【重磅】数学必修2直线与方程典型例题(精)
第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1．1倾斜角与斜率
【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】
题型一求直线的倾斜角
例1已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）.
A.60°
B.30°
C.60°或120°
D.30°或150° 变式训练：
设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为（）。
A.45α+?
B.135α-?
C.135α?-
D.当0°≤α＜135°时为45α+?，当135°≤α＜180°时，为135α-?
题型二求直线的斜率
例2如图所示菱形ABCD 中∠BAD =60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点22(2,3)A m m +-,2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.
题型三直线的倾斜角与斜率的关系
例3右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（）. A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 拓展一三点共线问题
例4已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值． 变式训练:
若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（）.
A ．4,5a b ==
B ．1b a -=
C ．23a b -=
D ．23a b -= 拓展二与参数有关问题
例5已知两点A (-2,-3),B (3,0),过点P (-1,2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练：
已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展三利用斜率求最值
例6已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x
的最大值与最小值。
变式训练：利用斜率公式证明不等式：(0a m a
a b b m b
+><<+且0)m >
3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定
2.两条直线垂直的判定（注意垂直与R 轴和R 轴的两直线）： 【典型例题】
题型一两条直线平行关系
例1已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，5
2
），试判
断1l 与2l 是否平行？
变式训练：经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（）.
A ．4
B ．1
C ．1或3
D ．1或4 题型二两条直线垂直关系
例2已知ABC ?的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．
变式训练：（1）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？ （2）直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 . 题型三根据直线的位置关系求参数
例3已知直线1l 经过点A(3,a)、B （a-2,-3）,直线2l 经过点C （2，3）、D （-1，a-2）, （1）如果1l //2l ，则求a 的值；（2）如果1l ⊥2l ，则求a 的值
题型四直线平行和垂直的判定综合运用
例4四边形ABCD 的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.
变式训练：已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ． 探点一数形结合思想
例5已知过原点O 的一条直线与函数R =log 8R 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作R 轴的平行线与函数R =log 2R 的图象交于C 、D 两点.
（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上.（2）当BC 平行于R 轴时，求点A 的坐标. 探点二分类讨论思想
例6ABC ?的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ?为直角三角形，求m 的值.
3.2直线的方程 3.2.1直线的点斜式方程
【知识点归纳】
1.直线的点斜式方程：
2.直线的斜截式方程： 【典型例题】
题型一求直线的方程
例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.
例2倾斜角是135，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 变式训练：
1.已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为
2.已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程.
3.将直线1y x =+-绕它上面一点（115°，得到的直线方程是 .
题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题
例3已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在
y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。
探究一直线恒过定点或者象限问题 例4.已知直线31y kx k =++.
（1）求直线恒经过的定点；
（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.
探究二直线平移
例5已知直线l ：R=2R-3，将直线l 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________
3.2.2直线的两点式方程
【知识点归纳】
1.直线的两点式方程：
2.直线的截距式方程： 【典型例题】
题型一求直线方程
例1已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程. 变式训练：
1.已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（）.
A ．425x y +=
B ．425x y -=
C ．25x y +=
D ．25x y -= 2.已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（）. A.234x y -= B.230x y -= C.324x y -= D.320x y -= 例2求过点(3,2)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 变式训练：已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为 题型二直线方程的应用
例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用R （元）是行李重量R （千克）的一次函数，其图象如图所示.
（1）求R 与R 之间的函数关系式，并说明自变量R 的取值范围； （2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？
探究一直线与坐标轴围成的周长及面积
例4已知直线l 过点(2,3)-，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l 的方程．
探究二有关光的反射 例5光线从点A （－3，4）发出，经过R 轴反射，再经过R 轴反射，光线经过点B （－2，6），求射入R 轴后的反射线的方程.
