静电场的边值问题

1 静电场的边值问题 1．镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。

2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）

3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（ ），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。

4．（ ）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。

5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ）。 A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变 C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C 6.微分形式的安培环路定律表达式为HJ，其中的J（ ）。 A．是自由电流密度 B．是束缚电流密度 o r Q (1,π/6) Q3

Q1

Q2

C．是自由电流和束缚电流密度 D．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度 7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ ）。

A．一定相同 B．一定不相同 C．不能断定相同或不相同 8.两相交并接地导体平板夹角为，则两板之间区域的静电场（ ）。 A．总可用镜象法求出。 B．不能用镜象法求出。 C．当/n 且n为正整数时，可以用镜象法求出。 D．当2/n 且n为正整数时，可以用镜象法求出。 9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q位于图中（1, π/6）点处，求所有镜像电荷的大小和位置并在图中标出。 10. 两个平行于 XOY 面的极大的金属平板，两平板间的距离为 d ，电位差为 。求两板间的电位及电场分布

11. 两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另有一块电位为 的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘。求两板间的电位分布。

12．四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，管子截面为 ，上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为 ，左侧板上电

位的法向导数为零，即 。求管内的电位分布规律。 13．求导体槽内的电位。槽的宽度在x和z方向都为无穷大，槽由两块T形的导体构成，两块间有一狭缝，外加恒定电压 。

14．一根半径为a，介电常数为 的无限长介质圆柱体置于均匀外电场 中，且与 相垂直。设外电场方向为 轴方向，圆柱轴与z轴相合，求圆柱内、外的电位函数。

15．同心金属球，内外导体半径分别为a和b，内导体电位为 ，外导体电位为 ，空气介质填充，求该球形电容器的电容C

16．均匀电场中置一半径为a的介质球。介质球的介电常数为，球外空气为。球介质球内外的电位分布规律

17．均匀电场中的金属球，一孤立导体金属球，半径为a，置于均匀电场中。金属球为等位体，球内电场等于零。求外电场则为感应电荷的电场与原均匀电场之和，试求球外的电位及电场 18．一个半径为a的导体球壳，沿赤道平面切割出一窄缝，在两半球壳上外加电压。并且使下半球壳的电位为零（接地），上半球壳的电位为。计算球内的电位

19．求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地面平行。导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容

20．两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离位D。求两圆柱间单位长度上的电容

21．一长方形界面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与相绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为，求槽内的电位函数

22．两平行的无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄由y=d到y=b()。上板和薄片保持电位，下板保持零电位求板间电位的解。

设在薄片平面上，从y=0到y=d，电位线性变化，。 提示：应用叠加原理。把场分解成两个场相叠加：一是薄片不存在，两平行板(加电压)的场；一是薄片和两个电位为零的平板间的场。注意两个场叠加后满足题给的边界条件。

23．导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解 24．一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持为零电位，体积内填充密度为的电荷。球体积内的。 提示：假设可以用三维傅里叶级数表示为，并将展成相似的三维傅里叶级数，把 和的展式代入泊松方程：决定系数。 25．一对无限大接地平行导体板。板间有一与z轴平行的线电荷，其位置为(0，d)，求板间的电位函数。

26．矩形槽电位为零，槽中有一与槽平行的直线电荷。求槽内的电位函数

27．在均匀电场中垂直于电场方向放置一导体圆柱，圆柱半径为a。求圆柱外的电位函数和导体表面的感应电荷密度。

28．考虑一介电常数为的无限大的介质，在介质中沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位

29．一个半径为b，无限长的薄导体圆柱面被分割成四分之一圆柱面。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱内部的电位分布

30．一无限长介质圆柱，在距离轴线处，有一与圆柱平行的线电荷。计算空间各部分的电位

31．一无限长导体圆柱，在距离轴线处，有一与圆柱平行的线电荷。计算空间各部分的电位

32．在均匀电场E中放入半径为a导体球，设(1)导体充电至；(2)导体上充电荷量Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 33．无限大介质中外加均匀电场，在介质中有一半径为a的球形空腔，求空腔中的和空腔表面的极化电荷密度(介质的介电常数为)

34．空心导体球壳内、外半径分别为，，球中心放置一偶极子，球壳上的电量为Q。试计算球内外的电位分布和球壳上的电荷分布

35．欲在一半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕(即求绕线密度)？(提示：计算表面电流密度。)

36．一半径R的介质球带有均允极化强度。(1)证明：球内的电场强度是均匀的，等于；(2)证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同， 37．半径为a的接地导体球，离球心处放置一点电荷q。用分离变量法求电位分布

38．一根密度为长为2a线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：对于r>a的点，有。提示：将线电荷分为线元，按点电荷写出r>z的的球坐标的展开式，再积分

39．一半径a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上。环上总电荷量为Q。证明：空间任意点电位为 40．一点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？

41．一电荷量为q质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h。求q的值以使带电体上受到的静电力与重力相平衡(设，h，0.02m)。

42．(1)证明：一个点电荷q和一个带有电荷量Q半径为R的导体球之间的力是

，式中D是q到球心的距离。 (2)证明：当q与Q同号，且成立时F表现为吸引力。 43．两点电荷(+Q)和(-Q)位于一个半径为a的导电求直径的延长线上，分别距球心D和(-D)。

(1)证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极距为； (2)令D和Q分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场。 44．一与地面平行架设的圆界面导线，半径为a，悬挂高度为h。证明：导线与

地间的单位长度上的电容为。 45．上题中设导线与地间电压为U。证明：地对导线单位长度的作用力为

。提示：利用虚位移法。 46．一个二维静电场，电位函数为，边界条件为上100V下50V左0V右100V，将正方形场域分成20个正方形网格。有16个内部网格点。假定16个网格点的初始值都定为零，试用超松弛法确定16个内网格点的电位值。(本题最好在计算机上求解)

47．电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为ρ，两圆柱半径分别为a和b，轴线相距c，且a+c＜b，如图所示，求空间各区域的电位移和电场强度。

48．半径为a的球中充满密度ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为 其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。 49．验证下列标量函数在它们各自坐标中满足▽2φ=0 求：（1）sin(kx)sin(ly)exp(-hz) 其中h2＝k2＋l2； （2）rn［cos（nφ）＋Asin（nφ）］圆柱坐标； （3）r－ncos（nφ） 圆柱坐标； （4）rcosφ球坐球； （5）r－2cosφ球坐球。 50．已知y＞0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些可能是电位函数解？ （1）expycoshx； （2）exp(-y)cosx； （3） ； （4）sinxsinysinz 。 51．中心位于原点，边长为L的电介质立方体极化强度矢量 求：（1）计算面和体束缚电荷密度； （2）证明总的束缚电荷为零。 52．平行板电容器的长、宽为a和b，板间距离为d。电容器的一半厚度(0～d/2)用介电常数为ε的电介质填充。

（1）板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； （2）若已知极板上的自由电荷总量Q，求此时极间电压和束缚电荷； （3）求电容器的电容量。 53．在介电常数ε的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各个空腔中的E 和D； （1）平行于E的针形开腔； （2）底面垂直于E的薄盘形空腔；