人教版高中数学,等比数列的前n项和(一)

人教版高中数学同步练习

§2.5 等比数列的前n 项和(一)

课时目标

1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．

2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．

1．等比数列前n 项和公式：

(1)公式：S n ＝⎩⎨

⎪⎧

a 1(1－q n

)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)

na 1 (q ＝1)

.

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．

2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 1

1－q

(1－q n )＝A (q n －1)．其中

A ＝a 1

q －1

.

3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．

一、选择题

1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2

等于( )

A ．11

B ．5

C ．－8

D ．－11 答案 D

解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，

∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25

)

a 1(1－22)

＝－11.

2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10

S 5

等于( )

A ．－3

B ．5

C ．－31

D ．33 答案 D

解析 由题意知公比q ≠1，S 6

S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)

1－q

＝1＋q 3＝9，

∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)

1－q

＝1＋q 5

＝1＋25

＝33.

3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4

a 2

等于( )

A ．2

B ．4

C.152

D.172 答案 C

解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2

q

＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，

得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152

. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4

)

1－q ，a 2＝a 1q ，

∴S 4a 2＝1－q 4

(1－q )q ＝152

. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )

A.152

B.314

C.334

D.172 答案 B

解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.

∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1

q

＋1＝7，

即6q 2

－q －1＝0.

故q ＝12或q ＝－1

3(舍去)，

∴a 1＝1

q

2＝4.

∴S 5＝4(1－125)

1－12

＝8(1－125)＝31

4.

5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．2 答案 C

解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －

1＋k )

＝3n －3n －1＝2·3n －

1.

由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.

6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )

A ．514

B ．513

C ．512

D ．510 答案 D

解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，

得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2

＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝2

q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝16q ＝12

. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1

＝29

－2＝510.

二、填空题

7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －

1＋t ，则t ＝________.

答案 －1

3

解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，

又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－1

3

.

8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3

解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q

⇒q 3

＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．

∴a 4＝a 1·q 3

＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 答案 10

解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q

1－q

，

∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －

1， ∴n ＝10.

10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.

答案 2n －

1

解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，

∴a n ＝2n －

1，n ∈N *. 三、解答题

11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .

解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1a n ＝128，a 1＋a n

＝66，

得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，

a n ＝2，① 或⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，a n ＝64.② 将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q

，可得q ＝1

2，

由a n ＝a 1q n －

1可解得n ＝6.

将②代入S n ＝a 1－a n q

1－q

，可得q ＝2，

由a n ＝a 1q n

－1

可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝1

2

或2.

12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．

(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)

2

.

(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，

xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋

1，

∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n

)1－x

－nx n ＋1.

∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋

1

1－x

.

综上可得S n ＝