变式训练：已知点(3,8)A -、(2,2)B ，点P 是R 轴上的点，求当AP PB +最小时的点P 的坐标．
3.2.3直线的一般式方程
【知识点归纳】 1．直线的一般式：
2．直线平行与垂直的条件： 【典型例题】
题型一灵活选用不同形式求直线方程
例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是－1
2
，经过点A （8，－2）；（2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；
（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是3
2
,－3；（4）经过两点1P （3，－2）
、2P （5，－4）. 题型二直线不同形式之间的转化
例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)A B --. 题型三直线一般式方程的性质
例3直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?
（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与R 轴相交；（3）只与R 轴相交；（4）是R 轴所在直线；（5）是R 轴所在直线
.
（千克）
变式训练：已知直线:5530l ax y a --+=。
（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围。
题型四运用直线平行垂直求参数
例4已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：
（1）12l l ⊥；（2）12//l l . 变式训练：（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；
（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 题型五综合运用
例5已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：
（1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.
3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 3.3.2两点间的距离
【知识点归纳】
1.两条直线的焦点坐标：
2.两点间的距离公式： 【典型例题】
题型一求直线的交点坐标
例1判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. （1）直线l 1:2R －3R +10=0,l 2:3R +4R －2=0；（2）直线l 1:1nx y n -=-,l 2:2ny x n -=. 题型二三条直线交同一点
例2若三条直线2380,1020x y x y kx y ++=--=-+=，相交于一点，则k 的值等于 变式训练：1.设三条直线：21,23,345x y x ky kx y -=+=+=交于一点，求k 的值 2.试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程. 题型三求过交点的直线问题
例3求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.
变式训练：已知直线l 1:2R -3R +10=0,l 2:3R +4R -2=0.求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3:3R -2R +4=0垂直的直线l 的方程. 题型四两点间距离公式应用
例4已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为 变式训练：
在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程. 题型五三角形的判定
例5已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ?的类型． 探究一直线恒过定点问题
例6已知直线(2)(31)1a y a x -=--.求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.
变式训练：若直线l ：R ＝kR 2R ＋3R －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.
探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）
例7直线2R －R －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值. 变式训练：已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．
3.3.3点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离
【知识点归纳】
1.点到直线的距离：
2.两条平行间直线的距离：
拓展：点关于点、直线对称点的求法 【典型例题】
题型一利用点到直线距离求参数
例1已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（）.
A B C 1 D 1 题型二利用点到直线距离求直线的方程
例2求过直线1110
:33
l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.
变式训练：
直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是 题型三利用平行直线间的距离求参数
例3若两平行直线3210x y --=和60x ay c ++=之间的距离为
13，求2
c a
+的值. 变式训练：两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（）.
A.213
B.1
13
C.126
D.526
题型四利用平行直线间的距离求直线的方程
例4与直线:51260l x y -+=平行且与l 的距离2的直线方程是 题型五点、直线间的距离的综合运用
例5已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．
探究一与直线有关的对称问题
例6△ABC 中，(3,3),(2,2),(7,1)A B C --.求∠A 的平分线AD 所在直线的方程. 变式训练：1.与直线2360x y +-=关于点（1，-1）对称的直线方程是
2．求点A （2，2）关于直线2490x y -+=的对称点坐标 探究二与距离有关的最值问题
例7在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.
