高考数学概率与统计专题复习

高考复习专题之：概率与统计 、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值 １．随机事件 A的概率 0 P（A） 1，其中当 P（A） 1时称为必然事件； 当 P（A） 0 时称为不可能事件 注：求随机概率的三种方法：

一）枚举法 例 1 如图 1 所示， 有一电路 AB 是由图示的开关控制， 闭合 a，b， d，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通 路的概率是 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有 10 种，分别是 ab、ac、ad、ae、bc、 bd、

其中能形成通路的有 6 种，所以 p（ 通路）= 6 =

3 10

5

评注: 枚举法是求概率的一种重要方法 ,这种方法一般应用于可能出现 的结果比较少的事件的概率计算 二）树形图法 例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负， 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又 如，

两人同时出象牌，则两人平局．如果用 A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A1、B1、C1 分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

三）列表法 例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位

数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（ 1）组成的两位数是偶数的概率；（ 2）组成的两位数是 6 的倍数 的概率．

分析： 本题可通过列表的方法， 列出所有可能组成的两位数的可能情况， 然后再找出组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数 是 6 的倍数的可能情况。

分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结 果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果

数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的

结果 有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有 3 种．所

1 以 P（一次出牌小刚胜小明） =1

3 点评: 当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通过画树形图的方法来计算概

率

P(A)=0 ； be、 cd、 ce 、de， 解：列的表格如下： 根据表格可得两位数有： 23，24，32，34，42，43．所 21 以( 1)两位数是偶数的概率为

．( 2)两位数是 6 的倍数的概率为 ．

33 点评： 当一事件要涉及两个或更多的因

素时， 为了不重不漏地列出所有可 能的结果，通过画树形图的方法来计算概

率 3、互斥事件： (A、B互斥，即事件 A、B 不可能同时发生)。计算公式： P(A+B)＝P(A)+P(B) 。 4、对立事件 ：( A、B对立，即事件 A、B不可能同时发生，但 A、B中必然有一 个发生)。计算公式是： P(A)+ P(B) ＝１；P( A)=1－P(A)； 5、独立事件： (事件 A、B的发生相互独立， 互不影响) P(A?B)＝P(A) ? P(B) 提醒：( 1)如果事件 A、B独立，那么事件 A与B 、 A与 B及事件 A与 B也 都是独立事件；( 2)如果事件 A、 B相互独立，那么事件 A、B至少有一个不发 生的概率是 1－P(A B)＝ 1－P(A)P(B) ；( 3)如果事件 A、 B相互独立，那么 事件 A、B至少有一个发生的概率是 1－P( A B)＝1－P( A)P( B)。 6、独立事件重复试验： 事件 A在n次独立重复试验中恰好．发．生．了．． k次．的概率 Pn(k) Cnk pk(1 p)n k (是二项

展开式 [(1 p) p]n 的第 k+1 项)，其中 p 为在一次独立重复试验中事件 A发生的概率。 提醒： ( 1)探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解 ( 分类 或分步 )转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率 ( 常常采用排列组合的知识 ) ；转化为若干个互 斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。 ( 2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之， 事件对立是事件互斥的充分非必要条件； ( 3) 概率问题的解题规范：①先设事件 A=“⋯”， B= “⋯”；②列 式计算；③作答。 二、随机变量 .

1. 随机试验的结构应该是不确定的 . 试验如果满足下述条件： ① 试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不止一个； ③每次试验总是恰 好出现这些结果中的一个， 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 它就被称为一个随机试验 2. 离散型随机变量： 如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随 机变量 .若ξ是一个随机变量， a， b是常数 .则 a b也是一个随机变量 .一般地，若 ξ是随机变量， f (x)是 连续函数或单调函数，则 f ( )也是随机变量 . 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量 . 设离散型随机变量 ξ可能取的值为： x1,x2, ,xi ,

ξ取每一个值 x1(i 1,2, )的概率 P( xi ) p i ，则表称为随机变量 ξ的概率分布，简称 ξ的分布列 .

x1 x2 xi

P p1 p2 p

i

有性质：① p1 0,i 1,2, ； ② p1 p2 pi 1.

注意： 若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量 . 例如： [0,5] 即 可以取 0～

2. 等可能事件的概率(古典概率) P(A)= 5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数 . 3. ⑴二项分布 ：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次 的概率是： P(ξ k) Cknpkqn k[其中k 0,1, ,n,q 1 p] 于是得到随机变量 ξ的概率分布如下：我们称这样的 随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ～ B( n·p)，其中 n， p 为参数，并记 Cknpkqn k b(k; n p) .

⑵二项分布的判断与应用 .

① 二项分布 ，实际是对 n 次独立重复试验 . 关键是看某一事件是否是进行 n次独立重复，且每次试验只有两种结 果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 .

② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小， 而每次抽取时又只有两种试验结果， 此时 可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列 .

4. 几何分布 ：“ k ”表示在第 k次独立重复试验时， 事件第一次发生， 如果把 k 次试验时事件 A发生记为 Ak， 事 A不发生记为 Ak,P(Ak) q，那么 P(ξ k) P(A1A2 Ak 1A k ) .根据相互独立事件的概率乘法分式： P(ξ k) P(A 1)P(A 2) P(A k 1 )P(A k ) qk 1p (k 1,2,3, ) 于是得到随机变量 ξ的概率分布列 .

1 2 3 k P q qp q2p qk 1 p

我们称 ξ服从几何分布，并记 g(k, p) qk 1p ，其中 q 1 p. k 1,2,3

5. ⑴超几何分布 ：一批产品共有 N 件，其中有 M(M件，则其中的次品数 ξ是 一离散型随机变量，分布列为 k n k P(ξ k) CM CnN M (0 k M,0 n k N M). 〔分子是从 M件次品中取 k件，从 CN

N-M件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m〕 ⑵超几何分布的另一种形式： 一批产品由 a 件次品、 b 件正品组成，今抽取 n 件( 1≤ n≤ a+b)，则次品数 ξ的

k n k 分布列为 P(ξ k) C a C n b

C a b

k 0,1, ,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系 .

设一批产品由 a 件次品、 b件正品组成，不放回抽取 n件时，其中次品数 ξ服从超几何分布 . 若放回式抽取，则 其中次品数 的分布列可如下求得： 把 a b 个产品编号， 则抽取 n 次共有 (a b) n 个可能结果， 等可能： ( η k) 含

k k n k Ckn akbn k个结果，故 P(η k) Cna bn Ckn( a )k(1 a )nk,k 0,1,2, ,n

，即 ～B(n a ).[ 我们先为 k个次

(a b) a b a b a b

品选定位置，共 C kn种选法；然后每个次品位置有 a种选法，每个正品位置有 b种选法 ] 可以证明：当产品总数 很大而抽取个数不多时， P(ξ k) P(η k) ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放 回抽样 .

三、数学期望与方差 .

1. 期望的含义 ：一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 x1 x2 xi

P p1

p2 pi