季节时间序列模型

第七章季节性时间序列分析方法

由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。

本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。

§1 简单随机时序模型

在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。

一、季节性时间序列

1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。

注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）

2．处理办法：

（1）建立组合模型；

（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）

对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。

启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。

定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。

二、 随机季节模型

1．含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 AR （1）：t t S t S t t e W B e W W =-⇔+=-)1(11ϕϕ，可以还原为：t t S S e X B =∇-)1(1ϕ。 MA （1）：t S t S t t t e B W e e W )1(11θθ-=⇔-=-，可以还原为：t S t S e B X )1(1θ-=∇。 2．形式：广而言之，季节型模型的ARMA 表达形式为

t S t S e B V W B U )()(= （1）

这里，⎪⎩

⎪

⎨⎧----=----=∇=qS

q S S S pS P S S S t

d S t B V B V B V B V B U B U B U B U X W 2212211)(1)()(平稳。

注：（1）残差t e 的内容；（2）残差t e 的性质。

§2 乘积季节模型

一、 乘积季节模型的一般形式

由于t e 不独立，不妨设),,(~m d n ARIMA e t ，则有

t t d a B e B )()(Θ=∇φ （2）

式中，t a 为白噪声；n n B B B B ϕϕϕφ----= 22111)(；m m B B B B θθθ----=Θ 22111)(。 在（1）式两端同乘d B ∇)(φ，可得：

t S t d S t D

S d S t d S a B B V e B B V X B U B W B U B )()()()()()()()(Θ=∇=∇∇=∇φφφ （3）

注：（1）这里t D

S

S X B U ∇)(表示不同周期的同一周期点上的相关关系；t d X B ∇)(φ则表示同一周期内

不同周期点上的相关关系。二者的结合就能同时刻划两个因素的作用，仿佛是显像管中的电子扫描。

（2）从结构上看，它是季节模型与ARIMA 模型的结合形式，称之为乘积季节模型，阶数用

S q D p m d n ),,(),,(⨯来表示。

（3）将乘积季节模型展开便会得到一般的ARIMA 模型。例如：t S t a B V B X B )1)(1()1(11--=-θ，可以展开为t S S t a B V B V B X B )1()1(11111++--=-θθ，此时也有)1,1,0(~+S ARIMA X t ，并且其中有许多系数为0。但其参数并不独立。所以尽管模型的阶数可能很高，然而真正独立的参数不多，我们称这类模型为疏系数模型（带有一定约束条件的疏系数模型）。

二、 常用的两个模型

1．t t a B B X B B )1)(1()1)(1(1212112θθ--=-- 类型为：S )1,1,0()1,1,0(⨯ （4） 2．t t a B B X B )1)(1()1(1212112θθ--=- 类型为：S )1,1,0()1,0,0(⨯ （5）

三、 乘积季节模型与ARIMA 模型的关系

我们可以将乘积季节模型

t S t d S t D

S d S t d S a B B V e B B V X B U B W B U B )()()()()()()()(Θ=∇=∇∇=∇φφφ （3）

展成ARIMA 模型形式。

例如，t S t a B V B y B )1)(1()1(11--=-θ是)1,0,0()1,1,0(⨯季节模型，将式子的右边展成：

t S j j

j t S S t a B a B

V B V B y B )1()1()1(1

1

*1

1111∑+=+-=+--=-θθθ （6）

这是一个)1,1,0(+S 阶ARIMA 模型，但是其参数不是独立的，有下面的约束关系

11*

11**1*21*1,,0,V V S S S θθθθθθθ-======+- （7）

尽管模型的阶数很高，然而真正独立的参数并不多，有许多参数取值为零