变式训练：在直线:310l x y --=上求一点P ，使得： （1）P 到A （4，1）和B （0，4）的距离之差最大。 （2）P 到A （4，1）和C （3，4）的距离之和最小。
2015高中数学必修4第三章经典习题含答案
第三章经典习题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150 分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．sin 2 π12－cos 2 π12的值为( ) A ．－1 2 B.1 2 C ．－3 2 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－(cos 2 π12－sin 2 π12)＝－cos π6＝－32. 2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π [答案] B [解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π 2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π 2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429 D.79
[答案] C [解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝42 9. 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.13 [答案] D [解析] tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β＝3－43 1＋3× 43＝1 3. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋2 3 [答案] A [解析] 原式＝sin 2 15°＋cos 2 15°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝5 4. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B [解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π 4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )
高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 高一周末考试数学试题 （必修4部分，2018年3月31 日） 一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1.已知点P （tan ,cos ）在第三象限，则角 在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2 .函数 y sin2x , x R 是（ ） A .最小正周期为 的奇函数 B .最小正周期为 的偶函数 C .最小正周期为2的奇函数 D .最小正周期为2的偶函数 3 .已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么I ； 3b|等于（ ） A . 7 B . 10 C . .13 D . 4 4.已知M 是厶ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a,AC = b ,则向量AM 等 于（ ） 1 A .丄(a — b) 2 1 B . - (b — a) 2 1 C . -( a + b) 2 D . 1 -(a + b) 2 5 .若 是厶ABC 的一个内角，且sin cos 1 ,贝卩 sin 8 cos 的值为（ ) <3 A.— B .仝 C . 三 D. ■■- 5 2 2 2 2 6.已知 —,贝S (1 tan )(1 4 tan ）的值是（ ) A . — 1 B . 1 C . 2 D . 4 7.在ABC 中，有如下四个命题： iuu iuu uu ① AB AC BC ； ② AB BC CA 0 ； ③ 若（AB AC ） （AB AC ） 0，则ABC 为等腰三角形； ④ 若 AC AB 0 ，贝S ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是（ ） B .①③④ D .②④ ）在一个周期内的图象如下, （ ） B . y 2sin （2x ） 3 A .①② C .②③ 8 .函数 y Asin( x 此函数的解析式为 2 A . y 2sin(2x ) 3 必修四 第一章 复习 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a = tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系：2 2sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。 基础练习： 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 1集合 题型1：集合的概念，集合的表示 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．},01|{2 R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212 =+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 题型2：集合的运算 例1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为（ D ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。 解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ?，即2m <； 当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ?，即2m =； 当121m m +<-，即2m >时，由B A ?，得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤； ∴3≤m 变式： 1．设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =，求实数a 的取值范围。 A B C 高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一：任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22 r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1.