,(0 1504956311842356013172025912654321654321654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxj

求解得：)1 ,048.0 ,1 ,343.0 ,623.0 ,1(),,,,,(654321xxxxxx 工程造价为： )(159.329111048.0617343.010623.081百万元L。

若问题的最优解3215.9万元未超过公司所能承受的底限，则该治污工程可上马，否则得另谋它法。 例3．饲料配比问题 1) 问题的提出 某公司长期饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中的蛋白质、矿物质、维生素这三种营养成分特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质3g、维生素10mg，该公司能买到五种不同的饲料，每种饲料1 kg所含的营养成分如表4.7所示，每种饲料1kg的成本如表4.8所示，试为公司制定相应的饲料配方，以满足动物生长的营养需要，并使投入的总成本最低。 7

表4.7 饲料 蛋白质（g） 矿物质（g） 维生素（mg） 1 0.3 0.1 0.05 2 2 0.05 0.1 3 1 0.02 0.02 4 0.6 0.2 0.2 5 1.8 0.05 0.08

表4.8 饲 料 1 2 3 4 5 成本（元） 0.2 0.7 0.4 0.3 0.5

2）假设与分析 设)5,4,3,2,1(jxj表示混合饲料中所含的第j种饲料的数量（即决策变量），因每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质3g、维生素10mg，所以)5,4,3,2,1(jxj应满足如下的约束条件







)5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0( 1008.02.002.01.005.0308.02.002.005.01.0708.16.00.10.23.0543215432154321jxxxxxxxxxxxxxxxx

j

因要求配制出来的饲料其总成本最低，故其目标函数为： 543215.03.04.07.02.0 xxxxxzMin 由于约束条件及目标函数均为线性函数，故原问题是一线性规划模型。 3）模型的建立与求解 由上述讨论知，饲料配比问题的线性规划模型为：

543215.03.04.07.02.0 xxxxxzMin，

使如下约束条件成立：