电磁场的动量和能量

电磁场的动量和能量

凤阳二中张叶

摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的动量和能量这两个较为抽象的概念具体化。运用这一简单的模型分析并论证了电磁场确具有动量和能量，且可与机械动量和动能相互转换，在转换过程中遵循守恒定律。

关键词：电磁场；动量；能量；平行板电容器

引言

电磁场作为物质存在的一种特殊形式，与实物一样，也具有能量、动量和角动量等基本属性，同样遵循能量守恒，动量守恒和角动量守恒等定律，它们既不能被创造，也不能被消灭，只能由一种形式转变成另一种形式。与实物不同的是，场作为弥漫在空间的一种特殊物质，不能被直接看到。在教学过程中，由于场的概念较为抽象，而且电磁场的能量、动量和角动量又较难直接观测，给人一种看不见，摸不着的感觉，所以教师觉得不好教，学生觉得难以理解。本文研究了一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一较为简单的物理模型。通过定性分析和定量计算，论证了电磁场的确具有动量和能量，它们不仅可以与机械动量和动能相互转换，而且在转换过程中满足动量守恒和能量守恒定律。这一模型让初学者对电磁场的动量和能量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性。

1. 匀强磁场中的平行板电容器

一个电容量为C ，两导体板相距为L 的平行板电容器，处在匀强磁场中。磁场的方向与导体板平行，大小为B 。将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为 ±Q 0。然后将一质量为m ，电阻为R ，长度为L

的导体棒垂直放在电容器的两板之间。开始的瞬间，导体棒中有电流

000U Q I R CR

==， 受到安培力

000BLQ F BLI CR == 的作用开始加速运动，初始加速度为

00BLQ a mCR

=。 但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反。所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小。然而在加速度减小为零之前，导体棒的速度还在变大，感应电动势继续变大，电流继续变小，直到电容器极板上的剩余电量Q 产生的电压与感应电动势相等，彼此平衡。此时，导体棒上的电流为零，电容器极板上的电量为Q min ，不再改变，板间电场也不

+Q

-Q

再变化，导体棒所受的安培力和导体棒的加速度均为零，导体棒的速度达到最大，并以此速度v max 作匀速运动。即：

min max Q BLv C = 。

(1) 由导体棒的运动方程 dv dQ m

BLI BL dt dt ==-

(2) 可知：速度的变化率直接正比于电荷的变化率，因此

max 0min ()mv BL Q Q =-。

(3) 联立式(1)和式(3)可求出

0max 22BLQ v m B L C =+

(4) 和

220min 22B L CQ Q m B L C =+。 (5)

开始时，导体棒是静止的，没有动量，也没有动能；最后，电容器的电量变为Q min ，导体棒获得的速度为v max ，导体棒作匀速直线运动，

动量是mv max ，动能是2max 12

mv 。

2. 电磁场的动量和能量

导体棒的动量和动能是哪里来的？当我们把导体棒作为研究对

象时，我们会说，是磁场作用于导体棒的安培力的冲量改变了导体棒的动量，安培力作的功改变了导体棒的动能。但当我们把导体棒和电容器以及磁场看作一个整体系统时，我们发现，并没有任何外力作用于这个系统，而导体棒却获得了动量和动能。唯一可能的解释就是，在系统内一定有另一个对象，它失去了相等数量的动量和能量。电容器的极板始终未动，所以，失去动量和能量的就只能是电磁场。

由(4)式得，导体棒最后获得的动量是

022mBLQ p mv m B L C ==+ (6)

电容器极板的电量减少了，板间的电场也发生了变化

220000min 2222()()Q B L CQ Q Q m Q E CL CL CL m B L C CL CL m B L C ∆=-=-=-++ (7) 利用平行板电容器公式：0S C L ε=，对比(5)式和(6)式，不难发现

20()p E BCL EBSL ε=∆⋅=-∆ (8)

式中SL = V 是电场所在区域的体积。等式的左边是导体棒获得的动量，等式右边自然应该是电磁场动量的减少。由此不难得出，在电场强度为E ，磁感应强度为B 的电磁场中单位体积电磁场的动量为0EB ε，由图1所示各物理量的方向可以确定电磁场动量的方向，即0ε⨯E B 。

再来看电磁场的能量，由(4)式得，导体棒最后获得的动能是 22220222122()K mB L Q W mv m B L C ==+

(9)

另外，由于导体棒在加速运动过程中一直流有电流，从而不断产生焦耳热。回路中的电流遵从欧姆定律

Q

IR BLv C =-

(10)

两边取微分，得

dQ

RdI BLdv C =-

(11)

将(2)式代入上式，可得

22

m B L C

RdI dQ mC +=

(12) 由dQ I dt =-，得

2

2()

0I m B L C RdI dt mC ++=

(13)

分离变量得

2222

()()0max m B L C t

m B L C t mCR mCR Q I I e e CR ++--

==

(14)

积分得整个过程中产生的焦耳热

222

22()20022202()m B L C t mCR

o Q Q m I Rdt e dt RC C m B L C +∞∞-==+⎰⎰

(15)

将(9)式和(15)式相加，并对照(7)式，不难得出