平方关系： 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x 2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图：五点分别为： 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ?=?=+ 1 数学必修一典型例题 一、集合常见考题： 1．设A={(x ，y)|y=－4x+6}，B={(x ，y)| y=5x －3}，则A ∩B= （ ） A.{1，2} B.{(1，2)} C.{x=1，y=2} D.(1，2) 2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2，3}，N={2，3，5}，则()()N C M C U U I =（ ） A.Φ B. {2，3} C. {4} D. {1，5} 3．如图，I 是全集，M ，S ，P 是I 的三个子集， 则阴影部分所表示的集合是 A ．()M P S I I B ．()M P S I U C ．S I C P)(M ?? D ．S I C P)(M ?? 4.{}{}|||1,||2|3,A x x a B x x A B ?=-<=->=I 且，则a 的取值范围 5．设集合{} 2|2530,M x x x =--=集合{}|1N x mx ==，若M N M =U ，则非零．．实数m 的取值集合．．为 . 6、（本小题满分10分）已知集合A={x| 5 32+-x x ≤0}， B={x|x 2 －3x+2<0}， U=R ， 求（Ⅰ）A ∩B ；（Ⅱ）A ∪B ；（Ⅲ）（uA ）∩B. 7、（本题满分12分） 已知集合() 3,12y A x y x ?-? ==??-?? ，()(){},115B x y a x y =++=，试问当a 取何实数时，A B =?I ． 2 8．（本小题满分12分）已知集合2{|121},{|310}P x a x a Q x x x =+≤≤+=-≤. （1）若3a =，求()R C P Q I ；（2）若P Q ?，求实数a 的取值范围． 二、函数基本概念及性质常见考题 选择填空： 1、 已知1 |1|3)(2 ---=x x x x f ，则函数)(x f 的定义域为（ ） . [0, 3] B. [0, 2)(2, 3] A ? C. (0, 2)(2, 3] D. (0, 2)(2, 3)?? 2、函数y=342-+-x x 的单调增区间是（ ） A.[1，3] B.[2，3] C.[1，2] D.(,2]-∞ 3、下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A. x y ?? ? ??=21 B. x y 1= C. y=－x 3 D. )(log 3x y -= 4． ()x f y =是R 上的偶函数，且()x f 在),0[+∞上是减函数，若()()2-≥f a f ，则a 的取值范围是（ ） A ．2-≤a B ．2≥a C ．22≥-≤a a 或 D ．22≤≤-a 5、R 上的函数()f x 对任意实数,x y 满足()()()f x f y f x y +=+，且(2)4f =，则(0)(2)f f +-的值为（ ） A 、－2 B 、4- C 、0 D 、4 6、3 1 1)(x a a x f x x ?-+=为 函数。（奇偶性） 7、设函数()2 1 2 f x x x =++ 的定义域是[],1n n +（n N ∈），那么()f x 的值域中共含有 个整数． 8、若函数2 34y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44?? - -???? ，则m 的取值集合为 ． 9、若函数()2 121y x ax =-++在区间(),4-∞上递减，则a 的取值范围为 ． 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 数学必修4综合测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的） 1．下列命题中正确的是（ C ） A ．第一象限角必是锐角 B ．终边相同的角相等 C ．相等的角终边必相同 D ．不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ C ） A ． 3 π B ．－ 3 π C ． 6 π D ．－ 6 π 3．已知角α的终边过点()m m P 34， -，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ B ） A ．1或－1 B ． 52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ B ） A.35( , )(, )244 ππ π πU B.5(,)(,)424ππππU C.353(,)(,)2442ππππU D.33(,)(,)244 ππππU 5. 若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）π125 6.已知函数B x A y ++=)sin(??的一部分图象如右图所示，如果 2 ||,0,0π ??< >>A ，则（ ） A.4=A B.1=? C.6 π ?= D.4=B 7. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ） A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = ８．已知== -∈x x x 2tan ,5 4 cos ),0,2 (则π （ ） A ．24 7 B ．24 7- C ．7 24 D ．7 24- 高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ） 4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 人教版数学必修4练习题附答案 高一数学下学期期中练习题 时间：120分钟 满分：150分 第I 卷（选择题, 共60分） 一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.tan 600..1 2.cos(),sin()221 1 .22A A οπ π+=-+-的值（ ） B C Ｄ如果那么的值是（ ） A. - B ． C 3．下列函数中，最小正周期为2π 的是( ) A ．sin y x = B ．sin cos y x x = C ．tan 2x y = D ．cos 4y x = 4.cos 0,sin 20,θθθ><若且则角的终边所在象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限Ｄ.第四象限 5．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1 6．已知1 sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．8 9 D ．8 9- 7．要得到2sin(2)3y x π =-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π 个单位 B ．向右平移23π 个单位 C ．向左平移3π 个单位 D ．向右平移3π 个单位 ABC OA OB OB OC OC OA O ABC ??=?=??8.在中，若，那么点在什么位置（ ） A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 ,1,1,3,a b c a b c a b c ===++9.若向量，两两所成角相等，且则等于（ ） A.2 B.5 C.2或5Ｄ 平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y = +2 2||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos |||| a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （2）若ma mb =，则a b =。 （3）若ma na =，则m n =。 （4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。 （5）若||||a b a b ?=?，则//a b 。 （6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。 题型2.向量的加减运算 必修一典型练习题 一、集合及其运算 1.已知集合{ } {} 1,12 +==+==x y y B x y y A ，则=B A ( ). (A) {}2,1,0 （B ）()(){}2,1,1,0 (C){1 ≥x x } (D)R 2.设集合},1,5,9{},,12,4{2 a a B a a A --=--=若}9{=B A ，求实数a 的值。 3.已知}32/{},322/{<<-=-<<-=x x B a x a x A ，若B A ?，求实数a 的取值范围 4. 已知集合}0|{},0124|{2 2 =-+==-+=k kx x x B x x x A .若B B A = ，求k 的取值范围 二、映射与函数的概念 1．已知映射B A f →: ，R B A == ，对应法则x x y f 2:2 +-= ，对于实数 B k ∈在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 2．}y |y {N },x |x {M 2020≤≤=≤≤=，给出如下图中4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系有 . 3．设函数.)().0(1),0(12 1 )(a a f x x x x x f >?????? ?<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 三、函数的单调性与奇偶性 1.求证：函数x x x f 1 )(+=在),1(+∞∈x 上是单调增函数 2．已知函数()x f y =在),(+∞-∞上是减函数，则()|2|+=x f y 的单调递减区间是（ ） .A ),(+∞-∞ .B ),2[+∞- .C ),2[+∞ .D ]2,(--∞ 3．已知函数a x a ax x f +-+=)31()(2 在区间),1[+∞是递增的，则a 的取值范围是 4．设函数()x f 在)2,0(上是增函数，函数()2+x f 是偶函数，则()1f 、??? ??25f 、?? ? ??27f 的大小关系是 .___________ 5．已知定义域为(－1，1)的奇函数()x f 又是减函数，且()0)9(32 <-+-a f a f , 则a 的取值范围是 三、求函数的解析式 1.已知二次函数)(x f ，满足1)1(,1)2(-=--=f f ，且)(x f 的最大值是8，试求函数解析式。 2. 设函数b a b ax x x f ,()(+= 为常数，且)0≠ab ，满足1)2(=f ，方程x x f =)(有唯一解，求)(x f 的解析式，并求出)]3([-f f 的值. 3.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且2)1(=f ，2 5 )2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式 ⑵用定义证明)(x f 在),1[+∞上是增函数 4.已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数 （1）求b a ,的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2 2<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围 5.（1）已知函数)(x f 为奇函数，且在0≤x 时，x x x f +=2 )(, 求当0>x 时)(x f 的解析式。 （2）已知函数)(x f 为偶函数，且在0≥x 时f(x)=x 2 -x, 求当0 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 精品文档平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】【基本概念与公式】 aAB 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：。或||AB||a或。2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： e1?|e|是单位向量，则。3.单位向量：长度为1的向量。若 00。【0的向量。记作：方向是任意的，且与任意向量平行】4.零向量：长度为 ：方向相同或相反的向量。5.平行向量（共线向量）：长度和方向都相同的向量。6.相等向量 BA?AB?：长度相等，方向相反的向量。。7.相反向量三角形法则：8. CB??AEABAC??BC?ACAB?BC?CD?DEAB（指向被减数）；； 9.平行四边形法则： ba?ba?b,a，以为临边的平行四边形的两条对角线分别为。???b/?a/b?a0??0baa与b与反向。。 当10.共线定理：时，时，同向；当 11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 2 2222)a?b|a?b|?(),ya?x(yx?a||?|a?|a，，则，12.向量的模：若 b?a??cosb|?|a|?|a?b?cos 13.数量积与夹角公式：； |b|a|?| ?b?xy?xya?b?a?b?0?xx?a//ba??yy?0 14.平行与垂直：；22121112 题型1.基本概念判断正误： ma?mba?bcabbca。，则1）若与共线，（与2共线，则与）若共线。（ma?naababnm?都不是零向量。与，则与不共线，则。（4）若（3）若 a//ba?b|||?a?bba|?b|||ba??a?|。。）若6 ，则）若5（，则 （ 题型2.向量的加减运算 精品文档． 精品文档 AC为AB与ADAC?a,BD?bAB?AD?，的和向量，且4.已知，则。 3AC?BCBCABAC??AB。 5.已知点C在线段AB上，且， ,则 5 A C P B 高中数学必修一必修二经典测试题100题（二） 一、填空题：本题共25题 1、设集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =I ，则：a= b= 2、对于一个底边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的 倍 3. 已知函数2log (0)()3 (0)x x x f x x >?=?≤?，则1 [()]4f f 的值是 4. 设1,01,x y a >><<则下列关系正确的是 ○ 1a a y x -->○2 ay ax <○3y x a a <○4 y x a a log log > 5. 函数()23x f x =-的零点所在区间为： 6. 函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则 ()f x 在(,)a b 上是 函数（增或减） 7. 在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为 8. 设点M 是Z 轴上一点，且点M 到A （1，0，2）与点B （1，－3，1）的距离相等，则点M 的坐标是 9、如图所示，阴影部分的面积S 是h (0)h H ≤≤的函数，则该函数的图象 是 . 10. 将直线:210l x y +-=向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线l '，则直线l l '与之间的距离为 11. 函数2 ()lg(21)5 x f x x -= +++的定义域为 12. 已知0>>b a ，则3,3,4a b a 的大小关系是 13.函数3 ()3f x x x =+-的实数解落在的区间是 14.已知(1,2),(3,1),A B 则线段AB 的垂直平分线的方程是 15. 下列条件中,能判断两个平面平行的是 a 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; b 一个平面内的两条直线平行于另一个平面； c 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； d 一个平面内任何一 条直线都平行于另一个平面 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=900 ，P 为△ABC 所在平面外一点 PA ⊥平面ABC ，则四面体P-ABC 中共有 个直角三角形。 17.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 18 .在圆2 2 4x y +=上，与直线43120x y +-=的距离最小的点的坐标为 19．用符号“∈”或“?”填空 高一数学下学期期中练习题 时间：120分钟 满分：150分 第I 卷（选择题, 共60分） 一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.tan 60033 .3.3 3312.cos(),sin()221 1 33 .2222A A οπ π-+=-+-的值（ ） A. -B ．C Ｄ如果那么的值是（ ） A. - B ． C Ｄ． 3．下列函数中，最小正周期为2π 的是( ) A ．sin y x = B ．sin cos y x x = C ．tan 2x y = D ．cos 4y x = 4.cos 0,sin 20,θθθ><若且则角的终边所在象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限Ｄ.第四象限 5．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1 6．已知1 sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21 - C ．8 9 D ．8 9- 7．要得到2sin(2)3y x π =-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π 个单位 B ．向右平移23π 个单位 C ．向左平移3π 个单位 D ．向右平移3π 个单位 ABC OA OB OB OC OC OA O ABC ??=?=??8.在中，若，那么点在什么位置（ ） A 重心 B 垂心 C 内心 D 外心 ,1,1,3,25a b c a b c a b c ===++9.若向量，两两所成角相等，且则等于（ ） A.2 B.5 C.2或5Ｄ.或 第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、考纲要求： 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 二、知识点梳理 1、考点一：角的有关概念 从运动的角度看，角可分为、和 从终边的位置来看，角可分为和轴线角。 2、考点二：弧度的概念与公式 在半径为r的圆中， 3、考点三：任意角的三角函数 三、要点探究 【例1】 已知角α＝2k π－ π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ| ＋???? ??cos θcos θ＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 【例2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3 cos α 的值． 【例3】 扇形AOB 的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 第二节 同角三角函数关系式与诱导公式 一、考纲要求： 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1， sin α cos α ＝tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 二、知识点梳理 1、考点一：同角三角函数基本关系式 ㈠ 平方关系： ㈡商数关系： 2、考点二：诱导公式 三、要点探究 【例1】 已知α∈? ????0，π2且tan ? ????α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋ cos α)＝________. 【例2】 (1)已知cos ????π6＋α＝3 3，求cos ??? ?5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos (α－7π)＝－3 5 ，求sin(3π＋α)·tan ????α－72π的值． 【例3】 在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内 角． 第三节 三角函数的图象与性质 一、考纲要求： 1．画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在??? ?－π2，π 2上的性质． 二、知识点梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 第一章 集合 一、集合有关概念 1.集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性.如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性.如：由HAPPY 的字母组成的集合{}Y P A H ,,, (3) 元素的无序性.如：{}c b a ,,和{}b c a ,,是表示同一个集合 2.常用数集的表示： ◆ 非负整数集（自然数集）：N ；正整数集 +* N N 或；整数集：Z ；有理数集：Q 实数集：R 3.集合的分类： (1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合 (3) 空集：不含任何元素的集合，记作：φ.例：{} 5|2 -=x x 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系——子集 注意：B A ?有两种可能：①A 是B 的一部分；②A 与B 是同一集合. 反之: 集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,记作A ? /B 或B ?/A 2．“相等”关系：B A = (B A ?且A B ?) 实例：设{} 01|2 =-=x x A ，{ }1,1-=B “元素相同则两集合相等” 3.集合的性质： ① 任何一个集合是它本身的子集即A A ?. ②真子集:如果B A ?,且B A ≠那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或(B A ) ③如果B A ?,C B ?,那么C A ?. ④如果B A ?同时A B ? 那么B A =. 4.子集个数问题 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. ◆ 有n 个元素的集合，含有n 2个子集，12-n 个真子集. 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 B A I ={}B x A x x ∈∈且| B A Y = {}B x A x x ∈∈或| A C S = {}A S |?∈x x x 且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 1.下列四组对象，能构成集合的是（ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{}c b a ,,的真子集共有 个 3.若集合{} R x x x y y M ∈+-==,12|2 ,{}0|≥=x x N ,则M 与N 的关系是 . S A 第一章 三角函数 例1 判断下列各角是第几象限角： ○ 1-600 ○ 26060 ○3-9500 12/ 例2、在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用00-3600的角表示） 3、把450化成弧度；把 5 3rad 化成度。 例4如图，利用弧度制证明扇形面积公式 ○ 1S=2 1 αr 2 ○2 S=2 1 lr 例5 在直角坐标系的单位圆中，α=—4 π , ○1画出角α ○ 2求出角α的终边与单位圆的交点坐标 ○3 求出角α的正弦函数值和 余弦函数值 例6、已知角α终边上一点P(- 2 3,2)，求角α的正弦函数值和 余弦函数值。 例1 求下列各角的三角函数值： ○ 1sin(-4 7) = ○2 cos(3 2)= ○3 cos(-6 31)=求下列函数值 例9 用五点法画出下列函数的简图,并根据图像讨论他的性质。（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值） ○ 1y=sinx ○2 y=-sinx ○3 y= sinx ○4 y= sin x ○5 y=1+sinx ○6 y=sinx-1例10、 若tan α= ， 借助三角函数定义求角α的正弦函数值和 余弦函数值。 例12、用五点法画出下列函数的简图,并根据图像讨论它们与函数y=sinx 的关系。（指出定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值） ○ 1y=2sinx 与y=2 1sinx ○2y=sin （x+4π）与y=sin （x-6π ） ○ 3y=sin2x 与y=sin 2 1 x 例13画出函数y=3sin （2x+ 6 π ）+1的简图。 例14、求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x 值的集合。 ○ 1 y=sin x- 2 ○ 2 y= 34sin 2 1x ○ 3 y=2 1 cos （3x+ 4 π） 例15、○1求函数y=2sin(2 1x-3 π )的递增区间。 ○2求函数y=31cos(4x+6 5π )的递减区间。 第一章 三角恒等变形 例1、 已知sin α=-5 3,且α在第三象限，求cos α和 tan α. 例2、 已知cos α= 13 12,求sin α和tan α. 例3、 已知tan α=m(m ≠0),求cos α和sin α. 例4、 已知tan α=2,1800＜α＜2700,求 例6 化简： 例7 求证 例8 不查表，求cos750,cos150的 值。 例9 已知sin α=5 4，α∈（2 π,π）,cos β=-13 5, β∈（π， 2 3π ），求,cos （α-β）,cos(α+β)的值。 例10求f(x)=sinx+e cosx 的最大值和周期。 例11、已知tan α=2,，tan β=-3 1,其中α∈（0，2 π）,β∈（ 2 π ，π）， ○ 1求tan （α-β）； ○2求α+β的值。 例13若tan （α+β）=52 ,tan （β- 4 π ）= 41 ,求tan （α+ 4 π ）的值。 例14、已知tan α=2 1，求tan2α的值。 例15、设α是第二象限角，已知cos α=- 5 3, 求sin2α,cos2α和tan2α的值。 例16、在△ABC 中，已知AB=AC=2BC （如图），求角A 的正弦值。 例17、要把半径为R 的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取，才能使长方形的面积最大？ 例18、利用二倍角公式证明： 例19、已知cos α= 25 7, α ,例20、sin2α=-13 12,高中数学必修4测试题
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